《力學(xué)與結(jié)構(gòu)》課件-6.受彎構(gòu)件

6.1平面彎曲概述一、平面彎曲二、受力特點(diǎn)及計(jì)算簡(jiǎn)圖工程實(shí)際中的彎曲問(wèn)題：建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水槽壁等一、平面彎曲的概念

當(dāng)直桿受垂直其軸線的橫向外力或者在桿軸平面內(nèi)的外力偶作用時(shí)，桿的軸線將由直線變成曲線，稱為彎曲。產(chǎn)生彎曲變形的桿稱為梁。矩形截面梁有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，當(dāng)外力都作用在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，彎曲也發(fā)生在該對(duì)稱面內(nèi)，我們稱之為平面彎曲。梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面)內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。ABF2F1M對(duì)稱平面F2F1一、平面彎曲的概念彎曲變形桿件外力特點(diǎn)：桿件受包含桿件軸線在內(nèi)的縱向平面內(nèi)的力偶或垂直于桿軸的橫向外力作用。

變形特點(diǎn)：桿件的軸線由直線變成曲線。ABF2F1M縱向?qū)ΨQ平面F2F1二、受力變形特點(diǎn)及計(jì)算簡(jiǎn)圖1.受力變形特點(diǎn)2.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（1）梁的荷載

①集中力：作用在微小局部上的橫向力；

②集中力偶：作用在通過(guò)梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內(nèi)的力偶。③沿梁長(zhǎng)連續(xù)分布的橫向力。

（2）支座形式①固定鉸約束

②可動(dòng)鉸約束

二、受力變形特點(diǎn)及計(jì)算簡(jiǎn)圖2.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（2）支座形式③固定支座計(jì)算簡(jiǎn)圖確定梁的“計(jì)算簡(jiǎn)圖”包含：①以梁的軸線經(jīng)代替實(shí)際的梁；②以簡(jiǎn)化后的支座代替實(shí)際的支座；實(shí)際支承→理想支承③以簡(jiǎn)化后的荷載代替實(shí)際的荷載。

PABl二、受力變形特點(diǎn)及計(jì)算簡(jiǎn)圖2.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（3）梁的分類

簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸，一端可動(dòng)鉸

外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡(jiǎn)支梁

懸臂梁：一端固定支座，另一端自由以上這三類梁的約束反力都可以通過(guò)列靜力平衡方程求解，因此這三類梁都稱為靜定梁。

二、受力變形特點(diǎn)及計(jì)算簡(jiǎn)圖6.2平面彎曲梁的內(nèi)力計(jì)算一、平面彎曲內(nèi)力計(jì)算二、例題講解一、平面彎曲梁的內(nèi)力計(jì)算求梁的內(nèi)力的方法——截面法AFRAFRBlaF1F211MQFRAaA剪力N或kN彎矩N·m或kN·m求梁的內(nèi)力的方法——截面法內(nèi)力的正負(fù)號(hào)剪力彎矩MMMMFQFQ左上右下為正左下右上為負(fù)上部受壓下部受拉時(shí)為正FQFQ二、例題講解[例1]：圖示簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計(jì)算指定截面1-1、2-2的內(nèi)力。。BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m解：(1)求支座反力(2)求1-1截面上的內(nèi)力

FRAAFQ1M11mF10.5mBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m二、例題講解

(3)求2-2截面上的內(nèi)力

F2F1AM2FQ2FRABAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m二、例題講解

結(jié)論：1梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（右邊向下）的外力使截面產(chǎn)生正號(hào)的剪力。2梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時(shí)針（右邊逆時(shí)針）的力矩使截面產(chǎn)生正號(hào)的彎矩。F2F1M2FQ2FRAMFQ[課堂練習(xí)]：求圖示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m6.3平面彎曲梁的內(nèi)力圖（1）一、寫(xiě)方程法求解內(nèi)力圖一、寫(xiě)方程法作梁的內(nèi)力圖

為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長(zhǎng)的變化情況用圖形表示出來(lái)，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。

具體作法是：

剪力方程：彎矩方程：FQ圖ql/2ql/2M圖BqA

繪制剪力圖和彎矩圖時(shí)，以沿梁軸的橫坐標(biāo)x表示梁橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面的剪力和彎矩。一般將正的剪力畫(huà)在x軸的上方，負(fù)的剪力畫(huà)在x軸的下方，并以正、負(fù)號(hào)區(qū)別；彎矩畫(huà)在梁的受拉一側(cè)，不標(biāo)明正、負(fù)號(hào)。若梁上作用有多個(gè)荷載，則需要以集中力和集中力偶作用處、分布荷載的起止處、梁的支承處以及梁的端部為界點(diǎn)，將梁分段，分段列出各段的剪力方程和彎矩方程，再繪出內(nèi)力圖。所以這種作剪力圖和彎矩圖的方法稱為方程法。內(nèi)力圖繪制步驟：（1）求支座反力：由靜力平衡方程求出支座反力。（2）將梁分段：以集中力和集中力偶作用處、分布荷載的起止處、梁的支承處以及梁的端部為界點(diǎn)，將梁分段。（3）列出各段的剪力方程和彎矩方程：通常取梁的最左端為坐標(biāo)原點(diǎn)（4）畫(huà)剪力圖和彎矩圖①先根據(jù)剪力方程(或彎矩方程)判斷剪力圖(或彎矩圖)的形狀。②確定內(nèi)力控制截面。③根據(jù)剪力方程(或彎矩方程)計(jì)算控制截面的剪力值(或彎矩值)。④描點(diǎn)并畫(huà)出整個(gè)全梁的剪力圖(或彎矩圖)。[例]：求作圖示受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。xFRAFRBBqlAFQ圖ql/2ql/2M圖BqA[例]：簡(jiǎn)支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，試作出其剪力圖和彎矩圖。（1）求支座反力（2）將梁分段：就一段（3）列出各段的剪力方程和彎矩方程（4）畫(huà)剪力圖和彎矩圖①判斷剪力圖(或彎矩圖)的形狀——直線和拋物線②確定內(nèi)力控制截面。（直線：兩點(diǎn)；拋物線：三點(diǎn)）③計(jì)算控制截面的剪力值(或彎矩值)。④描點(diǎn)并畫(huà)圖。11223344BA(O)lCDFMel/3l/3[例]：簡(jiǎn)支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，試作出其剪力圖和彎矩圖。（1）求支座反力（2）將梁分段：3段（3）列出各段的剪力方程和彎矩方程AC段CD段

DB段112233BA(O)lCDFMel/3l/3112233BA(O)lCDFMel/3l/3FQ圖M圖

結(jié)論：

●當(dāng)梁上荷載有變化時(shí)，剪力方程和彎矩方程不可能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)式來(lái)表達(dá)，必須分段列出其表達(dá)式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)為界。●剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的

。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向?yàn)椤绊樝履嫔稀?。q[例]簡(jiǎn)支梁如圖所示，其中q=3KN/m,Me=3KN.m作此梁的剪力圖和彎矩圖。（1）求支座反力（2）將梁分段：3段（3）列出各段的剪力方程和彎矩方程CA段AD段

DB段11223344BAMeCD2m4m2m4.83m6KN8.5KN3.5KN556KN.m7KN.m4KN.m6.04KN.mFRAFRB6.4平面彎曲梁的內(nèi)力圖（二）二、控制截面法畫(huà)彎矩圖一、直接法畫(huà)剪力圖

具體作法是：先求出支座反力，

內(nèi)力圖自左先右繪制，起點(diǎn)由零開(kāi)始回歸為零集中力作用點(diǎn)處（包括支座反力）：剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同。均布荷載作用段，剪力圖為一條斜線，傾斜方向同力方向，斜直線的起止點(diǎn)差值為均布荷載大小

建立坐標(biāo)系，從左往右開(kāi)始按照荷載特點(diǎn)開(kāi)始畫(huà)圖即可。一、直接法畫(huà)剪力圖xFRAFRBBqlAxFRAFRBBqlA二、控制截面法畫(huà)彎矩圖

具體作法是：（1）先求出支座反力

；

（2）

直接法畫(huà)出剪力圖；（3）確定彎矩圖的控制截面：梁的起、止點(diǎn)，集中力作用點(diǎn)，均布荷載起、止點(diǎn)，集中力偶作用處的左、右兩點(diǎn)，均布荷載段剪力為零點(diǎn)。

（4）按照彎矩計(jì)算規(guī)律計(jì)算彎矩控制值（假設(shè)彎矩為正彎）；

（5）繪控制點(diǎn)，按彎矩圖規(guī)律連接控制點(diǎn)。

xFRAFRBBqlA二、控制截面法畫(huà)彎矩圖1、內(nèi)力圖自左先右繪制，起點(diǎn)由零開(kāi)始回歸為零；2、圓柱鉸鏈的鉸處不承擔(dān)和傳遞彎矩，所以彎矩值為零；3、剪力圖為正值時(shí)，彎矩圖向右下方傾斜，斜率為負(fù)值；剪力圖為負(fù)值時(shí)，彎矩圖向右上方傾斜，斜率為正值。4、集中力作用點(diǎn)處（包括支座反力）：彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，尖角指向與力同；5、集中力偶（包括支座反力偶）：彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向?yàn)椤绊樝履嫔稀薄＃?、均布荷載作用段，彎矩圖為一拋物線，開(kāi)口方向與力反，剪力為零點(diǎn)是彎矩圖的極值點(diǎn)，極值大小為該點(diǎn)的彎矩值大小。

建立坐標(biāo)系，從左往右開(kāi)始按照荷載特點(diǎn)求解出彎矩值，連點(diǎn)呈線畫(huà)圖即可。解：1.求約束反力[例]簡(jiǎn)支梁如圖所示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。2.畫(huà)FQ圖FQA右=FQC左=15kNFQC右=FQD=15kN－10kN=5kNFQD=5kNFQB左=－15kN3.畫(huà)M圖MA=0,MC=15kN×2m=30kN.mMD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.mM-D右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.mMB=06.5梁的強(qiáng)度分析二、提高梁的強(qiáng)度措施一、梁的強(qiáng)度條件一、梁的強(qiáng)度條件梁在荷載作用下，橫截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。圖6.5.1圖6.5.2圖6.5.3一、梁的強(qiáng)度條件

為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。1、

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：要求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力σmax不超過(guò)材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力[σ]。

利用上述強(qiáng)度條件，可以對(duì)梁進(jìn)行三方面的計(jì)算：正應(yīng)力強(qiáng)度校核、截面選擇和確定容許荷載。一、梁的強(qiáng)度條件

為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。2、

彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為：

要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力τmax不超過(guò)材料在純剪切時(shí)的許用剪應(yīng)力[τ]

在一般細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。

對(duì)于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷載作用在支座附近的梁等，

則不