2025年春新華師大版數(shù)學(xué)七年級下冊課件 8.1.2 三角形的內(nèi)角和與外角和

8.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和1.通過操作活動(dòng)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°；2.會(huì)利用三角形的內(nèi)角和求三角形中未知角的度數(shù)；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.掌握三角形的外角的性質(zhì)及外角和.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

將三角形紙片分別按下面兩種方法進(jìn)行折疊、剪拼等操作，你能發(fā)現(xiàn)什么？

折疊三角形紙板，可以把它的三個(gè)角拼成一個(gè)角.可以將∠A，∠B剪下并移至頂點(diǎn)C處拼接成一個(gè)角.ABC三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.觀察與思考如圖，已知△ABC，分別用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角，證明∠1+∠2+∠3=180°.知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角和觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識(shí)來說明.CEAB123D解：如圖，延長邊BC至點(diǎn)E，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，在BE的上側(cè)作∠DCE=∠2，則CD//BA（同位角相等，兩直線平行）

∵CD//BA,

∴∠1=∠ACD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.由此得到：你還能想出其它的方法推出這個(gè)結(jié)論嗎？三角形的內(nèi)角和等于180°.多種方法證明的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE例1

在△ABC中，∠A的度數(shù)是∠B的度數(shù)的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x

＋15)°，從而有3x

＋x

＋(x

＋15)＝180.解得x

＝33.∴3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.例2

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD

問題1如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A與∠B有什么關(guān)系？ABC知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的兩銳角互余

應(yīng)用格式：在直角三角形ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.?歸納

直角三角形的兩個(gè)銳角互余．例3

如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度數(shù).（165°(ABDC解

在Rt△ABD中

∵∠1+∠B=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∴∠B=90°-∠1（等式性質(zhì)）.

又∵∠1=45°（已知），∴∠B=90°-45°=45°（等量代換）.

在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°）,∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性質(zhì)）.

又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代換）.

我們已經(jīng)知道，直角三角形的兩個(gè)銳角互余.反過來，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？

由三角形的內(nèi)角和等于180°，容易得出下面的結(jié)論：

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.問題1

如圖，一個(gè)三角形的每一個(gè)外角對應(yīng)一個(gè)相鄰的內(nèi)角和兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角.那么，外角∠ACD與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B之間有什么大小關(guān)系？

我覺得可以利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)3三角形的外角的性質(zhì)∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB，∠A+∠B=180°-∠ACB.∴∠ACD=∠A+∠B.由此可知，三角形的外角有兩條性質(zhì)：1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.2.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.例4

如圖，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度數(shù).解：∵∠B+∠C=∠CAD，

∴∠C=∠CAD-∠B，∴∠C=100°-30°=70°.ABC((((((213（4與三角形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的外角分別有兩個(gè)，這兩個(gè)外角是對頂角，如∠1和∠4.

從與每個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加，得到的和稱為三角形的外角和.

如圖所示，∠1+∠2+∠3

就是△ABC的外角和.問題2

如圖，∠1、∠2、∠3是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解：在圖中，有∠1+∠ACB=180°，∠2+∠BAC=180°，∠3+∠ABC=180°，三式相加，可以得到∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°，而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°.ABC((((((213由此可知，三角形的外角和等于360°.∠1+∠2+∠3=360°.ABC((((((213ABDC

ABDC（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°)，

∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性質(zhì)）.

又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知），

∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代換）.?規(guī)律總結(jié)在三角形中求角的度數(shù)時(shí)，常用的知識(shí)點(diǎn)有三個(gè)：（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（3）三角形的每一個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ).1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______.2.直角三角形一個(gè)銳角為70°，另一個(gè)銳角是_______.3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，則∠C=_______.80°20°50°4.如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=36°，∠C=76°，則∠DAC的度數(shù)為________.34°5.如圖，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：∠CAE=∠DBE.理由如下：