2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專題重組卷第二部分基礎(chǔ)鞏固練三文含解析

PAGE基礎(chǔ)鞏固練(三)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．(2024·保定一中二模)已知集合A＝{1,2}，集合B滿意A∪B＝{1,2}，則這樣的集合B的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案D解析∵集合A＝{1,2}，集合B滿意A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?，B＝{1}，B＝{2}，B＝{1,2}．∴滿意條件的集合B有4個(gè)．故選D.2．(2024·山東日照一模)設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1＋mi)·(1＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝()A．－1B．0C．1D．0或1答案C解析∵(1＋mi)(1＋i)＝(1－m)＋(1＋m)i是純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝0，,1＋m≠0，))即m＝1.故選C.3．(2024·四川宜賓二模)一個(gè)四棱柱的底面是正方形，且側(cè)棱與底面垂直，其正(主)視圖如圖所示，則其表面積等于()A．16B．8C．4eq\r(2)D．4＋4eq\r(2)答案D解析依據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，高為1的正四棱柱．故S＝2×eq\r(2)×eq\r(2)＋4×eq\r(2)×1＝4＋4eq\r(2).故選D.4．(2024·全國卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－eq\r(3)B．－2＋eq\r(3)C．2－eq\r(3)D．2＋eq\r(3)答案D解析tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3).故選D.5．(2024·蘭州二模)如圖的折線圖給出的是甲、乙兩只股票在某年中每月的收盤價(jià)格，已知股票甲的極差是6.88元，標(biāo)準(zhǔn)差為2.04元；股票乙的極差為27.47元，標(biāo)準(zhǔn)差為9.63元，依據(jù)這兩只股票在這一年中的波動(dòng)程度，給出下列結(jié)論：①股票甲在這一年中波動(dòng)相對(duì)較小，表現(xiàn)的更加穩(wěn)定；②購買股票乙風(fēng)險(xiǎn)高但可能獲得高回報(bào)；③股票甲的走勢(shì)相對(duì)平穩(wěn)，股票乙的股價(jià)波動(dòng)較大；④兩只股票在全年都處于上升趨勢(shì)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案C解析甲的標(biāo)準(zhǔn)差為2.04，乙的標(biāo)準(zhǔn)差為9.63，則甲的標(biāo)準(zhǔn)差小，即股票甲在這一年中波動(dòng)相對(duì)較小，表現(xiàn)的更加穩(wěn)定，故①正確；股票甲的極差是6.88元，股票乙的極差為27.47元，則購買股票乙風(fēng)險(xiǎn)高但可能獲得高回報(bào)，故②正確；由圖象知股票甲的走勢(shì)相對(duì)平穩(wěn)，股票乙的股價(jià)波動(dòng)較大，故③正確；甲股票、乙股票均在6～8月份之間出現(xiàn)下跌，故④錯(cuò)誤．故選C.6．(2024·沈陽一模)若函數(shù)f(x)＝eq\r(a－ax)(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[0,1]，則logaeq\f(7,11)＋logaeq\f(11,14)＝()A．－2B．－1C．0D．1答案B解析由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，f(x)＝eq\r(a－ax)(a>0，a≠1)是單調(diào)遞增函數(shù)或者是單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)閒(1)＝0，所以f(x)為[0,1]上的遞減函數(shù)，所以f(0)＝eq\r(a－1)＝1，解得a＝2，所以log2eq\f(7,11)＋log2eq\f(11,14)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,11)×\f(11,14)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.故選B.7．(2024·廣東茂名綜合測(cè)試)將函數(shù)g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．f(x)的一個(gè)周期為2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,3)對(duì)稱C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減答案D解析由題意得，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以A，B，C正確．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))上單調(diào)遞增，所以D錯(cuò)誤．故選D.8．(2024·長(zhǎng)春試驗(yàn)中學(xué)三模)某景區(qū)觀光車上午從景區(qū)入口發(fā)車的時(shí)間為7：30,8：00,8：30，某人上午7：40至8：30隨機(jī)到達(dá)景區(qū)入口，打算乘坐觀光車，則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)答案A解析上午7：40至8：30共50分鐘，等待時(shí)間不多于10分鐘的到達(dá)時(shí)間為7：50～8：00,8：20～8：30，共20分鐘，所以所求的概率P＝eq\f(20,50)＝eq\f(2,5).故選A.9．(2024·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－1,e|x|)的圖象大致為()答案C解析解法一：由定義可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以解除A，B，f(2)＝eq\f(3,e2)<1，解除D，故選C.解法二：由定義可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以解除A，B，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝(x2－1)ex，則f′(x)＝(x2＋2x－1)ex，所以f(x)在(－∞，0)上有極大值，故選C.10．(2024·四川綿陽二診)已知F1，F(xiàn)2是焦距為8的雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F2關(guān)于雙曲線E的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，若|AF1|＝4，則此雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3答案C解析如圖，因?yàn)锳為F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)，所以B為AF2的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)B為△AF1F2的中位線，所以O(shè)B∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3)，點(diǎn)F2(4,0)，漸近線為y＝eq\f(b,a)x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4b,\r(a2＋b2))＝2\r(3)，,a2＋b2＝16，))解得b＝2eq\r(3)，a＝2，所以雙曲線的離心率為e＝eq\f(4,2)＝2.故選C.11．(2024·大連二模)在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且acosB＋bcosA＝2cosC，c＝1，則角C＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案B解析因?yàn)閏＝1，故acosB＋bcosA＝2cosC＝2ccosC，由正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，故sinC＝2sinCcosC，由C∈(0，π)，所以sinC>0，故cosC＝eq\f(1,2)，由C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,3)，故選B.12．(2024·四川省樂山市一模)已知a，b，c，d都是常數(shù)，a>b，c>d.若f(x)＝2024－(x－a)(x－b)的零點(diǎn)為c，d，則下列不等式正確的是()A．a(chǎn)>c>b>dB．a(chǎn)>b>c>dC．c>d>a>bD．c>a>b>d答案D解析由題意，設(shè)g(x)＝(x－a)(x－b)，則f(x)＝2024－g(x)，因?yàn)間(x)＝0的兩個(gè)根是a，b，由題意知f(x)＝0的兩根c，d，也就是g(x)＝2024的兩根，畫出函數(shù)g(x)(開口向上)以及直線y＝2024的大致圖象，則g(x)與直線y＝2024交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是c，d，g(x)與x軸的交點(diǎn)就是a，b，又a>b，c>d，則c，d在a，b外，由圖得，c>a>b>d，故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．(2024·鄭州質(zhì)量預(yù)料)已知e1，e2為單位向量且夾角為eq\f(2π,3)，設(shè)a＝3e1＋2e2，b＝3e2，則a在b方向上的投影為________．答案eq\f(1,2)解析a·b＝|a||b|cosθ＝(3e1＋2e2)·3e2＝9×1×coseq\f(2π,3)＋6＝eq\f(3,2)，即|a||b|cosθ＝eq\f(3,2)，又|b|＝3，所以a在b方向上的投影為|a|·cosθ＝eq\f(1,2).14．(2024·天津高考)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(5).若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________．答案eq\f(π,4)解析如圖所示，在四棱錐V－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，也是圓柱下底面的中心，由四棱錐底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)，可得OC＝1.設(shè)M為VC的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MO1∥OC交OV于點(diǎn)O1，則O1即為圓柱上底面的圓心．∴O1M＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)，O1O＝eq\f(1,2)VO.∵VO＝eq\r(VC2－OC2)＝2，∴O1O＝1.可得V圓柱＝π·O1M2·O1O＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×1＝eq\f(π,4).15．(2024·河南師大附中二模)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))則z＝2x＋y的最大值為________．答案4解析作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，當(dāng)動(dòng)直線y＝－2x＋z過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，zmax＝2×2＋0＝4.16．(2024·漳州二模)已知定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x＋2)，其圖象連續(xù)不間斷，當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)是單調(diào)函數(shù)，則滿意f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x＋4)))的全部x之積為________．答案39解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x＋2)是連續(xù)的偶函數(shù)，所以直線x＝0是它的對(duì)稱軸，從而直線x＝2就是函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸．因?yàn)閒(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x＋4)))，所以x＝1－eq\f(1,x＋4)或x＋1－eq\f(1,x＋4)＝4.由x＝1－eq\f(1,x＋4)，得x2＋3x－3＝0，設(shè)方程的兩根為x1，x2，所以x1x2＝－3；由x＋1－eq\f(1,x＋4)＝4，得x2＋x－13＝0，設(shè)方程的兩根為x3，x4，所以x3x4＝－13，所以x1x2x3x4＝39.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．(一)必考題：60分．17．(本小題滿分12分)(2024·全國卷Ⅱ)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．解(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.18．(本小題滿分12分)(2024·衡水市三模)《漢字聽寫大會(huì)》不斷創(chuàng)收視新高，為了避開“書寫危機(jī)”，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某市大約10萬名市民進(jìn)行了漢字聽寫測(cè)試．現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機(jī)抽取50名市民的聽寫測(cè)試狀況，發(fā)覺被測(cè)試市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)全部在160到184之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第1組[160,164)，第2組[164,168)，…，第6組[180,184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)若電視臺(tái)記者要從抽取的市民中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；(2)試估計(jì)該市市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)的眾數(shù)與中位數(shù)；(3)已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機(jī)抽取2名市民組成弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化宣揚(yáng)隊(duì)，求至少有1名女性市民的概率．解(1)被采訪人恰好在第2組或第6組的概率P＝4×0.07＋4×0.01＝0.32.(2)眾數(shù)為170；設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋0.28＋(x－168)×0.08＝0.5.可得中位數(shù)x＝eq\f(0.5－0.48,0.08)＋168＝168.25.(3)第4組市民共50×0.12＝6名，其中男性3名，設(shè)為a，b，c，女性3名，設(shè)為d，e，f，則隨機(jī)抽取2名，可能為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15種，其中2名全是男性的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種狀況，設(shè)事務(wù)A為“從第4組中隨機(jī)抽取2名市民組成弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化宣揚(yáng)隊(duì)，至少有1名女性”，則所求概率P(A)＝1－eq\f(3,15)＝eq\f(4,5).19．(本小題滿分12分)(2024·福建莆田二模)如圖，在多面體ABCC1B1A1中，四邊形BB1C1C為矩形，AB＝BC＝eq\r(5)，CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1,2AA1＝CC1＝AC＝2，E，F(xiàn)分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，G是線段BB(1)求證：AC⊥EG；(2)求三棱錐F－EA1G解(1)證明：連接BF，B1E.∵E，F(xiàn)分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，且AA1∥CC1∴EF∥CC1，又CC1∥BB1，∴EF∥BB1，∴E，F(xiàn)，B，B1四點(diǎn)共面．∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥AC.∵AB＝BC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴AC⊥BF.又EF∩BF＝F，∴AC⊥平面BB1EF.又∵G∈BB1，∴EG?平面BB1EF，∴AC⊥EG.(2)在Rt△BCF中，由BC＝eq\r(5)，CF＝1，得BF＝2.∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥BF.又AC⊥BF，CC1∩AC＝C，∴BF⊥平面ACC1A1∵AA1∥CC1,2AA1＝CC1＝2，E，F(xiàn)分別是A1C1，AC的中點(diǎn)∴EF＝eq\f(3,2).又AF＝1，∴△A1EF的面積Seq\s\do4(△A1EF)＝eq\f(1,2)×EF×AF＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,4)，∵BB1∥EF，BB1?平面A1EF，EF?平面A1EF，∴BB1∥平面A1EF.三棱錐F－EA1GVeq\s\do4(F－EA1G)＝Veq\s\do4(G－A1EF)＝Veq\s\do4(B－A1EF)＝eq\f(1,3)×Seq\s\do4(△A1EF)×BF＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×2＝eq\f(1,2).20．(本小題滿分12分)(2024·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)假如存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．解(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由題意可知，滿意條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2).又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2).當(dāng)b＝4，a≥4eq\r(2)時(shí)，存在滿意條件的點(diǎn)P.所以b＝4，a的取值范圍為[4eq\r(2)，＋∞)．21．(本小題滿分12分)(2024·東北三省四市一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋alnx(a>0)．(1)若函數(shù)y＝f(x)圖象上各點(diǎn)切線斜率的最大值為2，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<2有解，求a的取值范圍．解f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(a,x)(x>0)．(1)∵a>0，∴當(dāng)eq\f(1,x)＝eq\f(a,4)時(shí)，f′(x)取最大值eq\f(a2,8)，∴eq\f(a2,8)＝2，∵a>0，∴a＝4，∴此時(shí)f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(4,x)＝eq\f(4x－2,x2).在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．∴f(x)的微小值點(diǎn)為x＝eq\f(1,2)，無極大值點(diǎn)．(2)∵f′(x)＝eq\f(ax－2,x2)(x>0且a>0)，∴在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．∴f(x)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝a＋alneq\f(2,a).∵關(guān)于x的不等式f(x)<2有解，∴a＋alneq\f(2,a)<2，∵a>0，∴l(xiāng)neq\f(2,a)＋1－eq\f(2,a)<0，令g(x)＝lnx＋1－x，∴g′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，在(0,1)上，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；在(1，＋∞)上，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，∴g(x)≤g(1)＝0，要使lneq\f(2,a)＋1－eq\f(2,a)<0，則eq\f(2,a)>0且eq\f(2,a)≠1.∴a的取值范圍是a>0且a≠2.(二)選考題：10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](2024·洛陽市一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，曲線C1，C2的公共點(diǎn)為A，B.(1)求直線AB的斜率；(2)若點(diǎn)C，D分別為曲線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|CD|取最大值時(shí)，求四邊形ACBD的面積．解(1)消去參數(shù)α，得曲線C1的一般方程C1為x2＋y2－2y＝0，①將曲線C2：ρ＝4cosθ化為直角