2023高考文科數(shù)學一輪復習(配北師版)第11章-概率-第1節(jié)-隨機事件的概率

高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第一節(jié)隨機事件的概率第十二章2023內(nèi)容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.結合具體實例,理解事件的相關概念.2.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結合實例進行隨機事件的并、交運算.3.通過實例理解概率的性質,掌握隨機事件概率的運算法則.4.結合實例,會用頻率估計概率.1.隨機事件的關系2.隨機事件的頻率與概率3.互斥事件、對立事件的概率1.數(shù)據(jù)分析2.邏輯推理3.數(shù)學運算強基礎增分策略1.事件的分類

確定事件必然事件在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫作相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫作相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下

的事件,叫作相對于條件S的隨機事件

可能發(fā)生也可能不發(fā)生

2.頻率與概率

從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性大小(1)頻率的概念:在相同的條件S下重復n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的

,稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的

.

(2)隨機事件概率的定義:在相同的條件下,大量重復進行同一試驗時,隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動,即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率,記作P(A),有0≤P(A)≤1.(3)概率與頻率的關系:對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用

來估計概率P(A).

頻數(shù)

頻率

頻率fn(A)微點撥頻率是隨機的,試驗次數(shù)不同,得到的頻率可能不同;概率是頻率的穩(wěn)定值,反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.3.事件的關系與運算(1)互斥事件:在一個隨機試驗中,把一次試驗下

發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件.

(2)和事件:給定事件A,B,我們規(guī)定A+B為一個事件,事件A+B發(fā)生是指事件A和事件B

.

(3)和事件的概率:在一個隨機試驗中,如果隨機事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=

;如果隨機事件A1,A2,…,An中任意兩個是互斥事件,那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

不能同時

至少有一個發(fā)生

P(A)+P(B)不會

有一個發(fā)生1-P(A)微點撥1.對立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是對立事件.2.從集合的角度理解互斥事件和對立事件:(1)幾個事件彼此互斥,是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集.(2)事件A的對立事件

所含的結果組成的集合,是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集.4.概率的幾個基本性質性質1:對任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.性質2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質5:設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).常用結論概率加法公式的推廣(1)當一個事件包含多個結果時,要用到概率加法公式的推廣,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).注意(1)(2)中涉及的各事件要彼此互斥.

增素能精準突破考點一隨機事件的關系典例突破例1.(1)(2021吉林三模)口袋中裝有3個紅球和4個黑球,每個球編有不同的號碼,現(xiàn)從中取出3個球,則互斥而不對立的事件是(

)A.至少有1個紅球與至少有1個黑球B.至少有1個紅球與都是黑球C.至少有1個紅球與至多有1個黑球D.恰有1個紅球與恰有2個紅球(2)在一次隨機試驗中,彼此互斥的事件A,B,C,D發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是(

)A.A∪B與C是互斥事件,也是對立事件B.B∪C與D是互斥事件,也是對立事件C.A∪C與B∪D是互斥事件,但不是對立事件D.A與B∪C∪D是互斥事件,也是對立事件答案:(1)D

(2)D

解析:(1)對于A,至少有1個紅球與至少有1個黑球不是互斥事件,故A錯;對于B,至少有1個紅球與都是黑球不能同時發(fā)生,為互斥事件,且其中必有一個發(fā)生,為對立事件,故B錯誤;對于C,不是互斥事件,例如,取出2個紅球和1個黑球,故C錯誤;對于D,恰有1個紅球與恰有2個紅球不能同時發(fā)生,為互斥事件,但不是對立事件,故D正確.故選D.(2)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一個必然事件,故其事件的關系可由如圖所示的Venn圖表示,由圖可知,任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件,任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件.故選D.反思感悟判斷互斥、對立事件的兩種方法

定義法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件集合法①由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥;②事件A的對立事件

所含的結果組成的集合,是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集對點訓練1(1)把語文、數(shù)學、英語三本學習書隨機地分給甲、乙、丙三位同學,每人一本,則事件A表示“甲分得語文書”,事件B表示“乙分得數(shù)學書”,事件C表示“丙分得英語書”,則下列說法正確的是(

)A.A與B是不可能事件B.A+B+C是必然事件C.A與B不是互斥事件D.B與C既是互斥事件也是對立事件(2)一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次,設事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點”,事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3”,事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4”,則(

)A.A與B是互斥而不對立事件B.A與B是對立事件C.B與C是互斥而不對立事件D.B與C是對立事件答案:(1)C

(2)D

解析:(1)“A,B,C”都是隨機事件,可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,故A選項錯誤;B選項顯然錯誤;“A,B”可能同時發(fā)生,故“A”與“B”不互斥,故C選項正確;“B”與“C”既不互斥,也不對立,故D選項錯誤.故選C.(2)因為A∩B={出現(xiàn)點數(shù)1或3},事件A,B不互斥更不對立;B∩C=?,B∪C=Ω(Ω為必然事件),故事件B,C是對立事件.考點二隨機事件的頻率與概率典例突破例2.某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解:(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得調查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192

5a(元).保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05反思感悟1.概率與頻率的關系頻率是概率的近似值,概率是頻率的穩(wěn)定值.通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法(1)可用頻率來估計概率.(2)利用隨機事件A包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù).對點訓練2(2020全國Ⅰ,文17)某廠接受了一項加工業(yè)務,加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標準分為A,B,C,D四個等級.加工業(yè)務約定:對于A級品、B級品、C級品,廠家每件分別收取加工費90元,50元,20元;對于D級品,廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件,乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務,在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級,整理如下:甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務?解:(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知,(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤6525-5-75頻數(shù)40202020由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤,應選甲分廠承接加工業(yè)務.考點三互斥事件、對立事件的概率(多考向探究)考向1.互斥事件的概率典例突破例3.某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下.賠付金額/元01

0002

0003

0004

000車輛數(shù)/輛500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計賠付金額大于投保金額的概率;(2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4000元的概率.解:(1)設A表示事件“賠付金額為3

000元”,B表示事件“賠付金額為4

000元”,由于投保金額為2

800元,賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3

000元和4

000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設C表示事件“在已投保車輛中,新司機獲賠4

000元”.由已知,樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1

000=100(輛),而賠付金額為4

000元的車輛中,車主為新司機的有0.2×120=24(輛),所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4

000元的頻率為

=0.24.由頻率估計概率,得P(C)=0.24.反思感悟求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)對點訓練3經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下.排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?解:記“0人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F兩兩互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.考向2.對立事件的概率典例突破例4.某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù),如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結算時間/(分鐘/人)11.522.53已知這100