2015年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點(diǎn)34 立體幾何中的向量方法

高考試題分類解析=(1,1,0)是平面ACFD的一個(gè)法向量,所以所以平面FGH與平面ACFD所成的銳二面角的大小為60°.8．（2015·重慶高考理科·Ｔ19）如題（19）圖，三棱錐中，平面，分別為線段上的點(diǎn)，且(1)證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【解題指南】（1）直接利用勾股定理及線面垂直的定義證明即可（2）通過(guò)證明垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，再利用法向量求解二面角的余弦值.【解析】（1）證明：由平面，平面，故由得為等腰直角三角形，故由垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，故平面（2）解：由（1）可知，為等腰直角三角形，如答（19）圖，過(guò)D作DF垂直CE于F，易知又已知，故由得故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量為由可得故可取由（1）可知平面，故平面的法向量可取為，即從而法向量的夾角的余弦值為故所求二面角的余弦值為9.(2015·福建高考理科·T17)如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,點(diǎn)G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn).(1)求證:GF∥平面ADE.(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.【解題指南】(1)利用線線平行?線面平行,找出AE的中點(diǎn)H,連接HG,HD即可.或者利用面面平行?線面平行,找出AB的中點(diǎn)M,連接MG,MF.(2)利用空間向量求出銳二面角的余弦值.【解析】方法一:(1)如圖,取AE的中點(diǎn)H,連接HG,HD,又點(diǎn)G是BE的中點(diǎn),所以GH∥AB,且GH=12AB,又點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),所以DF=12CD,由四邊形ABCD是矩形得,AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GF∥DH.又DH?平面ADE,GF?平面ADE,所以GF(2)如圖,在平面BEC內(nèi),過(guò)點(diǎn)B作BQ∥EC,因?yàn)锽E⊥CE,所以BQ⊥BE,又因?yàn)锳B⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ,以B為原點(diǎn),分別以BE→,BQ→,BA→的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1),因?yàn)锳B⊥平面BEC,所以BA→=(0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量,又，，由，得，取，得.從而，所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為2方法二:(1)如圖,取AB的中點(diǎn)M,連接MG,MF.又點(diǎn)G是BE的中點(diǎn),可知GM∥AE,又AE?平面ADE,GM?平面ADE,所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中,由點(diǎn)M,F分別是AB,CD的中點(diǎn),得MF∥AD,又AD?平面ADE,MF?平面ADE,所以MF∥平面ADE,又因?yàn)镚M∩MF=M,GM?平面GMF,MF?平面GMF,所以平面GMF∥平面ADE,因?yàn)镚F?平面GMF,所以GF∥平面ADE.(2)同方法一.10.(2015·陜西高考理科·T18)(本小題滿分12分)如圖1,在直角梯形ΑΒCD中,ΑD∥ΒC,∠ΒΑD=π2,ΑΒ=ΒC=1,ΑD=2,Ε是ΑD的中點(diǎn),Ο是ΑC與ΒΕ的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1(1)證明:CD⊥平面Α1OC.(2)若平面Α1ΒΕ⊥平面ΒCDΕ,求平面Α1ΒC與平面Α1CD夾角的余弦值.【解題指南】(1)運(yùn)用E是AD的中點(diǎn),判斷得出BE⊥AC,BE⊥面A1OC,考慮CD∥BE,即可判斷CD⊥面A1OC.(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面A1BC與平面A1CD的法向量,代入向量的夾角公式求出二面角的余弦值.【解析】(1)在圖1中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=π2,所以BE⊥即在圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,又OA1∩OC=O,從而B(niǎo)E⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC,所以∠A1OC為二面角A1-BE-C的平面角,所以∠A1OC=π2如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,所以得，.設(shè)平面A1BC的法向量n1=