2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第3講比數(shù)列及其前n項(xiàng)和創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE1-第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和[考綱解讀]1.理解等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．2．駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并嫻熟駕馭其推導(dǎo)方法，能在詳細(xì)的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)學(xué)問解決相應(yīng)的問題．(重點(diǎn))3．嫻熟駕馭等比數(shù)列的基本運(yùn)算和相關(guān)性質(zhì)．(難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考中的重點(diǎn)．預(yù)料2024年高考將會(huì)以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為考查重點(diǎn)，也可能將等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，此外，還可能會(huì)與等差數(shù)列綜合考查．題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題型.1.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第eq\o(□,\s\up1(01))2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于eq\o(□,\s\up1(02))同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的eq\o(□,\s\up1(03))公比，公比通常用字母eq\o(□,\s\up1(04))q(q≠0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表達(dá)：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)，q為常數(shù)，q≠0.(2)等比中項(xiàng)假如eq\o(□,\s\up1(05))a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?eq\o(□,\s\up1(06))G2＝ab.2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝eq\o(□,\s\up1(01))a1qn－1；可推廣為an＝eq\o(□,\s\up1(02))amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)若m＋n＝p＋q，則eq\o(□,\s\up1(01))aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特殊地，若2s＝p＋r，則apar＝aeq\o\al(2,s)，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為eq\o(□,\s\up1(02))qm(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))(其中b，p，q是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5)當(dāng)q≠－1或q＝－1且k為奇數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列，公比為qk.當(dāng)q＝－1且k為偶數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列．(6)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(7)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.1．概念辨析(1)滿意an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．()(2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.()(3)假如數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列．()(4)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(a1－an,1－a).()(5)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小題熱身(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5等于()A．5 B．±5C．4 D．±4答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q4＝eq\f(a7,a3)＝eq\f(8,2)＝4，q2＝2，所以a5＝a3q2＝2×2＝4.(2)對(duì)隨意等比數(shù)列{an}，下列說法肯定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列答案D解析不妨設(shè)公比為q，則aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,1)q4，a1·a9＝aeq\o\al(2,1)q8，a2·a6＝aeq\o\al(2,1)q6，當(dāng)q≠±1時(shí)，知A，B均不正確；又aeq\o\al(2,4)＝aeq\o\al(2,1)q6，a2·a8＝aeq\o\al(2,1)q8，同理，C不正確；由aeq\o\al(2,6)＝aeq\o\al(2,1)q10，a3·a9＝aeq\o\al(2,1)q10，知D正確．故選D.(3)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)答案C解析由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9，所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝eq\f(1,9).(4)數(shù)列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝126，則n＝________.答案6解析因?yàn)閍1＝2，an＋1＝2an，所以an≠0，故eq\f(an＋1,an)＝2.所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，因?yàn)镾n＝126，所以eq\f(21－2n,1－2)＝126，所以2n＝64，故n＝6.題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例安排問題：“衰分”是按比例遞減安排的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位，遞減的比例為40%，今共有糧m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的依次進(jìn)行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和為164石，則“衰分比”與m的值分別為()A．20%369 B．80%369C．40%360 D．60%365答案A解析設(shè)“衰分比”為a，甲衰分得b石，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1－a2＝80，,b1－a＋b1－a3＝164，,b＋80＋164＝m，))解得b＝125，a＝20%，m＝369.故選A.2．(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝eq\f(1,3)，aeq\o\al(2,4)＝a6，則S5＝________.答案eq\f(121,3)解析由aeq\o\al(2,4)＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝eq\f(1,a1)＝3.∴S5＝eq\f(\f(1,3)×1－35,1－3)＝eq\f(121,3).3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2eq\f(6,a2n＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)①當(dāng)公比q＝1時(shí)，∵a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，∴an＝eq\f(3,2)；②當(dāng)q≠1時(shí)，∵a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，∴a1q2＝eq\f(3,2)，eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(9,2)，解得a1＝6，q＝－eq\f(1,2)，此時(shí)an＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1.綜上所述，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3,2)或an＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1.(2)①當(dāng)an＝eq\f(3,2)時(shí)，bn＝log2eq\f(6,a2n＋1)＝2，故Tn＝2n；②當(dāng)an＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1時(shí)，bn＝log2eq\f(6,a2n＋1)＝2n，此時(shí)Tn＝2·eq\f(nn＋1,2)＝n(n＋1)．綜上所述，Tn＝2n或Tn＝n(n＋1)．

1．等比數(shù)列基本運(yùn)算中的兩種常用數(shù)學(xué)思想方程的思想等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．如舉例說明2分類探討的思想等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類探討，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).如舉例說明32．等比數(shù)列的基本運(yùn)算方法(1)等比數(shù)列可以由首項(xiàng)a1和公比q確定，全部關(guān)于等比數(shù)列的計(jì)算和證明，都可圍繞a1和q進(jìn)行．(2)對(duì)于等比數(shù)列問題，一般給出兩個(gè)條件，就可以通過列方程(組)求出a1，q.假如再給出第三個(gè)條件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”問題．1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)答案B解析當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝32n－1＋r－32n－3－r＝8·32n－3，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝32－1＋r＝3＋r，∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴a1滿意an＝8·32n－3，即8·32－3＝3＋r＝eq\f(8,3)，即r＝－eq\f(1,3)，故選B.2．(2024·濱海新區(qū)期中)已知遞增等比數(shù)列{an}的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng)分別減去1,3,9后成等差數(shù)列．(1)求{an}的首項(xiàng)和公比；(2)設(shè)Sn＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)，求Sn.解(1)依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a3·a5·a7＝aeq\o\al(3,5)＝512，解得a5＝8.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a3＝eq\f(8,q2)，a7＝8q2，由題設(shè)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,q2)－1))＋(8q2－9)＝2×(8－3)＝10，解得q2＝2或eq\f(1,2).∵{an}是遞增數(shù)列，可得q＞1，∴q2＝2，得q＝eq\r(2).因此a5＝a1q4＝4a1＝8，解得a1(2)由(1)得{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1＝2×(eq\r(2))n－1＝(eq\r(2))n＋1，∴aeq\o\al(2,n)＝[(eq\r(2))n＋1]2＝2n＋1，可得{aeq\o\al(2,n)}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．因此Sn＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(41－2n,1－2)＝2n＋2－4.題型二等比數(shù)列的判定與證明(2024·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．解(1)由條件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.將n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2將n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由題設(shè)條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.條件探究1將本例中的條件改為“a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，且an>0”，求{an}的通項(xiàng)公式．解由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq\f(1,2n－1).條件探究2將本例中的條件改為“a1＝3，an＋an－1＝anan－1(n≥2，且n∈N)”．求證數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,2)))是等比數(shù)列，并求出an.解∵an＋an－1＝anan－1，∴eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an)＝1，∴eq\f(1,an)＝－eq\f(1,an－1)＋1，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)－\f(1,2)))(n≥2)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,2)))是以eq\f(1,a1)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列．∴eq\f(1,an)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)×(－1)n－1，∴an＝eq\f(6,3＋－1n).等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．見舉例說明(2)．(2)等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．提示：(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．1．已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么()A．{an＋bn}，{an·bn}都肯定是等比數(shù)列B．{an＋bn}肯定是等比數(shù)列，但{an·bn}不肯定是等比數(shù)列C．{an＋bn}不肯定是等比數(shù)列，但{an·bn}肯定是等比數(shù)列D．{an＋bn}，{an·bn}都不肯定是等比數(shù)列答案C解析an＝1，bn＝(－1)n，則{an}，{bn}都是等比數(shù)列，但{an＋bn}不是等比數(shù)列；設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為p，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則eq\f(an＋1bn＋1,anbn)＝eq\f(an＋1,an)·eq\f(bn＋1,bn)＝pq.所以數(shù)列{an·bn}肯定是等比數(shù)列．2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿意：Sn＋an＝eq\f(n－1,nn＋1)，n＝1,2，…，n.(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,n＋1)))是等比數(shù)列；(2)求Sn.解(1)證明：由題意，n＝1時(shí)，S1＋a1＝0，即a1＝0，n≥2時(shí)，Sn＋Sn－Sn－1＝2Sn－Sn－1＝eq\f(n－1,nn＋1)＝eq\f(2,n＋1)－eq\f(1,n)，所以Sn－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－1－\f(1,n)))，S1－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,n＋1)))是以－eq\f(1,2)為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)知，Sn－eq\f(1,n＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，所以Sn＝eq\f(1,n＋1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.題型三等比數(shù)列前n項(xiàng)和及性質(zhì)的應(yīng)用角度1等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)1．已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a4a6－2aeq\o\al(2,4)＋a2a4＝144，則a5－a3＝()A．6 B．8C．10 D．12答案D解析∵{an}是遞增的等比數(shù)列，∴由a4a6－2aeq\o\al(2,4)＋a2a4＝144，a5－a3>0，可得aeq\o\al(2,5)－2a3a5＋aeq\o\al(2,3)＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故選D.2．(2024·開封模擬)已知數(shù)列{an}滿意log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.答案100解析由log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.角度2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)3．(2024·麗水模擬)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50答案A解析易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.故選A.4．(2024·池州高三上學(xué)期期末)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前100項(xiàng)和為S100＝90，則其偶數(shù)項(xiàng)a2＋a4＋…＋a100為()A．15 B．30C．45 D．60答案D解析設(shè)S＝a1＋a3＋…＋a99，則a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)q＝2S，又因?yàn)镾100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100＝90，所以3S＝90，S＝30，所以a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60.1．駕馭運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)解題的兩個(gè)技巧(1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中，一般是列出a1，q滿意的方程組求解，但有時(shí)運(yùn)算量較大，假如可利用等比數(shù)列的性質(zhì)，便可削減運(yùn)算量，提高解題的速度，要留意挖掘已知和隱含的條件．(2)利用性質(zhì)可以得到一些新數(shù)列仍為等比數(shù)列或?yàn)榈炔顢?shù)列，例如：①若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1為首項(xiàng)，logaq為公差的等差數(shù)列．②若公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.如舉例說明3.2．牢記與等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn相關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q.①若共有2n項(xiàng)，則S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1項(xiàng)，則S奇－S偶＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)，eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．1．(2024·青島模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿意a6,3a4，－a5成等差數(shù)列，則eq\f(S4,S2)＝()A．3 B．9C．10 D．13答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍6,3a4，－a5成等差數(shù)列，所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q)．由題意得a4>0，q>0.所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以eq\f(S4,S2)＝eq\f(S2＋q2S2,S2)＝1＋q2＝10.2．已知等比數(shù)列{an}滿意a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝()A．21 B．42C．63 D．84答案B解析設(shè){an}的公比為q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(負(fù)值舍去)．∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故選B.3．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16答案B解析由題意知公比大于0，由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故選B.組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·全國卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則aA．16 B．8C．4 D．2答案C解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，q>0，,a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，,a1q4＝3a1q2＋4a1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))∴a3＝a1q2＝4.故選C.2．(2024·新鄉(xiāng)調(diào)研)已知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列{an}滿意a3－eq\f(a\o\al(2,7),2)＋a11＝0，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b7＝a7，則b1·b13＝()A．25 B．16C．8 D．4答案B解析由a3－eq\f(a\o\al(2,7),2)＋a11＝0，得2a7－eq\f(a\o\al(2,7),2)＝0，a7＝4，所以b7＝4，b1·b13＝beq\o\al(2,7)＝16.3．(2024·天津武清區(qū)模擬)設(shè){an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析設(shè)公比為q，若aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)，則aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,1)q2，即q2>1，則q>1或q<－1，當(dāng)q<－1時(shí)，數(shù)列為搖擺數(shù)列，則“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”不成立，即充分性不成立，若“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”，則a1<a2，∵a1>0，∴a2>0，則“aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)”成立，即必要性成立，則“aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件．4．(2024·淄博模擬)已知{an}是等比數(shù)列，若a1＝1，a6＝8a3，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和為Tn，則T5＝()A.eq\f(31,16) B．31C.eq\f(15,8) D．7答案A解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝eq\f(a6,a3)＝eq\f(8a3,a3)＝8，故q＝2.易證數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＝1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以T5＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).5．設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則aA．－2 B．－1C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案B解析將已知兩式作差得S4－S2＝3a4－3a2，所以a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a2q－2a2q2＝0.所以2q2－q－3＝0，解得q＝eq\f(3,2)或q＝－1(舍去)．將q＝eq\f(3,2)代入S2＝3a2＋2，即a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a6．(2024·鄭州模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝－27，則A．81 B．24C．－81 D．－24答案C解析解法一：易知等比數(shù)列{an}的公比q≠1，由S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，可得eq\f(a11－q2n,1－q)＝4×eq\f(a11－q2n,1－q2)，解得q＝3.由a1a2a3＝aeq\o\al(3,2)＝－27，得a2＝－3，所以a5＝a2q3＝－3×33＝－81.故選C.解法二：當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝a1＋a2＝4a1，即a2＝3a1，所以q＝3.又a1a2a3＝aeq\o\al(3,2)＝－27，所以a2＝－3，所以a5＝a2q3＝－3×37．(2024·南昌模擬)在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n項(xiàng)和Sn＝126，則n＝()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以a2an－1＝a3an－2＝a1an，又因?yàn)閍2an－1＋a3an－2＝256，所以a1an＝128，又因?yàn)閍1＋an＝66.所以a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2.因?yàn)镾n＝eq\f(a1－anq,1－q)，且Sn＝126，所以若a1＝2，an＝64，則eq\f(2－64q,1－q)＝126，得q＝2.此時(shí)an＝2×2n－1＝2n＝64，n＝6；若a1＝64，an＝2，則eq\f(64－2q,1－q)＝126，得q＝eq\f(1,2)，此時(shí)an＝64×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝2，得n＝6.綜上知，n＝6.8．已知等比數(shù)列{an}滿意a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則q＝________.答案2解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得aeq\o\al(2,4)＝a3a5，又因?yàn)閍3a5＝4(a4－1)，所以aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)，解得a4＝2.又a1＝eq\f(1,4)，所以q3＝eq\f(a4,a1)＝8，解得q＝2.9．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝________.答案3∶4解析因?yàn)镾10∶S5＝1∶2，所以設(shè)S5＝2a，S10＝a(a≠因?yàn)镾5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，即2a，－a，S15－a成等比數(shù)列，所以(－a)2＝2a(S15－a)，解得S15＝eq\f(3a,2)，所以S15∶S5＝3∶4.10．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于________．答案eq\f(32,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))解析因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，所以q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)，則q＝eq\f(1,2)，所以eq\f(anan＋1,an－1an)＝q2＝eq\f(1,4)(n≥2)．所以數(shù)列{anan＋1}是以8為首項(xiàng)，eq\f(1,4)為公比的等比數(shù)列．所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))).組實(shí)力關(guān)1．(2024·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從其次個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于eq\r(12,2).若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為()A.eq\r(3,2)f B.eq\r(3,22)fC.eq\r(12,25)f D.eq\r(12,27)f答案D解析由已知，單音的頻率構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為f，公比為eq\r(12,2)的等比數(shù)列，記為{bn}，共有13項(xiàng)．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，b8＝b1q7＝f×(eq\r(12,2))7＝eq\r(12,27)f.2．(2024·湖北“四地七?！甭?lián)考)若數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列，且a2024＋a2024＝eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx，則a2024·(a2024＋2a2024＋a2024)＝()A．4π2 B．2π2C．π2 D．3π2答案C解析由題意，eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx＝eq\f(1,4)π×22＝π，則a2024＋a2024＝π，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a2024＋2a2024＋a2024＝(a2024＋a2024)q＋(a2024＋a2024)q3＝π(q＋q3)，故a2024(a2024＋2a2024＋a2024)＝πa2024(q＋q3)＝π(a2024＋a2024)＝π2.故選C.3．若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝________.答案eq\f(3n－1＋1,2)解析因?yàn)閍1＝1，a2＝2，a3＝5，所以a2－a1＝1，a3－a2＝3.所以等比數(shù)列{an＋1－an}的首項(xiàng)為1，公比為3，所以an＋1－an＝1×3n－1.所以a2－a1＝1，a3－a2＝3，…an－an－1＝3n－2，以上各式相加得an－a1＝1＋3＋…＋3n－2＝eq\f(1－3n－1,1－