福建省八縣一中2024屆高三4月普通高中高考適應(yīng)性測(cè)試一模數(shù)學(xué)試題

福建省八縣一中2023屆高三4月普通高中高考適應(yīng)性測(cè)試一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)f(x)＝,若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A． B．C． D．3．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）A．或 B． C． D．或4．已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加6．1777年，法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長(zhǎng)度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．7．若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程可以為()A． B． C． D．8．木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．9．達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于（）A． B． C． D．10．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）A．B．C．D．11．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.14．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．15．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)_____.16．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的值.18．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②若滿足，且．求證：．（2）函數(shù)．若對(duì)任意，都有，求的最大值．19．（12分）2019年6月，國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開(kāi)始發(fā)放.從到，我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系（例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的）.（1）從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率；（2）從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.20．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．21．（12分）市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開(kāi)始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開(kāi)始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過(guò)家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬(wàn)元，判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度來(lái)考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.22．（10分）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．2．D【解析】

由已知可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，k＝；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.當(dāng)直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k＝＝，∴m＝.此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題．3．D【解析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】由，得，∴，∴或，∴或．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4．A【解析】

設(shè)直線為，用表示出，，求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出的最小值．【詳解】解：設(shè)直線為，則，，而滿足，那么設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故選：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．5．C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

由點(diǎn)求得的值，化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，求得的對(duì)稱軸，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，屬于中檔題.8．C【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來(lái)的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問(wèn)題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.9．A【解析】

由已知，設(shè)．可得．于是可得，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：依題意，設(shè)．則．，．設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為．則，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10．D【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.11．A【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】，.因?yàn)?，所以有，因此?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12．C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可知：為上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù)，則在，單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則恒成立，則，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．【詳解】若方程無(wú)解，則或恒成立，所以為上的單調(diào)函數(shù)，都有，則為定值，設(shè)，則，易知為上的增函數(shù)，，，又與的單調(diào)性相同，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，恒成立，當(dāng)，時(shí)，，，，，，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（-4，2）【解析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以考點(diǎn)：基本不等式求最值15．【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：因?yàn)榭梢岳斫鉃辄c(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率取得最大值，故的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.16．【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點(diǎn)D，連接BD，以B為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）在中，，所以，即.因?yàn)椋?，，所?所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點(diǎn)D，連接BD，則.以B為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，且，.由得取.由四邊形為菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問(wèn)題，在利用向量法時(shí)，關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)要寫準(zhǔn)確，本題是一道中檔題.18．（1）①單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；②詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問(wèn)題可知,再換元表達(dá)求解最大值即可.【詳解】解：,由可得或,由可得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間；,或,若,因?yàn)?故,,由知在上單調(diào)遞增,,若由可得x1,因?yàn)?所以,由在上單調(diào)遞增,綜上．時(shí),,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)由(1)在上單調(diào)遞減,由,可得,所以,令,,可得單調(diào)遞減,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以,,所以的最大值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最值解決恒成立的問(wèn)題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.19．（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒(méi)有發(fā)生變化，詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，分別求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率，即.（2）由題意的所有可能值為，記事件為“從早期體驗(yàn)用戶中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”，事件為“從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”，由題意可知，事件，相互獨(dú)立，且，，所以，，，所以的分布列為0120.180.490.33故的數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，那么.回答一：事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒(méi)有發(fā)生變化.回答二：事件發(fā)生概率小，所以可以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶人數(shù)增加.【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望的求解及應(yīng)用，對(duì)于求離散型隨機(jī)變量概率分布列問(wèn)題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值，計(jì)算得出概率，列出離散型隨機(jī)變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望，其中列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問(wèn)題.20．(1);(2).【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．進(jìn)而得到角A；（2）結(jié)合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯(lián)立兩式得到．解析：（I）因?yàn)?，所以，由?/p>