2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第3講二項式定理創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第3講二項式定理[考綱解讀]1.會用計數(shù)原理證明二項式定理，并會用二項式定理解決與二項綻開式有關(guān)的簡潔問題．(重點)2．嫻熟駕馭二項式的綻開式、綻開式的通項及二項式系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．(難點)[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講為每年高考的?？紝W(xué)問點．預(yù)料2024年將會考查：①求二項式的特定項或項的系數(shù)；②求二項式系數(shù)的最大項或二項式系數(shù)的和；③與其他學(xué)問進行綜合考查．題型以客觀題形式考查，難度不大，屬中、低檔題型.1.二項式定理二項式定理(a＋b)n＝eq\o(□,\s\up1(01))Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項綻開式的通項公式Tr＋1＝eq\o(□,\s\up1(02))Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第eq\o(□,\s\up1(03))r＋1項二項式系數(shù)二項綻開式中各項的二項式系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)2．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即eq\o(□,\s\up1(01))Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞增的當(dāng)k＞eq\o(□,\s\up1(03))eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞減的最大值當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項eq\o(□,\s\up1(04))取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項eq\o(□,\s\up1(05))C和eq\o(□,\s\up1(06))取得最大值3．常用結(jié)論(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(3)Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n2n－1.(4)Ceq\o\al(r,m)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(r－1,m)Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(0,m)Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r,m＋n).(5)(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝Ceq\o\al(n,2n).1．概念辨析(1)(a＋b)n的綻開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)．()(2)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))6的綻開式的其次項系數(shù)是Ceq\o\al(1,6).()(3)二項綻開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．()(4)若(x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為0.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))8的綻開式中常數(shù)項為()A.eq\f(35,16) B.eq\f(35,8)C.eq\f(35,4) D．105答案B解析二項綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)(eq\r(x))8－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(x))))k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))kCeq\o\al(k,8)x4－k，令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4Ceq\o\al(4,8)＝eq\f(35,8).(2)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n綻開式的二項式系數(shù)之和為8，則該綻開式的系數(shù)之和為()A．－1 B．1C．27 D．－27答案A解析依題意，得二項式系數(shù)的和為2n＝8，所以n＝3，故二項式為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))3，令x＝1，可求得系數(shù)之和為(1－2)3＝－1.(3)(2－x)5的綻開式中x的系數(shù)為________．答案－80解析(2－x)5的綻開式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)×24×(－1)＝－80.(4)已知(1＋3x)n的綻開式中含有x2項的系數(shù)是54，則n＝________.答案4解析(1＋3x)n的綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)r，令r＝2，得T3＝9Ceq\o\al(2,n)x2.由題意，得9Ceq\o\al(2,n)＝54，解得n＝4.題型一二項綻開式角度1求二項綻開式中的特定項或系數(shù)1．(2024·全國卷Ⅲ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的綻開式中x4的系數(shù)為()A．10 B．20C．40 D．80答案C解析由題意可得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))r＝Ceq\o\al(r,5)·2r·x10－3r.令10－3r＝4，則r＝2，所以Ceq\o\al(r,5)·2r＝Ceq\o\al(2,5)×22＝40，故選C.2．(2024·廣東省六校第一次聯(lián)考)若a＝eq\i\in(0,π,)(2sinx－cosx)dx，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－\r(x)))6的綻開式中常數(shù)項是________．答案240解析∵a＝eq\i\in(0,π,)(2sinx－cosx)dx＝(－2cosx－sinx)|eq\o\al(π,0)＝4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)－\r(x)))6的綻開式的第r＋1項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))6－r(－eq\r(x))r＝46－r·(－1)rCeq\o\al(r,6)xeq\f(3r,2)－6.令eq\f(3r,2)－6＝0，得r＝4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－\r(x)))6的綻開式中常數(shù)項是46－4×(－1)4Ceq\o\al(4,6)＝240.角度2求多項綻開式的特定項或系數(shù)3．(2024·全國卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的綻開式中x3的系數(shù)為()A．12 B．16C．20 D．24答案A解析解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的綻開式中x3的系數(shù)為1×Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝12.故選A.解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系數(shù)為1×4＋2×4＝12.故選A.4．(2024·陜西黃陵中學(xué)模擬)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5的綻開式中x2的系數(shù)為()A．120 B．80C．20 D．45答案A解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))2))5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))10.Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,10)x5－r.令5－r＝2解得r＝3.T4＝Ceq\o\al(3,10)x2＝120x2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5的綻開式中x2的系數(shù)為120.角度3已知二項綻開式某項的系數(shù)求參數(shù)5．(2024·黃山模擬)已知(1＋x)(1－ax)5的綻開式中x2的系數(shù)為－eq\f(5,8)，則a＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案D解析(1＋x)(1－ax)5＝(1＋x)(1－5ax＋10a2x2－10a3x3＋5a4x4－a5x5)的綻開式中x2的系數(shù)為10a2－5a＝－eq\f(5,8)，解得a＝eq\f(1,4).1．求二項綻開式中的特定項或項的系數(shù)問題的思路(1)利用通項公式將Tr＋1項寫出并化簡．(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出r.(3)代回通項得所求．見舉例說明1,2.2．求解形如(a＋b)m(c＋d)n的綻開式問題的思路(1)若m，n中有一個比較小，可考慮把它綻開，如(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分別求解．(2)視察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分別得到(a＋b)m，(c＋d)n的通項公式，綜合考慮．3．求形如(a＋b＋c)n的綻開式中特定項的四步驟1．(2024·華中師范高校第一附中模擬)已知(x＋1)5＋(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，則a7＝()A．9 B．36C．84 D．243答案B解析令t＝x－1，則(x＋1)5＋(x－2)9＝(t＋2)5＋(t－1)9，只有(t－1)9的綻開式中含有t7項，所以a7＝Ceq\o\al(2,9)(－1)2＝36.2．若(1＋ax)7(a≠0)的綻開式中x5與x6的系數(shù)相等，則a＝________.答案3解析綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(ax)r，因為x5與x6的系數(shù)相等，所以Ceq\o\al(5,7)a5＝Ceq\o\al(6,7)a6，解得a＝3.3．(2024·浙江高考)在二項式(eq\r(2)＋x)9的綻開式中，常數(shù)項是________，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________．答案16eq\r(2)5解析由二項綻開式的通項公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，當(dāng)為常數(shù)項時，r＝0，T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2).當(dāng)項的系數(shù)為有理數(shù)時，9－r為偶數(shù)，可得r＝1,3,5,7,9，即系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是5.題型二二項式系數(shù)的性質(zhì)或各項系數(shù)的和1．(2024·東北三校聯(lián)考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝()A．0 B．1C．32 D．－1答案A解析由(1－x)5的綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－x)r＝Ceq\o\al(r,5)(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.則|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二項綻開式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.結(jié)論探究1本例中的條件不變，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________.答案32解析因為(1＋x)5的綻開式的各項系數(shù)之和為|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝25＝32.結(jié)論探究2本例中的條件不變，則a0＋a2＋a4＝________.答案16解析令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，令x＝－1，得25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，兩式相加，得32＝2(a0＋a2＋a4)，所以a0＋a2＋a4＝16.2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的綻開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求n；(2)求綻開式中的有理項；(3)求綻開式中系數(shù)最大的項．解(1)由二項綻開式，知前三項的系數(shù)分別為Ceq\o\al(0,n)，eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)，eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，由已知，得2×eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，解得n＝8(n＝1舍去)．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))8的綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))r＝2－rCeq\o\al(r,8)x4－eq\f(3r,4)(r＝0,1，…，8)，要求有理項，則4－eq\f(3r,4)必為整數(shù)，即r＝0,4,8，共3項，這3項分別是T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).(3)設(shè)第r＋1項的系數(shù)為ar＋1最大，則ar＋1＝2－rCeq\o\al(r,8)，則eq\f(ar＋1,ar)＝eq\f(2－rC\o\al(r,8),2－r－1C\o\al(r－1,8))＝eq\f(9－r,2r)≥1，eq\f(ar＋1,ar＋2)＝eq\f(2－rC\o\al(r,8),2－r＋1C\o\al(r＋1,8))＝eq\f(2r＋1,8－r)≥1，解得2≤r≤3.當(dāng)r＝2時，a3＝2－2Ceq\o\al(2,8)＝7，當(dāng)r＝3時，a4＝2－3Ceq\o\al(3,8)＝7，因此，第3項和第4項的系數(shù)最大，故系數(shù)最大的項為T3＝7xeq\s\up10(\f(5,2))，T4＝7xeq\s\up10(\f(7,4)).1．賦值法的應(yīng)用二項式定理給出的是一個恒等式，對于a，b的一切值都成立．因此，可將a，b設(shè)定為一些特別的值．在運用賦值法時，令a，b等于多少時，應(yīng)視詳細狀況而定，一般取“1，－1或0”(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其綻開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可．見舉例說明1.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其綻開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．二項綻開式的各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和的求法(1)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的綻開式中各項系數(shù)之和為f(1)．(2)奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2).(3)偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).3．求解二項式系數(shù)或綻開式系數(shù)的最值問題的一般步驟第一步，要弄清所求問題是“綻開式系數(shù)最大”“二項式系數(shù)最大”兩者中的哪一個．其次步，若是求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求綻開式系數(shù)的最大值，有兩個思路，如下：思路一：由于二項綻開式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)n的式子，可以看作關(guān)于n的數(shù)列，通過推斷數(shù)列增減性的方法從而推斷系數(shù)的增減性，并依據(jù)系數(shù)的增減性求出系數(shù)的最值．見舉例說明2.思路二：由于綻開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案.1．(2024·廣東揭陽模擬)已知(2x＋eq\r(2))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________.答案16解析解法一：由題意，取x＝1，得(eq\r(2)＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)；①取x＝－1，得(eq\r(2)－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)．②①②相乘，得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(eq\r(2)＋2)4×(eq\r(2)－2)4＝[(eq\r(2))2－22]4＝16.解法二：由題意及二項式定理，得a0＝4，a1＝16eq\r(2)，a2＝48，a3＝32eq\r(2)，a4＝16.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(16eq\r(2)＋32eq\r(2))2＝16.2．已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的綻開式的二項式系數(shù)和比(3x－1)n的綻開式的二項式系數(shù)和大992，則在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的綻開式中，二項式系數(shù)最大的項為________，系數(shù)的肯定值最大的項為________．答案－8064－15360x4解析由題意，知22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二項式系數(shù)的性質(zhì)，知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的綻開式中第6項的二項式系數(shù)最大，故二項式系數(shù)最大的項為T6＝Ceq\o\al(5,10)·(2x)5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.設(shè)第k＋1項的系數(shù)的肯定值最大，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)·(2x)10－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝(－1)kCeq\o\al(k,10)·210－k·x10－2k，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)·210－k≥C\o\al(k－1,10)·210－k＋1，,C\o\al(k,10)·210－k≥C\o\al(k＋1,10)·210－k－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)≥2C\o\al(k－1,10)，,2C\o\al(k,10)≥C\o\al(k＋1,10)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11－k≥2k，,2k＋1≥10－k，))解得eq\f(8,3)≤k≤eq\f(11,3).∵k∈Z，∴k＝3.故系數(shù)的肯定值最大的項是第4項，T4＝－Ceq\o\al(3,10)·27·x4＝－15360x4.題型三二項式定理的應(yīng)用1．已知n為滿意S＝a＋Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋Ceq\o\al(3,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)(a≥3)能被9整除的正數(shù)a的最小值，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的綻開式中，二項式系數(shù)最大的項為()A．第6項 B．第7項C．第11項 D．第6項和第7項答案B解析由于S＝a＋Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋Ceq\o\al(3,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)＝a＋227－1＝89＋a－1＝(9－1)9＋a－1＝Ceq\o\al(0,9)×99－Ceq\o\al(1,9)×98＋…＋Ceq\o\al(8,9)×9－Ceq\o\al(9,9)＋a－1＝9×(Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9))＋a－2，a≥3，所以n＝11，從而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))11的綻開式中的系數(shù)與二項式系數(shù)只有符號差異，又中間兩項的二項式系數(shù)最大，中間兩項為第6項和第7項，且第6項系數(shù)為負，第7項系數(shù)為正，所以第7項系數(shù)最大．2．計算1.056.(精確到0.01)解1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…≈1＋0.3＋0.0375≈1.34.二項式定理應(yīng)用的常見題型及求解策略(1)整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中關(guān)注綻開式的最終幾項，而求近似值則關(guān)注綻開式的前幾項．見舉例說明1.(2)二項式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項式定理，留意選擇合適的形式．(3)利用二項式定理進行近似計算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時，(1＋x)n≈1＋nx.若精確度要求較高，則可運用更精確的公式(1＋x)n≈1＋nx＋eq\f(nn－1,2)x2.1．(2024·銀川模擬)Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n,n)等于()A．3n B．2·3nC.eq\f(3n,2)－1 D.eq\f(3n－1,2)答案D解析Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n,n)＝eq\f(1,2)(Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1＋2)n－eq\f(1,2)＝eq\f(3n－1,2).2．883＋6被49除所得的余數(shù)是()A．－14 B．0C．14 D．35答案B解析由二項式定理綻開，得883＋6＝(7＋1)83＋6＝783＋Ceq\o\al(1,83)×782＋…＋Ceq\o\al(81,83)×72＋Ceq\o\al(82,83)×7＋1＋6＝72M＋83×7＋7(＝49M＋49×＝49N(N是正整數(shù))．∴883＋6被49除所得的余數(shù)是0.3．求0.9986的近似值．(精確到0.001)解0.9986＝(1－0.002)6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…≈1－0.012＋0.00006≈0.988.易錯防范二項綻開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)[典例]設(shè)(5x－eq\r(x))n的綻開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則綻開式中二項式系數(shù)最大的項為________．答案150x3解析依題意，得M＝4n＝(2n)2，N＝2n，于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，∴2n＝16＝24，解得n＝4.要使二項式系數(shù)Ceq\o\al(r,4)最大，只有r＝2，故綻開式中二項式系數(shù)最大的項為T3＝Ceq\o\al(2,4)(5x)2·(－eq\r(x))2＝150x3.防范措施明確二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)分(a＋bx)n的綻開式中，二項式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它們是組合數(shù)，只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．如第r＋1項的二項式系數(shù)是Ceq\o\al(r,n)，而該項的系數(shù)是Ceq\o\al(r,n)an－rbr.當(dāng)然，在某些特別的二項綻開式(如(1＋x)n)中，各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的．組基礎(chǔ)關(guān)1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))6的綻開式中()A．不含x9項 B．含x4項C．含x2項 D．不含x項答案D解析Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,6)x12－2rx－r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)x12－3r，故x的次數(shù)為12,9,6,3,0，－3，－6.故選D.2．(2024·合肥一模)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))6綻開式的常數(shù)項為60，則a的值為()A．4 B．±4C．2 D．±2答案D解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(ax)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)a6－r·x6－eq\s\up4(\f(3,2))r，令6－eq\f(3,2)r＝0，解得r＝4，∴(－1)4Ceq\o\al(4,6)a2＝60，解得a＝±2.3．已知(1－2x)n(n∈N*)綻開式中x3的系數(shù)為－80，則綻開式中全部項的二項式系數(shù)之和為()A．64 B．32C．1 D．－1答案B解析依題意，(1－2x)n的綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·1n－r·(－2x)r＝Ceq\o\al(r,n)·(－2)r·xr，于是有Ceq\o\al(3,n)·(－2)3＝－80，即Ceq\o\al(3,n)＝10＝Ceq\o\al(3,5)，n＝5.因此(1－2x)n的綻開式中全部項的二項式系數(shù)之和為25＝32，故選B.4．(2024·榮成摸底)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的綻開式中，含x2項的系數(shù)是()A．10 B．15C．20 D．25答案C解析含x2項的系數(shù)為Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＝20.5．(2024·寧波模擬)在(x－2)2024的二項綻開式中，含x的奇次冪的項的系數(shù)之和為M，含x的偶次冪的項的系數(shù)之和為N，則當(dāng)x＝－1時，M－N＝()A．(－3)2024 B．－1C．1 D．32024答案D解析設(shè)(x－2)2024＝a0x2024＋a1x2024＋…＋a2024x＋a2024，則當(dāng)x＝－1時，有a0(－1)2024＋a1(－1)2024＋…＋a2024(－1)＋a2024＝－a0＋a1＋…－a2024＋a2024＝(－3)2024，即M－N＝(a0＋a2＋…＋a2024)－(a1＋a3＋…＋a2024)＝32024.6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于()A.eq\f(3,4)(3n－1) B.eq\f(3,4)(3n－2)C.eq\f(3,2)(3n－2) D.eq\f(3,2)(3n－1)答案D解析在綻開式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝eq\f(31－3n,1－3)＝eq\f(3,2)(3n－1)．7．(2024·湘贛十四校第一次聯(lián)考)(x3－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的綻開式中的常數(shù)項為()A．－60 B．240C．－80 D．180答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的通項為Ceq\o\al(r,6)2rxeq\s\up4(\f(6－3r,2))，所以(x3－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的綻開式中的常數(shù)項為x3Ceq\o\al(4,6)24xeq\s\up4(\f(6－12,2))＋(－1)·Ceq\o\al(2,6)22xeq\s\up4(\f(6－6,2))，即Ceq\o\al(4,6)24－Ceq\o\al(2,6)22＝240－60＝180，所以(x3－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的綻開式中的常數(shù)項為180.8．(2024·天津高考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,8x3)))8的綻開式中的常數(shù)項為________．答案28解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,8x3)))8的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8x3)))r＝Ceq\o\al(r,8)28－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))r·x8－4r.令8－4r＝0，得r＝2，∴常數(shù)項為T3＝Ceq\o\al(2,8)26eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))2＝28.9．已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，則a2＝________.答案24解析(2x－1)4＝[2(x－1)＋1]4，T2＋1＝Ceq\o\al(2,4)[2(x－1)]2＝24(x－1)2.10．(2024·福州市高三期末測試)設(shè)n為正整數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x3)))n的綻開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項為________．答案112解析依題意，得n＝8，所以綻開式的通項Tr＋1Ceq\o\al(r,8)x8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))r＝Ceq\o\al(r,8)x8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以綻開式中的常數(shù)項為T3＝Ceq\o\al(2,8)(－2)2＝112.組實力關(guān)1．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m的綻開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1的綻開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7bA．5 B．6C．7 D．8答案B解析由題意，得a＝Ceq\o\al(m,2m)，b＝Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以eq\f(13·2m！,m！·m！)＝eq\f(7·2m＋1！,m！·m＋1！)，所以eq\f(72m＋1,m＋1)＝13，解得m＝6，故選B.2．(2024·洛陽模擬)若(1－2024x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024(x∈R)，則eq\f(a1,2024)＋eq\f(a2,20242)＋…＋eq\f(a2024,20242024)的值為()A．20242024 B．1C．0 D．－1答案D解析令x＝0，得a0＝1，令x＝eq\f(1,2024)，得0＝a0＋eq\f(a1,2024)＋eq\f(a2,20242)＋…＋eq\f(a2024,20242024)，所以eq\f(a1,2024)＋eq\f(a2,20242)＋…＋eq\f(a2024,20242024)＝－1.3．設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512024＋a能被13整除，則a＝()A．