2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版第五章平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)教案

葛一平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

［考試要求］

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直

關(guān)系.

5.會(huì)用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.

6.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

C梳理?必備知識(shí)

1.向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量。和瓦。是平面上的任意一點(diǎn)，作溫仍=4則

就是向量。與b的夾角，向量夾角的范圍是［0,與.

當(dāng)夕=,時(shí)，。與力相互垂直，記作aD；

當(dāng)＜9=0時(shí),。與方共線且同向；

當(dāng)一=兀時(shí),。與b共線口反向.

2.平面向量的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量用。，它們的夾角為仇則數(shù)量回吐空2叫做向

量。與方的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a協(xié)，即。山=|a||b|cos仇規(guī)定：0“=Q.

3.投影向量

C4,B,D

設(shè)a,方是非零向量，它們的夾角是ae是與。方向相同的單位向量，Ab=

a,Cb=b,過菸的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作C力所在直線的垂線，垂足分別為

4,Bi,得到4市|,我們稱上述變換為向量。向向量b投影，A7&］叫做向量a在

向量b上的投影向量,記為lalcosJe.

提醒：設(shè)明方是非零向量，它們的夾角為0,則a在力上的投影向量為|〃|cos

b(a-b)b

喃一所?

4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(\)a-b=b-a.

(2)(Ad),b=X(a*b)=a-(Xb).

(3)(a+b)?c=a?c+〃?c.

5.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(xi,yi),b=(X2,yi),。為向量G,力的夾角.

(1)數(shù)量積：a-b=\a\\b\cos0=x\X2-\-y\y2.

(2)模：|a|=\fa-a=\]xiIn.

⑶夾角：3。=麗=這百色大，

(4)兩非零向量a_Z.》的充要條件：。協(xié)=00的X2+yiy2=0.

(5)|a?b|W|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a〃b時(shí)等號(hào)成立)臺(tái)僅112十51)，2咫＜￥?+)不?^+貨.

6.向量在平面幾何中的應(yīng)用

(1)要證A3=CZ),可轉(zhuǎn)化為證明后2=3)2或沖|=|6|.

(2)要證兩線段AB,CO平行，只要證存在唯一實(shí)數(shù)2W0,使等式牯=2C力成

立即可.

(3)要證兩線段A8,C'O垂直，只需證油?6=0.

(4)求夾角問題，利用夾角公式cos。=箭.

[常用結(jié)論]

1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+b)?5-b)=02一廬；

⑵(a功)2=/±20協(xié)+方2；

(3)。山=，(a+5)2—(。一團(tuán)2](該式又稱作極化恒等式).

2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

2

兩個(gè)向量。，〃的夾角為銳角0a且％b不共線;

兩個(gè)向量a,b的夾角為純角<=>a?bV()且%b不共線.

◎激活?基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0,5.()

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.

()

(3)由。協(xié)=0可得a=0或b=0.()

(4)(。山)c=aS?c).()

［答案1(1)X(2)V(3)X(4)X

二、教材習(xí)題衍生

1.已知|a|=2,|加=6,〃山=一成，則。與》的夾角。等于()

?兀兀兀

A6cBT5C3nD-T2

nr八ab_6^5y［3

B［859=麗=2乂6=-2，

又因?yàn)?W0，，所以。=票］

2.若Q心=一6,|a|=8,與〃方向相同的單位向量為e,則向量b在向量a

上的投影向量為.

一壬［向量〃在向量”上的投影向量為罌e=一軸

3.設(shè)均和&是互相垂直的單位向量,且0=3ei+2e2,b=-3ei+4e2,則。山

等于.

—1［因?yàn)橥?|蝴=1,ere2=0t

222

所以。山=(3ei+2e2)?(—3ei+4e2)=-9|ei|+8|e2|+6ei^2=-9XP+8XI

+6X0=-L］

4.已知向量a,6滿足〃山=0,|。|=1,|臼=1，貝lj|a—3例=.

V10］因?yàn)?。協(xié)=0,|a|=l,\b\=lf

所以|a—3b|=.(a—36)2—60山+處?

3

=^/12+9X12=V1O.］

［細(xì)研考點(diǎn)-突破題型］重難解怒或擊高考

□考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，師生共研

［典例1］已知正方形48co的邊長為1,點(diǎn)E是48邊上的動(dòng)點(diǎn)，則波.刀

的值為,阮?比的最大值為_______.重典

［四字解題］

讀想算思

投影法數(shù)量積的幾何意義數(shù)形結(jié)合

正方形A8CD且E是數(shù)量

基向量法數(shù)量積的運(yùn)算三角形法則

AB邊上的動(dòng)點(diǎn)；求積的

幾何問題代

Dk-Cb,瓦:戲1的最求解建系，求相關(guān)點(diǎn)的坐

坐標(biāo)法數(shù)化，函數(shù)思

大值方法標(biāo)，建立函數(shù)

想

11［法一（投影法）：設(shè)向量仍，DA的夾角為仇則勵(lì).仍=的.況=|歷

MDA|COS由圖可知，|gcos。=|浪|,所以原式等于|次F=l,要使國?力t最

大，只要使向量力t在向量成上的投影達(dá)到最大即可，因?yàn)榈脑谙蛄宽稚系耐?/p>

影達(dá)到最大為|Z5t|=1，所以（D&Dt）max=|反］2=1.

法二（基向量法）：因?yàn)镈t=DA+碇且所以硝DA

=|次|2=1,/仇=（況+硝所以要使鹿戊最

大，只要|油最大即可，明顯隨著E點(diǎn)在A8邊上移動(dòng)，曲nm=l,故（勵(lì)?力t）max

=1.

4

法三(坐標(biāo)法)：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，成與況所在直線分別為X,y軸，建立平

面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可知￡(x,l),OWxSl,所以/5fc=(x,l),CB=(O,1),

可得防@=XXO+1X1=1.因?yàn)橛X=(1,0),所以無仇=乂因?yàn)镺WxWl,所

以（砥力t）max=L］

⑨反思領(lǐng)悟平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法

:已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用j

定義法一：數(shù)量積的定義求解，即。-b=\a\\b\

：l?cose(9是a與b的夾角)

j計(jì)算由基底裊示的向量的數(shù)量積時(shí)，：

基向量法一:應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量：

:的數(shù)量積，進(jìn)而求解:

:若向量選擇坐標(biāo)形式則向量的數(shù)曷；

坐標(biāo)法

:積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解：

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)(2021.安徽合肥一模)在△ABC中，AB=2tAC=3,防=2次：，Ak=

或，則加)a=()

716_16

A.B,D

66°，TT

n3

(2)在RtAABC中，ZC=2,AB=4,AC=2f若勸=7瓦則&).球等于

(

A.-18B.-6小C.18D.6^3

(3)(2021?福州模擬)設(shè)向量ei=(l，0),e2=(0，1).若@=-2ei+7e2,b=

4ei+3e2,則。?力=,向量a在向量b上的投影向量為.

(1)C(2)C(3)13管,第［⑴在△ABC中，因?yàn)轫?2Dt,所以勸=

助+協(xié)=助+大配=大/+,助，又碇=或，所以昆=6+5助=5初一配，

所以勸.建=停42+$方).(多方一病)=—各變2+\稔2=—6+,=一號(hào)，故選C.

⑵法一（基向量法）：由NC=］,A8=4,AC=2,得CB=24,

5

333

C&cS=（cA+AZ））Cfe=cAcfe+5A^C/=T（cfe-cA）Cfe=TCfe2=18,故選c.

法二（坐標(biāo)法）：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB所在的直線分別為X軸，y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0,0）,4（2,0）,伏0,2?。?由題意得NC84=*

又勸=|勸，所以0（—1,3?。?，則劭.幼=（-1,35>（0,2?。?18,故選C.

法三（投影法）：因?yàn)?。=多A8=4,AC=2f所以CB=2小,所以勸在國

上的投影為2小，乂勸=軻，所以初在C6上的投影為|x2小=34，則6在

球上的投影為3小，所以劭,摩=|曲劭|?cos（Ct）,Cfe>=2小X34=18,

故選C.

（3）因?yàn)橄蛄縠i=（l，0）,e2=（0，1）,

所以Q=-2ei+7e2=—2（1,0）+7（0,1）=（-2,7）,

b=4ei+3e2=4（L0）+3（0,1）=（4,3）,

所以〃?方=-2X4+7X3=13,

由a=（—2,7）,5=（4,3）可得：|。|=\4+49=小^,步|=#16+9=5,

所以3㈤…湍i=潑？

向量a在向量b上的投影向量為：

.、bu,13、，〃13,13〃I，、52.39

|a|cos〈a,力而=西乂^?義5=萬萬=石（仇+地）=芯0+石62=

偌，劭

考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用修維探究

，考向1平面向量的模

[典例2—1]（2021?全國甲卷）若向量a,力滿足悶=3,一一加=5,ab=\,

則他尸.

6

22

3班[由|〃一"=5得(。一S2=25,即a-2a-b+b=25f結(jié)合⑷=3,。力=1,

得32—2X1+1川2=25,所以協(xié)|=3班.]

考向2平面向量的夾角

[典例2-2]⑴(2019?全國I卷)已知非零向量a,b滿足間=2步|,且3—

力)_LA,則。與力的夾角為()員邳

A76i一B3兀C-T2兀D一T5兀

(2)若向量a=(%3),b=(l,4),c=(2,l),已知2a—3。與c的夾角為鈍角，則

&的取值范圍是.

[(1)法一:因?yàn)?。一。)_1_力，所以(。一。)功

=。山一族F=0,又因?yàn)閨a|=2|b|,所以2|"2cos〈。，b)-|ZF|2=0,即COS〈G,b>

=z,又知〈%b)e[0,7：],所以〈%b〉=?,故選B.

4J

法二：如圖，令。A=a,Oh=b,則成=況一。方=a一力，因?yàn)?a—》)>!_〃，

所以/。84=90。,

7T7T

又⑷=2|帆所以乙4。8=1即〈o,b>=].故選B.

(2)因?yàn)?a-3b與c的夾角為鈍角，

所以(2〃-38)?eVO,即(2上一3,-6)-(2,1)<0,

3

所以軟一6—6<0,所以ZV3.若2。-3力與c反向共線，則一^―=一6,解

9

得-

--2此時(shí)夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是(一8,一2

/9、

U!--3

\牙/

，考向3平面向量的垂直

[典例2-3](1)(2020?全國II卷)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下

列向量中，與b垂直的是()三屈

A.a~\-2bB.2a+bC.a—2bD.2a-b

7

(2)已知向量初與At的夾角為120°,且|筋|=3,岡石=2.若#=/1初+/,

且祝，則實(shí)數(shù)4的值為.

(1)D⑵卷[⑴法一：由題意，得°協(xié)=|川?麻0$60。=3.對于人，(a+2b)協(xié)

=。協(xié)+2力2=舁2=卷#0,故A不符合題意；對于B,(2°+力)協(xié)=2。?力+〃=/+

—3

--

22

2

不符合題意；對于D,(2a-b)-b=2ab-b=l-l=0y所以(20—。)工尻故選D.

法二：不妨設(shè)啾b=(l,0),則a+2T|,哪2a+b=(2,?

Q—2力=(一尚，2],2a—b=(0f小),易知，只有(2a—。)協(xié)=0,即(2a—&)_￡0,

故選D.

(2)因?yàn)?_L於，所以分比=0.

又初=工+祀，覺=加一勸,

所以。山+祀)4At—油)=0,

即(2-1)祀?初一址洋+祀2=0,

所以(2—1)曲|勸|cos120。-92+4=0.

/p7

所以(2—1)X2X3X(—21—9丈+4=0.解得丸=五.]

令反忠領(lǐng)悟1.求平面向量模的方法

(1)若a=(x,y),利用公式同=4』+優(yōu)

(2)利用同=而.

2.求平面向量的夾角的方法

H*h

(1)定義法：858=砌，。的取值范圍為[0,7C].

(2)坐標(biāo)法：若。=(加，yi),b=(X2,yi),則cos

(3)解三角形法：把兩向量的夾角放到同一三角形中.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

8

2.(1)(2021?鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)a,b為單位向量，且|a—4=1,則

+2例=()際>

A.3B.小C.7D.木

(2)設(shè)平面向量〃=(一2,1),〃=(九2),若。與b的夾角為銳角，則A的取值

范圍匙)重⑥

A.(T2)U(2,+8)

B.(-8,-4)U(-4,1)

C.(1,+8)

D.(—8,1)

(3)(2021?全國乙卷)已知向量a=(1.3),8=(34),若3一協(xié)_LA,則2=

________

(1)D(2)B(3)|[⑴法一：因?yàn)槊鱞是單位向量，所以⑷=1,|b|=l.

由|。一臼=1得|。一肝=1,即同2-2a協(xié)+|肝=1,可得a?b=3,所以|a+2bl

=d02+4a協(xié)+4廬=71+2+4=巾，故選D.

法二：設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，溫=%仍=伙圖略)，因?yàn)棰?1,向=1,|0一川

=1,所以△OA8是等邊三角形，所以〃協(xié)=1,

所以|。+2"="層+4。仍+4"=dl+2+4=S，故選D.

(2)法一：因?yàn)?。與》的夾角為銳角，所以cos〈a,b〉￡(0,1).

a-b—22+2

又。=(—2,1),6=(九2),所以cos〈。，b〉麗=4“2+『。1)，整

-2A+2>0,2<1,

理得1)?,所以"

U2+8A+16>0,加一4,

所以A的取值范圍為(-8,-4)U(-4,1).故選B.

4協(xié)>0,

法二：因?yàn)?。與b的夾角為銳角，所以J，丁2在

1%)不共線.

又。=(一2,1),5=&2),

9

-2A+2>0,〃vi

所以｛A2所以《一\

二U^-4,

所以2的取值范圍為（一8,-4）U（-4,1）.故選B.

（3）法一:〃一勸=（1—32,3—42）,■；（a-勸）_1_瓦.■.（。一勸）6=0,即（1—32,

3

3-42）?（3,4）=0,???3-92+12—162=0,解得人=亍

/7?/>

法二：由（。一勸）_Lb可知，（〃一找）協(xié)=0,即。山一勸2=o,從而2=-p-=

3

(1,3>(3,4)_15-

32+42-255'

考點(diǎn)三數(shù)量積的最值（范圍）問題伽生共冊

[典例3]（2017.全國II卷）已知△4RC是邊長為2的等邊三角形，P為平面

ABC內(nèi)一點(diǎn)，則可?（成+也的最小值是（）

圖①

法一：（極化恒等式）結(jié)合題意畫出圖形，如圖①所示，設(shè)8C的中點(diǎn)為Q,

AD的中點(diǎn)為E,連接AD,PE,PD,則有協(xié)+無=2協(xié),

則用?（附+成）=2可.協(xié)=2（成+或）?（成一或）=2（瓦：2一成之）.而成2=

隙4

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，曲有最小值0,故此時(shí)成?（曲+電取得最小值,

最小值為-2EA2=-2X^=—

10

法二：(坐標(biāo)法)如圖②，以等邊三角形4BC的底邊3c所在直線為x軸，以

邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,?8(-1,0),C(l,0),

設(shè)P(x,y),則國=(一x,小一y),PS=(—1—x,—y)fP&=(1—x,—y)f所以

環(huán)(或+或)=(—x,小一y>(—2r,—2y)=2X2+—1,當(dāng)x=0,y=^

時(shí)，用?(品+曲取得最小值，最小值為一|.故選B.］

~T~

令反思領(lǐng)悟設(shè)a,b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有。協(xié)=4［(。+爐-(a—6)2］；

極化恒等式的幾何意義是在AABC中，若A。是8C邊上的中線，則瓶At=AZ)2

-BD2.

具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向

量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底

邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數(shù)量)之間的橋

梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.

［跟進(jìn)訓(xùn)練J

3.在半徑為1的扇形A。巴中，若NAOB=60。，。為弧4B上的動(dòng)點(diǎn)，

與OC交于點(diǎn)P，則辦協(xié)的最小值是________.gOM)

一正［法一：(極化恒等式)如圖①，取。8的中點(diǎn)。，連接P。，則辦加=

PD1-0b1=Pb1-^即求PD的最小值.

圖①

11

由圖可知，當(dāng)PO_LA8時(shí)，PDmin=

則仍?初的最小值是一七

法二：(坐標(biāo)法)

以08所在的直線為x軸，過點(diǎn)A且垂直于08的直線為)，軸，建立如圖②

所示的平面直角坐標(biāo)系，

則乖,坐)，0(-今0J,

麻0),

可得直線A5的方程為2J+￥)，=1,

設(shè)G，坐(l-2x)),

則方=Q+3,坐(L2x)),

Bp={x-^,坐(1—2X)),

31

當(dāng)時(shí)，力仍取得最小值一束.]

o10

□考點(diǎn)四平面向量的應(yīng)用枷生共研

[典例4](1)如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為30。的斜面上，物體處于

平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力G,沿著斜面向上的摩擦力Fi,垂直

斜面向上的彈力尸2.已知|*|=80N,則G的大小為,尸2的大小為

12

（2）如圖，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，若AB=LAC=3,油與At的夾

角為60。，貝匹M%|=

(1)160N8MN(2)

根據(jù)題意，F(xiàn)I+F2=-G,如圖所示：ZCAO=90°,ZAOC=30°,AC=80,

???OC=160,。4=8即，

???G的大小為160N,尸2的大小為8s份N.

（2）VA/為BC的中點(diǎn),

AKl=g(A^+At),

???l曲F=；（油+宿2=?沖F+|祝p+2牯.祀）

=((1+9+2X1X3cos600)=?，|A7A|=^^.]

笈反思領(lǐng)悟

用向量方法?眸決平面幾何（物理）問題的步驟

<^>>_-把幾何（物理）問題中的相關(guān)量用向itt表示出來

轉(zhuǎn)化為向量問題的模通過

向fit的運(yùn)算使問題得以解決

把結(jié)果還原為兒何（物理）問題

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

4.在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假

設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為B，尸2,且的|=|尸2|,

13

Fi與Fi的夾角為。.給出以下結(jié)論:

①。越大越費(fèi)力，。越小越省力；

②。的范圍為［0,兀］;

JT

③當(dāng)夕=］時(shí)，|Fi|=|G|；

④當(dāng)e=空時(shí)，I尸h=|G|.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

①④［對于①，由G=（尸I+斤2）為定值，所以|G|2=|尸產(chǎn)+|五井+

IGI2

2

2|FI|X|F2|XCOS6>=2|FI|（1+COS0,解得|FIF=廠小.由題意知/￡（0,兀）

時(shí)，y=cos9單調(diào)遞減，所以IMF單調(diào)遞增，即。越大越費(fèi)力，6越小越省力，

①正確；對于②，由題意知，0的取值范圍是（0,7t）,故②錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)0

=方時(shí)，|尸仔=嚷所以甲1|=乎臼，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)。，時(shí)，|尸IF=|G|2,

所以I尸I|=|G|,故④正確.故正確的結(jié)論為①④.］

命題新視角

4.突出考查平面向量數(shù)量積

核心概念的內(nèi)涵與外延

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是推導(dǎo)公式和定理的主要依據(jù)，也是解題的一把鑰

匙，高考試題所考查的核心概念均源于教材，且高考注重對核心概念及教材知識(shí)

的考查，如2020年新高考卷I第7題考查數(shù)量積的概念的應(yīng)用，2021年新高考

卷I第8題考查事件相互獨(dú)立性的概念理解.所以在一輪復(fù)習(xí)時(shí),教師一定要重

視對教材核心概念的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀教材，注意細(xì)節(jié)，真正認(rèn)清概念的

內(nèi)涵與外延.

［典例5］（2020?新高考I卷）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一

點(diǎn)，則力?息的取值范圍是（轉(zhuǎn)）

14

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

A［法一(坐標(biāo)法)：如圖，

取4為坐標(biāo)原點(diǎn),A3所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則4(0,0),5(2,0),

。(3,小),F(-l,小).設(shè)P(x,y),則#=(%,y),油=(2,0),且一l<xV3.

所以辦?初=(x,y)-(2,0)=2xe(-2,6).故選A.

,>

法二(投影法)：A7A^=|A7||A^|.COSZPAB=2\Ap\cosZPABf

又|#|cos/B48表示初在AS方向上的投影，

結(jié)合幾何圖形(圖略)，當(dāng)點(diǎn)P與尸重合時(shí)投影最小，當(dāng)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，

投影最大，

又祝?勸=2小X2Xcos30。=6,

辦A&=2X2COS120°=-2,

故當(dāng)點(diǎn)P在正六邊形ABCDEF內(nèi)時(shí)，-2<力區(qū)力<61

令素養(yǎng)提能

平面向量中的范圍、最值問題的兩種解題思路

一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的

最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；

二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)

最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程

的有關(guān)知識(shí)來解決.

一f跟進(jìn)訓(xùn)練］

5.在△ABC中，AB=6,。為△A8C的外心，則劭?油等于()

A.&B.6C.12D.18

D［如圖，過點(diǎn)O作OZ)_LA8于D,

15

可知A￡)=：AB=3,

則柩秸=(亂+帥)?勸

=初益+仍初

=3X6+0=18.］

教材引申

1.平面向量與三角形的“四心”

向量具有數(shù)形二重性，借助幾何直觀研究向量，優(yōu)化解題過程，進(jìn)而提高解

題效率.

設(shè)。為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

則

⑴O為△43C的外心物弦|=|附|=|況］=云氣.

(2)0為△A5C的重心08+加+灰1=().

(3)0為△A8C的垂心00A?仍=仍仇=沈蘇.

(4)0為△A3C的內(nèi)心臺(tái)+bOh+cOt=0.

?類型1平面向量與三角形的“重心”問題

［典例6］已知A,B,。是平面上不共線的三點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿

足辦=%(1一幻溫+(1一》通+(1+2力.猶］,2eR,則點(diǎn)p的軌跡一定經(jīng)過

()

A.△ABC的內(nèi)心B./XABC的垂心

C.△ABC的重心D.4B邊的中點(diǎn)

C［取AB的中點(diǎn)。，則2帥=8+加，

0>=|l(1-A)OA+(1-A)02?+(14-2/l)0tj,

JO>=1［2(1-2)Ot)4-(l4-2A)Ot］

16

2(1-2)f,1+2、

------j------OD-^—^OCf

2(1-A)1+22

3+31,:,P,C,。三點(diǎn)共線,

?,?點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心.］

>類型2平面向量與三角形的“內(nèi)心”問題

［典例7］在△ABC中，AB=5,AC=6,cosA=1,。是△ABC的內(nèi)心，若

辦仍+），猶，其中X,>00,1］,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）

A.當(dāng)^B.MmC.4小D.6^2

B［根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以05,OC為

鄰邊的呼行四邊彩及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍.

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,由余弦定理*=

b1-^-c2—2bccos4,得。=7.

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為一，則

^hcsin4=；（〃+/?+c）r,解得

所以S"oc=4x〃Xr=；X7X^^=^^.

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S^BOC=^^.］

?類型3平面向量與三角形的“外心”問題

［典例8］在△ABC中，。為其外心，o\ot=^,且小0+幣

0,則邊AC的長是.

小一1［設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,

:。為△A6C的外心，

：.\0A\=\0k\=\0t\=R,

又小況+S仍+求=0，

則/以十元=一由防，

???382+雙2+2小3.元=7防2,

17

從而況?元二

又出戊=小，所以R2=2,

又況仇=|兩的cosN40C=R2cosNA0C=小,

cosNA0C=｝，NAOcW，

2o

在△AOC中，由余弦定理得

AC2=OA2+OC2~2OAOCCOSZAOC

=R2+R2-2R2X竽=(2-S)R2=4-2小.

所以AC=，5—1J

?類型4平面向量與三角形的“垂心”問題

［典例9］已知。是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A,B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),

（iRAT

動(dòng)點(diǎn)尸滿足辦=8+2二-----+—T-—，/￡（0，+8）,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡

Ji4B|cosB|AC|cosC>

一定通過△ABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

-fT.，A一B,A一C、

B［因?yàn)檗k=8+2:-------+---------,

J48|cosB|AC］cosC）

“ff—fAB,AC

所以#=辦一次=2--------+---------,

JAB|cosB|AC|cosCz

/\

所,,以f配f#=求f<--A-B---+,--A-C----

JAB|cosB|AC|cosC>

=2（一的+|由）=0,

所以覺J_#，所以點(diǎn)P在BC的高線上，即動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定通過△ABC

的垂心.］

18

融虛解三角形

第1課時(shí)余弦定理、正弦定理

［考試要求］掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問

［走進(jìn)教材?夯實(shí)屏礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€＞梳理?必備知識(shí)

1.正弦、余弦定理

在△A3C中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接

圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

片=按+，-22C_COS_4；

q=-^=q=2R

內(nèi)容從=+〃2-2cccos_3;

sinAsinBsinC

c2=次+廿—2ab_cos_C

0?+c2—

(l)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA-&;

(2)a:b:c=sinA：sin8：sinC；。+〃2—"

變形cosB-彌；

a+b+c________a___

⑶sinA+sinB+sinCsinAd+乂一?

cosC—2ah

2.三角形常用面積公式

(1)S=%?兒(總表示邊a上的高);

(2)S=^absincsin8=3bcsin4；

(3)S=gr(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).

［常用結(jié)論1

1.三角形內(nèi)角和定理

在△4BC中，A+B+C=TC;變形：2^=2~2

19

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=—cosC;

A+8CA+8C

(3)sin-—=cos~2；(4)cos-石—=sin]

3.三角形中的射影定理

在△ABC中,。=法成c=fej覿4±公毆&

4.三角形中的大角對大邊

在△4BC中，->*>4爾為in4>sinB.

?激活-基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()

(2)在△A8C中，若sinA>sinB,則A>8.()

.,aa-\-b-c

(3)在△AABC中，-r-7=.,.-()

sinAsinA4+sinBD—sinC

(4)當(dāng)從+，一〃2>。時(shí)，aABC為銳角三角形；當(dāng)。2+c2—〃2=o時(shí)，XABC

為直角三角形；當(dāng)〃+/一〃2<o時(shí)，△ABC為鈍角三角形.()

[答案](1)X(2)V(3)V(4)X

二、教材習(xí)題衍生

ITJT

1.已知5c中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,若A=q8=a，

4=1,貝1J/?=()

A.2B.1C.小D.y/2

?匹

_a_____b,asinB‘1n4也、仄

D[r由后=蓊得2X2=&.]

s,n6

2.在△ABC中，若a=2,c=4,8=60°,則Z?等于()

A.2^3B.12C.2巾D.28

A[由余弦定理從=”+/_2訛85B,得從=4+16-8=⑵所以b=2p]

3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知C=60°,力=#,

c=3,貝!]A=.

20

75。［由正弦定理，得sin”處產(chǎn)=遍產(chǎn)普，所以3=45?；?/p>

135°,因?yàn)閄c,所以BvC,故8=45°,所以4=75°.］

4.在AABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且a=4,b=5,c=6,

則cosA=,AABC的面積為.

I與區(qū)［依題意得cosA=歸京衛(wèi)=1，

_______萬

所以sinA=yj1-cos2A=+，

所以/XABC的面積為gbcsinA=

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑直擊高考

□考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形帆生共研

［典例1］(1)已知△ABC的內(nèi)角△B,。所對的邊分別為a,b,c,若:sin

2A=asin且。=2力，則落于()

A.2B?3C.y［2D.小

(2)在①"。~~~；②cosA=yf3sinA—}；(3>J3cos4=sinA這三

c-bsinA—sinBv丫2

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

問題：己知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是小b,c,h-c=4f△

ABC的外接圓半徑為2小，且________,求角A及△ABC的邊8c上的高瓦

(1)D［由正弦定理及。sin2A=asin得2sinBsinAcosA=sinAsin又

sinA#=0,sinB#=0,則cosA=J.又c=2b,所以由余弦定理得/=〃+/—2Z?ccos

A=/?2+4Z?2—4/?2X|=3Z>2,得號(hào)=小.故選D.］

(2)［解］選擇①：

由^~7=——裂土―得(〃+6)(sinA-sin8)=sinC(c-b),

c-bsinA—sinB7

由正弦定理，得(a+b)(a-b)=c(c-b),

整理得。2=〃+廿一匕的

21

b2+c2-a2_be

所以cosA=

2bc~2bc

又0<A<TC，所以A=全

由正弦定理得。=4小sinW=6,

由余弦定理得a2=b2-^-c2—bc=(b—c)2+bc=16+bc=36,

所以兒=20,

所以△ABC的面積S=^bcsinA=gah,

..420義嘩歷

“、，，besinA25y3

所以

h=------a------=-76—=V3-.

選擇②：

由cosA=，5sinA—\,

得小sinA—cos4=1,即sin(人一

jrjrjr

因?yàn)锳￡(0,7c),所以A—彳=不所以A=§.

由正弦定理得Q=4，5sin鼻=6,

由余弦定理得?2=/?2+c2—c)2+/?c=164-/?c=36,

所以兒=20,

所以/XABC的面積S=gbcsinA,

,.人20X嘩rr

-,besinA2573

所以h=-------------=------7

a63

選擇③：

廣AAA

因?yàn)?3cosy=sinA=2sin5cosy,

又cos4WO,所以sin理，因此A=空.

?J?J

由正弦定理得〃=4d5sin"y=6,

由余弦定理得/=。2+/+加=(6-0)2+3兒=16+3從=36,

22

所以兒=冬

所以△ABC的面積S=^bcsinA=%h,

型Xgl

的力匕"csinA325s

所以〃一。一6一9.

令反思領(lǐng)悟利用正、余弦定理解三角形的策略

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余

元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方

程，通過解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題

時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)

系.

［跟癡I麗

1.(2021.福建莆田二模)在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,

2rf

A=28,cosCA-CB=88.

(1)求cosC的值；

(2)求△AB。的周長.

［解］(1)由dCS=88,得McosC=88,

1

VA=2B,/.cosA=cos2B=2cos~9B—1=一§,

VA,BG(0,兀)，sinB>0,AsinB=^/l-cos2B=^,

s…后胡=呼，

故cosC=cos［n—(A+B)］=-cos(A+3)=-cosAcosB+sinAsinB,

則cos0=崗+竽X坐考

22

(2Y：abcosC=88,