函數(shù)基礎(chǔ)知識梳理-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

餐照基礎(chǔ)和輛僦理

一、函數(shù)的概念與表示

【知識清單】

1.函數(shù)的概念：設(shè)A,B是兩個,如果對于集合A中的一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)

系/,使，在集合8中都有的數(shù)了和它對應(yīng)，那么就稱f：A-8為從集合一到集合5的一個函數(shù).

記作y=_/U)，

在函數(shù)y=/W，A中，x叫做自變量，工的取值范圍A叫做函數(shù)的:與x的值相對應(yīng)的)，值叫做

函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛心冰￡川叫做函數(shù)的.

特別地.如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有、圖象法和.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段

函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的,其值域等于各段函數(shù)的值域的—，分段函數(shù)雖由

幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

【必備知識】

1.常見函數(shù)的定義域

⑴分式函數(shù)中分母丕笠王0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大王或笠于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)零次第的底數(shù)不能為0.

(5)1="(。>0且亞1),y=sinx,y=cosi的定義域均為.

(6)丁=1。如。>0,分1)的定義域為________.(7)y=tanx的定義域為.

2.基本初等函數(shù)的值域

(1亞=丘+爾后0)的值域是R

(2)y=aF+bx+c(W0)的值域：當(dāng)。>0時，值域為；當(dāng)〃V0時，值域為__________.

(3)y=§(厚0)的值域是?

(4)y=〃(a>0且在1)的值域是.(5)y=logHa>0且際1)的值域是.

補充⑴一次分式函數(shù)/(?=甯(?0)的值域：

⑵函數(shù)/(力=奴+&〃>0/>0)的值域為；(3)函數(shù)y(A)=ax--(a>0,8>0)的值域為:

XX

(4)函數(shù)/(工)=上一4+上一可(〃,6,不￡1<)的值域為口〃一目,+8)；

函數(shù)"X)=卜_《_卜_q(々,。,工￡R)的值域為［_|。_母,卜_姐.

二、函數(shù)的基本性質(zhì)

【知識清單】

1.潼數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)1%)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個

自變量的值為，M

定義

當(dāng)內(nèi)々2時，都有________，那么就說函數(shù)以)當(dāng)由加時，都有________，那么就

在區(qū)間。上是增函數(shù)說函數(shù)_/(》)在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖象

0~~x

描述Opi~E_*

自左向右看圖象是______的自左向右看圖象是_____的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù))，=")在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=?r)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)

間。叫做函數(shù))，=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

★函數(shù)單調(diào)性的證明：定義法”取值一作差一變形一定號一結(jié)論

注意：函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不要用“U”.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù))，=/m)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足

(1)對于任意X?/，都有______:(3)對于任意都有______；

條件

(2)存在次￡/,使得人xo)=M(4)存在的￡/,使得/Cto)=M

結(jié)論“為最大值M為最小值

3.奇偶性的定義：設(shè)y=f(x),xGA,如果對于任意A,都有,則稱y=f(x)為偶函

數(shù)。設(shè)y=f(x),x￡A,如果對于任意xWA,都有,則稱y=f(x)為奇函數(shù)。

★奇偶性的判斷步驟：①②

4.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有,

那么就稱函數(shù)>=於)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)周期函數(shù)具有無數(shù)多個周期，如果它的周期存在著最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期

區(qū)數(shù)都有最小正周期，如常量函數(shù)f(x)=a(xeR);周期函數(shù)的定義域是無界的。

【必備知識】

1.對勾函數(shù)y=x+/a>0)的增區(qū)間為；減區(qū)間為,

且對勾函數(shù)為奇函數(shù).

2.設(shè)Vxi，及￡。(乃廷2)，則(1/(即)二/'°2)>0(或(片一刈)[/(片)一危2)]>0)可力在。上單調(diào)_______

X]X2

②/?(1)一。(及)

V0(或Cn—⑹伏不)一/2)]<0)?A*)在。上單調(diào)

X\-X2

4.一般規(guī)律：⑴若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)仍為增(減)詆數(shù);

(2)若f(x)為增函數(shù)，則一f(x)為函數(shù)；(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減。

5.函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論

(1)如果一個奇函數(shù)兀0在原點處有定義，即人0)有意義，那么一定有#0)=0.

(2)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(—x)=f(|x|).

(3)y=f(x)是偶函數(shù)Oy=f(x)的圖象y=f(x)是奇函數(shù)。y=f(x)的圖象

(4)奇函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具

有的單調(diào)性.

(5)若干個奇偶性相同的函數(shù)相加減，其奇偶性不變。若干個奇偶函數(shù)相乘除，當(dāng)奇函數(shù)個數(shù)為奇數(shù)是結(jié)果

為奇函數(shù)，當(dāng)奇函數(shù)個數(shù)為偶數(shù)是結(jié)果為偶函數(shù).(類似“負負得正”)

【知識拓展】

1.函數(shù)周期性常用結(jié)論：對/(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x,設(shè)20,

⑴若危+〃)=一外),則T=.(2)若?r+a)=

7b廁人

(4)若4+a)=；(I],則7=

⑶若危+。)=--77r，則T=

f(x)l+"x)

(5)若危+a)=與共，則T=(6)若/*(%+勿)=〃x+a)-/(x),則T=

1一小)

2.對稱性的一般結(jié)論

(1)函數(shù)人的滿足的關(guān)系/(a+x)=/S—x)=函數(shù))，=/U)圖像關(guān)于對禰

函數(shù)/(X)滿足的關(guān)系y(%)=y(Z?+a—x)=函數(shù)y=J(x)圖像關(guān)于％=巴/對稱.

特例：函數(shù)y=?r)圖像關(guān)于對稱=滅。+幻=7(〃-x)u貝x)=y(2a—/)；

函數(shù)y=M圖像關(guān)于X=o對稱=?!?)=/(—X)(即為偶函數(shù)).

(2)函數(shù)y=?x)圖像關(guān)于點(小加對稱=函數(shù)式處滿足的關(guān)系.

Q函數(shù)?x)滿足的關(guān)系.

特例：函數(shù)丁=/)圖像關(guān)于點3,0)對稱=：/(a+x)+_/(a-x)=0=W2a+x)+/(-x)=0；

函數(shù)y=/(x)圖像關(guān)于點(0,0)對稱=段)+/(一工)=0(即為奇函數(shù)).

(3?=以+。)是偶函數(shù)=函數(shù)圖像y=/U)關(guān)于直線x=a對稱；

y=/(x+a)是奇函數(shù)o函數(shù)圖像y=_/(x)關(guān)于3,0)對稱.

3.豕數(shù)對稱性與函數(shù)周期性的關(guān)系

①log"(MN)=；②log,R=;③log3T=(〃￡R)；

(4)換底公式：lo即N=(。，人均大于零且不等于1).

推論：logablogha=l;log,/N"=。

4.指數(shù)函數(shù)y=a'與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a^l)的圖象及性質(zhì)

名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)

x

一般形式y(tǒng)=a(a>0且a#l)y=logax(a>0,a^l)

定義域

值域

過定點

指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logaX(a>0,a#l)圖象關(guān)于y=x對稱

圖象

單調(diào)性

y>l?y>0?

值分布

y<l?y<0?

5.幕函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①定義：一般地，形如的函數(shù)稱為零函數(shù).

2-,

②熟記下列函數(shù)的圖象：(1)y=x；(2)y=/；(3)y=x；(4)y=A;(5)y=d.

(在同一坐標(biāo)系中畫出)

③塞函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律：

(I)所有的晶函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點―；

(II)時，幕函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).時，事函數(shù)的圖象在

區(qū)間(0,+oO)上是減函數(shù).

6.二次函數(shù)(略)

四、函數(shù)與方程

【知識清單】

1.這數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=f(x),我書把叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

零點的等價性：函數(shù)產(chǎn)f(x)有零點O=.

2.零點存在性判斷法則：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是的一條曲線，并且有.

那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在cw(a,b),使得f(c)=O,這個c也就是方程f(x)=O的根.

3.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根分布問題，記f(x)=ax2+bx+c(a>0)o

(1)兩個正根(2)兩個負根(3)一個正根一個負根

(4)兩個根都大于k(5)兩個根都小于k(6)一個根大于k一個根小于k

(7)兩實根都在區(qū)間(m,n)內(nèi)(8)兩根分別在區(qū)間(m,n)和(p,q)(n〈p)內(nèi)

(9)兩實根中有且只有一個在區(qū)間(m,n)內(nèi)

4.二分法的定義：對于在區(qū)間［a,b］上且的函數(shù)y=f(x),通過不斷的把函數(shù)的零點所在的

區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法.

5.給定精度和用二分法求函數(shù)/(x)的零點近似值的步驟如下：

(1)確定區(qū)間例，驗證/(a)g/?vO,給定精度￡；

(2);

(3)計算：若，則c就是函數(shù)的零點；若，則令b=c(此時零點七e(a,c))；

若，則令a=c(此時零點/w(c,b))；

(4)判斷是否達到精度￡；即若,則得到零點零點值。(或為；否則重復(fù)步驟2~4.

6.指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)

性/y=a\a>l)y=logs?a>l)

在(0,+8)上

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨〃值變化而各有

圖象的變化

與y軸平行為與X軸平行不同

值的比較存在一個的，當(dāng)X>Xo時，有l(wèi)og^VfV爐

7.利用描點法作函數(shù)的圖象

步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性

等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等)，描點，連線.

8.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

⑴平移變換iy=y=/(大士a),(a>0)------左"+”右

iiy=f(x)fy=±k,(k>0)------上“+”下

(2)對稱變換iy=/(x)(0-0)