高考重難點(diǎn)題型歸納：第24講 立體幾何大題15種歸類（原卷版）

第24講立體幾何大題15類

【題型一】平行1：四邊形法證線面平行

【典例分析】

如圖，在正方體中，E,F分別是44,CQ的中點(diǎn).

(1)求證：￡F〃平面AC。；(2)求異面直線EDi與AC所成角的余弦值.

【變式演練】

1.如圖所示，在四棱錐P-A3C。中,PC_L底面ABC。，AB1AD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2fE是

CE〃平面R\D-

2.如圖，在四棱錐尸-ABC力中，m_1面43。。，A8〃C￡>,且6=2,AB=l,BC=2x/LPA=l,AB1BCf

N為PZ）的中點(diǎn).

(2)求平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值；

(3)在線段加上是否存在一點(diǎn)M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是嚕,若存在求出器

的值，若不存在說明理由.

【題型二】平行2：中位線法證線面平行

【典例分析】

，如圖，四棱錐尸-488中，側(cè)面PADJL底面A5c。，底面A5CD為梯形，AB//DC,且

AP=PD=CD=2AB=26440。=//既=60。.4：交80于點(diǎn)/，G為△/%￡>的重心.

(1)求證：GF//平面Q4B；

(2)求三棱錐B-GFC的體積.

【變式演練】

1.如圖，三棱臺(tái)A4G-ABC,平面AACCJ平面ABC,側(cè)面AACG是等腰梯形,

ZAAC=q,4cB=],AC=BC=2AG=20,分別是AB,AG的中點(diǎn).

(1)求證：GM〃平面4與”；

(2)求CM與平面A5c所成角的正弦值.

2乃

.如圖，在四棱錐夕一。中，平面

2A4CPA_LA8C￡>,AD//BC,NBAD=—,AD=2AB=2BC=2PA=4t

例為P8上靠近8的三等分點(diǎn).(1)求證:PW/平面ACM；

(2)求直線PO與平面ACM的距離.

【題型三】平行3:做平行平面法證線面平行

【典例分析】

如圖，3。分別是以AB為直徑的半圓。上的點(diǎn)，滿足BC=CO=D4,△*8為等邊三角形，且與半圓。

所成二面角的大小為90。，E為的中點(diǎn)

DE〃平面PBC；(2)求二面角人一命一。的余弦值.

【變式演練】

1.在匹棱錐P—A38中，BC=BD=DE=26AD=AB=PD=PB=2.

(1)若七為PC的中點(diǎn)，求證：8￡〃平面雨。.

(2)當(dāng)平面PBD1平面48CO時(shí)，求二面角的余弦值.

2.如圖所示的四棱錐P-ABCD的底面ABCD是一個(gè)等腰梯形，AQ//BC,且4。=2A〃=2BC=4,PO是A

PAD的中線，點(diǎn)E是棱尸。的中點(diǎn).

p

(1)證明：CE〃平面

若平面R4O_L平面ABCQ,且PA=求平面E45與平面PCD夾角余弦值.

(3)在（2）條件下，求點(diǎn)。到平面Q45的距離.

【題型四】平行4:難題-線面探索型

【典例分析】

在四棱錐P—A5CQ中，底面ABCO是菱形，ACBD=O.

（1）若人。_10。，求證：4。_1平面相。；

（II）若平面PACJ_平面ABCQ,求證：PB=PD；

PM

（HI）在棱PC上是否存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得3M//平面PAD，若存在，求器的值；若不存在,

說明理由.

【變武演練】

1.如圖所示四棱錐P—ABCD中，PA_L底面48C。，四邊形ABCO中，ABLAD,BC/IAD,

PA=AB=BC=2,AD=4.

p

B

（1）求四棱錐P-ABCD的體積；

（2）求證：CQ_L平面尸AC；

（3）在棱PC上是否存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）,使得8M〃平面P4D，若存在，求警的值；若不存在，說

明理由.

兀

2.如圖，矩形ADM和菱形A3CD所在平面互相垂直，已知乙4DC=3?，點(diǎn)N是線段AQ的中點(diǎn).

（1）求證：CNLAF；

（2）試問在線段破上是否存在點(diǎn)M，使得直線AF//平面MNC?若存在，請(qǐng)證明A/〃平面MNC,

并求出絲的值；若不存在，請(qǐng)說明理由?

ME

【題型五】平行5：證面面平行

【典例分析】

如圖所示，在三棱柱ABC—48cl中，E,F,G,"分別是ABAC,其與，4G的中點(diǎn),

求證：(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面ER〃平面3c

【變式演練】

1.如圖，在圓柱中，A8,8分別是上、下底面圓的直徑，且AB〃CD,EF,G”分別是圓柱軸截

面上的母線.

⑴若CE=DE=2圓柱的母線長(zhǎng)等于底面圓的直徑，求圓柱的表面積

(2)證明：平面〃平面ECD.

2.如圖①，在梯形以4c中,人3。與4附C均為等腰直角三角形，ZPAC=ZABC=90°,PC=4,

E分別為%,PC的中點(diǎn).將△巴)￡：沿。七折起，使點(diǎn)尸到點(diǎn)P，的位置(如圖②)，G為線段戶8的中

點(diǎn).在圖②中解決以下兩個(gè)問題：

(1)求證：平面GAC〃平面POE；

(2)若直線產(chǎn)A與平面附4c所成的角為30。時(shí)，求三棱錐產(chǎn)一ACG的體積.

【題型六】平行6：難題--面面平行探索性題型

【典例分析】

已知正四棱錐S-ABC。的各條棱長(zhǎng)都相等，且點(diǎn)比廠分別是SB,SO的中點(diǎn).

（1）求證:AC_LS8；

（2）在sc上是否存在點(diǎn)M,使平面M5O//平面AEF，若存在，求出的值；若不存在，說明理

MC

由.

【變式演練】

1.在正方體AG中，E、尸分別為AC、&G的中點(diǎn)，ACTBD=P,4GlEF=Q,如圖.

（1）若AC交平面瓦3￡）于點(diǎn)H，證明：?、。、R三點(diǎn)共線；

（2）線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得平面用RM〃平面瓦3。，若存在確定M的位置，若不存在說明

理由.

2.如圖，在四棱錐尸—A8CD中，已知底面43CD為矩形，24J_平面尸DC,點(diǎn)E為棱尸。的中點(diǎn).

（1）求證：CQ_L平面P4O

（2）直線4。上是否存在一點(diǎn)產(chǎn)，使平面P8///平面AEC?若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【題型七】垂直1:線面垂直

【典例分析】

TT乃

如圖，在平行四邊形48CO中，AB=l,BC=2,NCBA=-,A8EF為直角用形，BE//AF,NBAF=一,

32

BE=2,A"=3,平面A8CO_L平面A8EF.

(1)求證：ACL平面ABE立

(2)求多面體A8COE與多面體AOE尸的體積的比值.

【變式演練】

1.如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直,AB=AD=?CD,AB〃CD,CP_LCD,

2

M為PD的中點(diǎn).

(1)求證：AM〃平面PBC；

(2)求證：BDJ_平面PBC.

2.如圖，已知A48C是正三角形，EA.CQ都垂直于平面43C，且E4=AB=〃,OC=a,/是班的中

點(diǎn)，求證:

(1)F。//平面ABC；(2)AE_L平面瓦汨.

【題型八】垂直2：面面垂直

【典例分析】

如圖，在以尸為頂點(diǎn)，母線長(zhǎng)為正的圓錐中，底面圓。的直徑48長(zhǎng)為2,。是圓。所在平面內(nèi)一點(diǎn),

且AC是圓。的切線，連接3C交圓。于點(diǎn)O,連接?。，PC.

(1)求證：平面F4C_L平面P8C；

(2)若E是PC的中點(diǎn)，連接OE,，當(dāng)二面角B-PO-D的大小為120時(shí)，求平面PAC與平面DOE

所成銳二面角的余弦值.

【變式演練】

1.如圖，梯形A88所在的平面與等腰梯形45所所在的平面互相垂直，G為AB的中點(diǎn)，ABA.AD,

AB//CD//EF,DA=AF=EF=CD=6,AB=26

(I)求證：CE〃平面ADF；(H)求證：平面CEG1平面CF8：

(Ill)求多面體A在3CO的體枳.

2.如圖，在四棱錐尸—A8CD中，底面ABC。為正方形，P4_L底面ABC。，PA=AB^E為線段M的

中點(diǎn).

(1)若尸為線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，證明：平面4￡F_L平面P8C；

(2)若尸為線段BC,CD,D4上的動(dòng)點(diǎn)(不含A，B),Q4=2,三棱錐A—班廠的體積是否存在

最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【題型九】垂直3：難題-垂直探索性題型

【典例分析】

直三棱柱ABC—44G中，AB=5,AC=3,BC=4,點(diǎn)O是線段A8上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)時(shí)，求證：ACJ平面片CQ：

(2)線段AB上是否存在點(diǎn)。，使得平面平面。。與？若存在，試求出AO的長(zhǎng)度；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【變式演練】

1.如圖，在三棱柱ABC—A耳G中，CR_L底面A8C,ACLCB,點(diǎn)。是A5的中點(diǎn).

(I)求證：AC±BC｝；

(II)求證：AG〃平面用.

(III)設(shè)A5=2A4,,AC=BC,在線段4片上是否存在點(diǎn)M,使得BM_LC4?若存在，確定點(diǎn)M的位

置；若不存在，說明理由.

2.三棱錐產(chǎn)一ABC中，AB=AC=2,BC=2g,PA=PB=S面抬8>1面48。.

(1)求PC長(zhǎng)；(2)求三棱錐體積;

(3)AP4c內(nèi)(含邊界)上是否存在”點(diǎn)，使用/，面巳4。.若存在”點(diǎn)，求出〃點(diǎn)的位置；若不存

在H點(diǎn),說明理由.

【題型十】垂直4：難題-翻折中的垂直

【典例分析】

如圖①，在菱形ABC。中，NA=60°且A8=2,E為A。的中點(diǎn)，將△4BE沿BE折起使AO=應(yīng)，得到

如圖②所示的四楂錐4-BCDE.

AD

圖①圖②

(I)求證：平面ABE_L平面ABC；

(H)若尸為4c的中點(diǎn)，求三棱錐P-的體積.

【變式演練】

1.如圖，43CO是塊矩形硬紙板，其中45=24。=2五，E為DC中點(diǎn),將它沿4E折成直二面角

D-AE-B.

(1)求證：4Q_L平面8QE；

(2)求四棱錐Q-ABCE體積.

2.如圖1所示，在等腰梯形48C。中，BCi/AD,CE_LAZ),垂足為E,AD=3BC=3,EC=\MM)EC

沿EC折起到皿石。的位置，如圖2所示，使平面AEC_L平面48CE.

(1)連結(jié)BE,證明：A3_L平面"8E；

(2)在棱4A上是否存在點(diǎn)G,使得BG//平面REC,若存在，直接指出點(diǎn)G的位置(不必說明理由)，

并求出此時(shí)三棱錐G-0EC的體積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【題型十一】體積1:常規(guī)求法和等體積轉(zhuǎn)化型

【典例分析】

如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ACBD-AG用A中，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：AB//平面A8C；

(2)若M是AB的中點(diǎn)，證明：平面MCG_L平面AB81A：

(3)求三棱錐"-4旦。的體積.

【變式演練】

1.四棱錐尸-ABCO中，AB//CD,ABLBC,AB=BC=\,PA=CD=2f%_L底面ABC。，E在PB上.

(2)若PE=2BE,求三棱錐P-4CE的體積.

2.如圖，四棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC。，AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M

為線段AO上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).(I)證明MV〃平面R43：

(II)求四面體N-8CM的體積.

【題型十二】體積2：難題-多面體割補(bǔ)型

【典例分析】

如圖，梯形43CZ）所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為A8的中點(diǎn)，ABA.AD,

AB//CD//EF,DA=AF=EF=CD=BAB=25

（I）求證：CE〃平面ADF：（II）求證：平面CEG1平面CF8；

（III）求多面體A莊BC。的體積.

【變式演練】

1.如圖，己知平面ADC//平面AqG，B為線段AO中點(diǎn)，△ABCgZXAgG，四邊形為正方

形，平面AAGC，平面Aoqa，4。二例，NGAA=2,M為棱AC中點(diǎn).

（1）求證：平面4。。_1平面人。。14；

（2）若AC=2,求多面體AOC-A4G的體積.

2.如圖，在多面體ABCDE尸中，40"為矩形，A8CZ）為等腰梯形，BC//AD,BC=2,4￡>=4,

且平面ADEFJ"平面45CD,M，N分別為EF，CO的中點(diǎn).

（I）求證：MN//平面ACF；

（II）若。七二2,求多面體A3CDE戶的體積.

【題型十三】體積3：難題一兩部分體積比

【典例分析】

如圖，在四棱錐P—A8S中，底面A8c。為菱形，為正三角形，平面R4O_L平面A8cD,E、

產(chǎn)分別是A。、CO的中點(diǎn).

（1）證明：平面PE廠;

PM

（2）若M是PB棱上一點(diǎn)，三棱錐”-皿＞與三棱錐「一。砂的體積相等，求會(huì)的值?

MB

【變式演練】

1.如圖，A8CD是邊長(zhǎng)為3的正方形，Z）E_L平面A8CD,4尸_1_平面A8CO,DE=3AF=3.

￡

(1)證明：平面ABF〃平面DCE；

(2)在QE上是否存在一點(diǎn)G,使平面F3G將幾何體A8CD瓦'分成上下兩部分的體積比為3:11?若

存在，求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.如圖，多面體ABCDE/中，AB=DE=2,AO=1,平面CQE_L平面A8CD,四邊形A3CO為矩形,

BC〃EF，點(diǎn)G在線段CE上，且EG=2GC=2aAB.

3

(1)求證：OE_L平面ABC。；

⑵茅EF=2BC,求多面體被平面設(shè)巖分成的大、小兩部分的體積比.

【題型十四】體積4：難題一動(dòng)點(diǎn)型

【典例分析】

如圖，△24。是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，四邊形A8C。為正方形，平面R4D_L平面48CO.點(diǎn)E，/分

別為棱CO,PD上的點(diǎn),且宅=段=《，G為棱A8上一點(diǎn)，且空=冗.

FDED2GB

(I)當(dāng)4=1時(shí)，求證：PGP平面AEV；

2

(II)已知三棱錐4—EFG的體積為退，求/I的值.

【變式演練】

1.如圖，四邊形A8CO為矩形，△BC尸為等腰三角形，且NR4E=NOAE=90°,EA//FC.

(1)證明：BF//平面4OE

(2)設(shè)與1=4,問是否存在正實(shí)數(shù)4,使得三棱錐4-8。尸的高恰好等于逅BC?若存在，求出義的

AB6

值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.如圖所示，在三棱錐尸一ACD中，B4_L平面AC。，A￡>=2，PD=2AC=2叵，ND4C=45°.

（1）證明：CQ_L平面PAC；

（2）若N為棱A。的中點(diǎn)，點(diǎn)〃為棱尸。上一點(diǎn)，且二棱錐N-MCD的體積為（，通過計(jì)算判斷點(diǎn)M

的位置.

【題型十五】體積5：難題-最值型

【典例分析】

如圖,三棱錐4一58中，側(cè)面△ABO是邊長(zhǎng)為2的正三角形，4c=2C￡>=2,平面ABO_L平面BCQ,

把平面4c。沿CO旋轉(zhuǎn)至平面PCO的位置，記點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為夕（不在平面8CD內(nèi)），M、N

分別是BQ、CO的中點(diǎn).（1）求證：CD1MN；

（2）求三棱錐C-4Z）的體積的最大值.

【變式演練】

1.如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面ABCD為正方形，Q4_L底面ABC。，PA=AB>E為線段的

中點(diǎn).

（1）若尸為線段5c上的動(dòng)點(diǎn)，證明：平面AEFJ_平面尸8C；

（2）若尸為線段BC,CD,DA上的動(dòng)點(diǎn)（不含4，B）,24=2,三棱錐A-班尸的體積是否存在

最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

2.如圖所示，在矩形ABCD中，A3=2BC=2,E為邊A8的中點(diǎn)，將^ADE沿直線OE翻折為/\ADE，

若F為線段A!C的中點(diǎn).在LADE翻折過程中,

（I）求證：BF〃面ADE；

（II）求多面體8E尸體積的最大值.

【課后練習(xí)】

1.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，必做,ABA.BCf側(cè)面底面ABC。,

PA=PB=AD=2,BC=4.

（1）若P8的中點(diǎn)為E求證：4E〃平面尸6；

（2）若PB與底面ABC。所成的角為60。，求平面尸C。與平面PB。的夾角的余弦值.

AD=AB=—CD=2

2.（廣東省潮州市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在四棱錐P-ABC力中,AB//C。，2

NDAB=60,點(diǎn)￡尸分別為CZ）,4P的中點(diǎn).

8

（1）證明:PC〃平面8￡尺

（2）若以1尸。，且布=尸，面雨。1面ABC。，求二面角G8E■尸的余弦值.

3.在匹棱錐中P—A3CD,ABLPA,ABHCD,AB<DC,PA=PD，平面BADJL平面A3CD

（1）求證：平面PCD_L平面?AO；

（2）在棱上4上是否存在點(diǎn)。，使DQ〃平面PBC,若存在，求尸的值；若不存在，說明理由.

4.（威遠(yuǎn)中學(xué)校高三月考）如圖，在多面體A3CD￡尸中，底面A3CD是邊長(zhǎng)為2的的菱形，ZBAD=60，

四邊形3?！晔蔷匦?，平面比后尸_L平面ABC。，BF=3,G和“分別是CE和C77的中點(diǎn).

（I）求證：平面BDGH//平面4EF：

（II）求二面角”—50—C的大小.

5.（江蘇省南通市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在直四棱柱“BCD-ABIGA中，點(diǎn)M是線段

8a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，只尸分別是8CCM的中點(diǎn).

DiG

（1）求證：石///平面BOR片.

（2）在棱CO上是否存在點(diǎn)G,使得平面GEF//平面BDRBi?若存在，求出器的值；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

6.如圖，在斜三棱柱ABC-AqG中，已知AABC為正三角形，E分別是AC,CG的中點(diǎn)，平面

A4GCJ_平面ABC,A.EA.AC..

（1）求證：QE〃平面A4G；（2）求證：AE_L平面5?！?/p>

7.如圖，在四棱錐P—A8C。中，底面A8CD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上（異于點(diǎn)尸，C）,平面叱與棱尸。

交于點(diǎn)F.

（1）求證：AB//EF；

（2）若Ab_LEF，求證：平面BA。_L平面ABCO.

8.（河南省洛陽市高三考前練習(xí)二文科數(shù)學(xué)試卷）如圖所示，在正三棱柱ABC-AqG中，AB=A4,,D

是3C上的一點(diǎn)，且4OJLG。.

（1）求證：48〃平面AG。；

（2）在棱C