函數(shù)的圖象知識(shí)歸納與題型總結(jié)

函數(shù)的圖象知識(shí)歸納與題型總結(jié)

一、知識(shí)歸納

I.描點(diǎn)法作圖

其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線，具體為：

（1）①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的

性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性）.

（2）列表（注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)以及坐標(biāo)軸的

交點(diǎn)）.

（3）描點(diǎn)，連線.

2.圖象變換

（1）平移變換

①水平平移：y=/（d〃）3＞0）的圖象，可由y=/*）的圖象向左（十）

或向右（一）平移。個(gè)單位而得到.

②豎直平移：y=/（x）坊（。＞0）的圖象，可由＞=/*）的圖象向上（+）

或向下（一）平移b個(gè)單位而得到.

（2）對(duì)稱(chēng)變換

①y=大一%）與y的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

②/二一4犬）與y=/U）的圖象關(guān)于龍軸對(duì)稱(chēng).

③y=—A—x）與y=7（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

由對(duì)稱(chēng)變換可利用y=/W的圖象得到y(tǒng)=[/U）l與的圖象.

①作出y=/U）的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱(chēng)

軸翻折到上方，其余部分不變，得到y(tǒng)=|/U）l的圖象；

②作出y="r）在y軸上及），軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象，即得y=AR）的圖象.

（3）伸縮變換

①y=5?（a＞。）的圖象，可將y=/（x）圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸（。＞

1時(shí)）或縮3＜1時(shí)）到原來(lái)的。倍，橫坐標(biāo)不變.

②/=大公）伍＞0）的圖象，可將y=/U）的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸（。

VI時(shí)）或縮（。＞1時(shí)）到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變.

（4）翻折變換

①作為y=/U）的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱(chēng)

軸翻折到上方，其余部分不變，得到丁二雙川的圖象；

②作為y=/U）在y軸上及y軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象，即得y=大僅|）的圖象.

解題提醒：

a.函數(shù)圖象的每次變換都針對(duì)自變量“龍”而言，如從八一2冷的圖

象到八-2x+l）的圖象是向右平移:個(gè)單位，其中是把x變成X一；.

b.明確一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)與兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng)的不同，前者是自身對(duì)稱(chēng)，且為偶函數(shù)，后者是兩個(gè)不同函數(shù)

的對(duì)稱(chēng)關(guān)系.如函數(shù)y=AW）的圖象屬于自身對(duì)稱(chēng)，而y=/U）與y=八一

x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)是兩個(gè)函數(shù).

題型一作函數(shù)的圖象

典例：分別畫(huà)出下列函數(shù)的圖象:

(l)y=|lgx\；

⑵產(chǎn)2/2；

(3)^=x2-2|x|~l.

lgx,介1,

解：⑴尸圖象如圖1.

-lgx,0<x<l.

(2)招"＞二?戈的圖象向左平移2個(gè)單位.圖象如圖2.

x2—2x—1,x20,

⑶‘x2+2x~1,x<0.圖象如圖3.

通性通法：

畫(huà)圖的3種常用方法

當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的非本

初等函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出

含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù),可脫掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化

為分段函數(shù)來(lái)畫(huà)圖象

若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平

移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到,可利用圖象變換作出，但要

注意變換順序

題型二識(shí)圖與辨圖

典例：1.若對(duì)任意的xeR,產(chǎn)”一源均有意義,則函數(shù)y=

log?7的大致圖象是()

y

~Zyo~

A

y

-io

c

解析:選B由題意得1一灑20,即加忘1=/恒成立，由于僅|20,

故0VoVl.)，=loga；=-logMI是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是單調(diào)遞

增函數(shù)，故選B.

2.如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為8,設(shè)AB=——.o

x(l<x<3),線段"N的兩端點(diǎn)在矩形的邊上滑動(dòng)，且Jlc

MN=1,當(dāng)N沿A->O-C->3fA在矩形的邊上滑動(dòng)一周時(shí)，線段

MN的中點(diǎn)戶(hù)所形成的軌跡為G,記G圍成的區(qū)域的面積為y,則函

數(shù)y=/U)的圖象大致為()

yyy

o123"123%0123%0123*

ABCD

解析：選D法一：由題意可知點(diǎn)。的軌跡為4JSD

Ep7-<!Q

圖中虛線所示，其中四個(gè)角均是半徑為:的扇形.I'――一/

因?yàn)榫匦蜛5CD的周長(zhǎng)為8,AB=xf

,8-2x

則AD=—z—=4-A

JTJT

所以y=x（4一工）一^=一（%—2>+4—a（l<x<3）,

顯然該函數(shù)的圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，

JT

且當(dāng)x=2時(shí)，)，=4一］￡(3,4),故選D.

JT

法二：在判斷出點(diǎn)尸的軌跡后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=l時(shí)，>=3—^￡(2,3),

故選D.

通性通法：

識(shí)圖3種常用的方法

定性」通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的

分析法:上升（或下降）的趨勢(shì)，利用這一特征來(lái)分析

4

定?

計(jì)算法—:通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析

0

函數(shù)一;由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用

模型法（這一函數(shù)模型來(lái)分析

題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用

函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì),

為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性.

角度一：研究函數(shù)的性質(zhì)

1.已知函數(shù)4x）=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.大幻是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0,+8）

B.?￥）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（一8,1）

C./U）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（一1,1）

D.7U）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（一8,0）

解析:選C將函數(shù)咒r）=x|x|—2x去掉絕對(duì)值得?x）/t,

x2—2x,x20,J

x2--2x,x<0,

畫(huà)出函數(shù)?r）的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)式x）的圖象關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)?r）為奇函數(shù)，且在（一1,1）上單調(diào)遞減.

角度二：求參數(shù)的值或取值范圍

2.若不等式（x—l）2〈log5（。>0,且aWl）在x￡（l,2）內(nèi)恒成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(1⑵

C.(1,的D.(啦，2)

解析：選A要使當(dāng)x￡(l,2)時(shí)，不等式。一IpVlogd恒成立,

只需函數(shù)y=(x-在(1,2)上的圖象在y=log〃x的圖象的下方即可.

y=(x-l)2

/^Jog/(a>D

當(dāng)OVQVI時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a>l時(shí)，如圖，要使x￡(l,2)

時(shí)，尸(L1)2的圖象在y=\OgaX的圖象的下方，只需(2—1)2W10ga2,

即log.221,解得1VQW2,故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1,2].

角度三：求不等式的解集

A.{x|—Kx^O)

B.度|一1?1}

C.{x|-IVxWl}

D.{x|-l<x^2}

g(x)=log(x+D

解析：選C令g(x)=y=log2(x+1),z

作出函數(shù)g(x)圖象如圖.A/

-1

x+y=2,x=l,

J=log2(x+I),〔y=l.

??.結(jié)合圖象知不等式/U)21og2a+1)的解集為"|-1<rWl}.

通性通法：

函數(shù)圖象應(yīng)用的常見(jiàn)題型與求解策略

(1)研究函數(shù)性質(zhì)：