第三章-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(測試)(解析版)

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（測試）時間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解析】由題意知,所以，解得，則，故．故選：B2．（2023·四川涼山·三模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若1不是函數(shù)的極值點，則實數(shù)a的值為（

）．A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由題意可知，若1不是函數(shù)的極值點，則，即，當(dāng)時，，故當(dāng)，當(dāng)，因此是的極值點，1不是極值點，故滿足題意，故選：D3．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱【答案】D【解析】由，可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；對求導(dǎo)，得，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以ABC錯誤，D正確.故選：D．4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，因為，所以，所以切線的斜率，解得，又，即，所以.故選：A.5．（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學(xué)校考三模）已知函數(shù)存在減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知,因為函數(shù)存在減區(qū)間,則有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以,因為有解,所以,解得.故選:D.6．（2023·吉林·吉林省實驗校考模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函數(shù)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，則，于是，即；當(dāng)時，，則，所以，而，于是，即；綜上：.故選：C7．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)而聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對于，有，若取，則，此時稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式.計算器正是利用這一公式將，，，，等函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項式函數(shù)，通過計算多項式函數(shù)值近似求出原函數(shù)的值，如，，則運用上面的想法求的近似值為（

）A．0.50 B． C． D．0.56【答案】B【解析】由三角恒等變換的公式，化簡得，又由，可得，所以.故選：B.8．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，若，不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，其中，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，由可得，所以，，所以，，令，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切，則下列直線中可能與垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】的定義域為，，即直線的斜率，設(shè)與垂直的直線的斜率為，則，所以，．故選：AB．10．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)函數(shù)，對任意的有，且在上，若，則實數(shù)a的可能取值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】令，即，則為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增，∵，即，∴，解得，故A、B正確，C、D錯誤.故選：AB．11．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）對于函數(shù)，則（

）A．有極大值，沒有極小值B．有極小值，沒有極大值C．函數(shù)與的圖象有兩個交點D．函數(shù)有兩個零點【答案】AD【解析】，則，因為在恒成立.所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；所以在處有極大值，沒有極小值，故A正確，B錯誤；根據(jù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，以及的圖象，如圖：由此可知，函數(shù)與的圖象只有一個交點，故C錯誤；函數(shù)有兩個零點等價于函數(shù)與圖像有兩個交點，如下圖所示：由此可知，函數(shù)與圖像有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點；故D正確.故選：AD.12．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【解析】若恒成立，則恒成立，構(gòu)建，則，∵，故，則有：當(dāng)，即時，則當(dāng)時恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即符合題意，故滿足條件的正整數(shù)為1或2；當(dāng)，即時，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，構(gòu)建，則當(dāng)時恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，∵，故滿足的整數(shù)；綜上所述：符合條件的整數(shù)為1或2或3，A、B、C正確，D錯誤.故選：ABC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2023·四川成都·成都七中校考一模）函數(shù)的圖象在處的切線方程為________．【答案】【解析】因為，則，，則，所以切線方程為，整理得.故答案為：14．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）寫出一個同時具備下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______.①定義城為，②導(dǎo)函數(shù)；③值域為【答案】（答案不唯一）【解析】取，因為，解得，所以的定義城為，符合①；，符合②；因為，所以的值域為，符合③.故答案為：（答案不唯一）15．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】∵，為連續(xù)函數(shù)，為單調(diào)函數(shù)，所以在上無極值點；又在上至多有一個極值點，則的對稱軸為，要使恰有兩個極值點，∴和是必為的兩個極值點，∴，解得：，所以是的極大值點，又在上單調(diào)遞減，要使為的極值點，則在上單調(diào)遞增，∴；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知分別是函數(shù)圖象上的動點，則的最小值為_________．【答案】【解析】因為反解得，所以與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，所以的最小值為點到直線的距離的最小值的2倍，當(dāng)曲線在點處的切線與平行時，點到直線的距離有最小值，，令，解得，所以，則點到直線的距離,所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃┰O(shè)函數(shù)，(1)求、的值；(2)求在上的最值．【解析】（1）因為，所以，取，則有，即；所以，取，則有，即．故，．（2）由（1）知，，則，所以、與，的關(guān)系如下表：0120單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故，．18．（12分）（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，證明：在上單調(diào)遞增；(3)判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．【解析】（1）,所以，．

所以曲線在點處的切線方程為．（2）由題設(shè)，．所以．

當(dāng)時，因為，所以．

所以在上單調(diào)遞增．（3）．證明如下：

設(shè)．

則．

由（2）知在上單調(diào)遞增，所以．

所以，即在上單調(diào)遞增．

所以，即．19．（12分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時，，在年產(chǎn)量不小于4萬件時，.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本.）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？【解析】（1）由題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以.（2）當(dāng)時，，令，解得.易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，.當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.20．（12分）（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，且a、b為函數(shù)的極值點(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若曲線在處的切線斜率為，且方程有兩個不等的實根，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）依題設(shè)方程，即方程的兩根分別為a、b∴∴因為，且，則，∴，∴當(dāng)且時，，∴在區(qū)間，上單調(diào)遞增.（2）由，得，∴，∴，時或，當(dāng)x在上變化時，，的變化情況如下：00++0極小值極大值∴的大致圖象如圖,∴方程有兩個不等根時，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩交點，則.

21．（12分）（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模），(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明；(3)證明對于任意正整數(shù)，都有.【解析】（1）的定義域為，①若，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即證.（3）由（2）知當(dāng)且時，，對于任意正整數(shù)，令得，所以.即證：.22．（12分）（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考三模）已知函數(shù)和函數(shù)，且有最大值為．(1)求實數(shù)a的值；(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫