2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 第六章 平面向量、復(fù)數(shù)

主題三

幾何與代數(shù)第六章平面向量、復(fù)數(shù)（必修第二冊）

第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

;里口葉侔如靈活名、4方致提混

；選題明細(xì)表

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

平面向量的概念1,613

平面向量的線性運(yùn)算2,3,4,8

向量共線5,7,911

綜合問題10,12,1415

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.設(shè)a是非零向量，入是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（B）

A.a與入a的方向相反

B.a與人2a的方向相同

C.|-入a121al

D.|一入社|》|入?a

解析:對于A,當(dāng)人＞0時(shí),a與入a的方向相同，當(dāng)入＜0時(shí),a與入a的方

向相反,A不正確,B正確;對于C,|-入a|=|-入|a|,由于|-人|的大小

不確定，故|-入a|與|a|的大小關(guān)系不確定,C不正確;對于D"人|a是

向量，而I-人a|表示長度,兩者不能比較大小,D不正確.故選B.

—f―

2.矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)0,E為AO的中點(diǎn),若阻入神+11AB

（入，u為實(shí)數(shù)），則入"2=（4）

5

A.8B.4

C.1D.16

解析DEeDA'DC毋。力口^”乞必+薪以/^口總接心

135

所以入=*u=1所以%4H=?.故選A.

ff—

3.在等腰梯形ABCD中，型/功用為BC的中點(diǎn)，則4M二（B）

A,次+*B,加+洌

c.i+海D.9+2

解析：因?yàn)樗?2。弓

所以AB二2施又M是BC的中點(diǎn)，

f1f-1-f-3-1：

所以3工（AB+AC）_2（AB+AD+DC^_-AB^-AD故選B

fffff

4.設(shè)D為aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，叫3碼若皿入如則X-

u=（A）

5445

A.-3B.-3C.3D.3

——

解析：由BCyCD,可知B,C,D三點(diǎn)在同一直線上,如圖所示.根據(jù)題意

及圖形，可得'二4'+涼4。+三（4（：_%=_：向；”所以入二口

4145

U=3所以入-U=-5-3=-3.故選A.

5.（多選題）己知等邊三角形ABC內(nèi)接于。0,D為線段0A的中點(diǎn),E為

線段BC的中點(diǎn)，則3"二（AC）

2141

人^BA}BCn}BA\BC

A.3+6B.3-6

I21

—f——1.—

解析：如圖所示，已知BC中點(diǎn)為E,^BD=BA+AD=BA^AE=BA+

1—-

5（皿啊件+數(shù)/G也請C故選AC.

6.（多選題）在aABC中，下列命題正確的是（BC）

AABACBC

B.AB+BC+CJ4.Q

ffff

C.若(Afl+AC)?(Afl_4C)二o,則AABC為等腰二角形

ff

D.若AC.AB>o,則^ABC為銳角三角形

解析：由向量的運(yùn)算法則知血AC/q睥叫也0,故A錯,B對；

->->ff―f

)22

AC(ABAC)=AB_AC=Q

所以贏足即畫二扃，

所以AABC為等腰三角形，故C對；

ff

因?yàn)锳C.AB*,

所以角A為銳角，但三角形不一定是銳角三角形,故D錯.故選BC.

7.已知向量ebe2是兩個不共線的向量,若a=2e「e2與b=e1+入e2共線,

則X=.

解析:法一因?yàn)閍與b共線，所以a二xb,

(x=2,

所以bx=T,

故人=-2

111

法二由已知三,所以人二二.

答案：-2

8.如圖所示，已知NB=30°,NA0B=90°,點(diǎn)C在AB上,OC1AB,若用

°”和°，來表示向量尺則兄.

解析:由題意易知"Q+AC0+*他。Ai(OBQ)V。(OB.

31

答案：」40

fffff

9.己知a,b不共線,砒a,Ofl=b,℃二c,°"=d,°&e,設(shè)teR,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上?

若存在,求出實(shí)數(shù)t的值;若不存在,請說明理由.

f->

解：由題設(shè)知，Cfl=d-c=2b-3a,C￡=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條

ff

直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得CE=k°D,即(t-3)a+

b=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

iT-3+3k=0,

因?yàn)閍,b不共線，所以有It-2k=0,

6

解得t二M.

6

故存在實(shí)數(shù)使c,D,E三點(diǎn)在一條直線上.

B級綜合運(yùn)用練

10.(多選題)設(shè)點(diǎn)M是aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說法正確的是

(ACD)

A.若網(wǎng)5%遮則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)

fff

AB

B.若網(wǎng)2-AC,則點(diǎn)卜［在邊BC的延長線上

C.若鵬一BM-CN,則點(diǎn)乂是aABC的重心

fff11

4s

D.若仙二x+yAQ且x+y=2則aMBC的面積是AABC的面積的3

f11

解析:若4M一叫萬人。則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),故A正確;

f—>—?f—?

AB

若AM二2AC即AM_AB=ABAC^BM=CB

則點(diǎn)M在邊CB的延長線上，故B錯誤;

ffff—f

若CM即AMBM+C盟0

則點(diǎn)M是aABC的重心,故C正確;

fff

如圖,AM=xAB^yAC,巨x+y二4

ff—

可得2AM^2xAB+2yAC,

ff

設(shè)和2和則M為AN的中點(diǎn),

則AMBC的面積是4ABC的面積的4故D正確.故選ACD.

11.（多選題）設(shè)a,b是不共線的兩個平面向量，己知PQ=a+sina-b,

其中Q仁（0,2兀），QN=2a-b.若P,Q,R三點(diǎn)共線，則角a的值可以為

（CD）

7T5n7n11元

A.kB.TC.不D.T

i

解析：由題意1x(T)-2sina=0,sina=-2又a￡(0,2冗)，故a的

7v11^

值可為彳或故選CD.

12.在直角梯形ABCD中，A=90°,B=30°,AB=26,BC=2,點(diǎn)E在線段CD

fff

上,若延裕+u色則U的取值范圍是.

師所以叫2位

解析：由己知可得AD=1,CD二

因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以。尾入℃（0W入W1）.

因?yàn)楹兔笾?/p>

D￡

又正G+口￡二6+2口且=AT

至i

所以二T,即U-2

1

因?yàn)閛w入wi,所以owu

1

答案:。由

13.如圖，在aABC中,D為BC的四等分點(diǎn),且靠近B點(diǎn),E,F分別為

f->

AC,AD的三等分點(diǎn),且分別靠近A,D兩點(diǎn)，設(shè)45二a,AC=b.

A

B

D

——f

⑴試用a,b表示BQ初產(chǎn);

(2)證明:B,E,F三點(diǎn)共線.

—?—?

⑴解:在AABC中，因刈現(xiàn)a,'J,

所以立位b-a,

ff—fl二131

ADJIB^BDJIB^3、a+彳(b-a)二品用

丸昌+￡二為+，、a+；b.

-i

⑵證明：因?yàn)?&-a+5b,

BFJA.AF=_AB^AD

23111

-44

-a+^(a+b)--2a+?b

11

=2(-a+的)，

—ifff

所以小嚴(yán)產(chǎn)與或共線,且有公共點(diǎn)B,

所以B,E,F三點(diǎn)共線.

一

14.經(jīng)過aOAB的重心G的直線與OA,0B分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè)°?二

1n04,OQ=nOB小，口￡R

⑴證明:m+n為定值;

(2)求m+n的最小值.

⑴證明：設(shè)°”刊明).

―21--*1

由題意知3(04°馬=3(a+b),

fff

PQ4QOP二nbM

網(wǎng)二OG一瓶(定標(biāo)+補(bǔ)，

由P,G,Q三點(diǎn)共線得，

->f

存在實(shí)數(shù)入，使得PQ—PG,

11

即nb-ma=入(3-m)a+石Ab,

=A(i-m),

n=J'，

從而I3

11

消去入得贏二二3.

ii

⑵解:由⑴知，嬴二二3,

ill

于是m+n=3("+?)(m+n)=

1三三14

3(2+"+?)>3(2+2)=3

當(dāng)且僅當(dāng)m二。二三時(shí),m+n取得最小值,最小值為3

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

15.已知Ai,A?,A：,為平面上三個不共線的定點(diǎn)，平面上點(diǎn)M滿足

TTT

A1M=A（A1A2+A1A3）（入是實(shí)數(shù)），且“冬+”色+”人是單位向量，則

這樣的點(diǎn)乂有（C）

A.0個B1個C2個D無數(shù)個

解析：法一由題意得，=-A（4-）,=+

A/L?MA3=MA[+A1A3

——

所以MA+M42+M43=（I-3入）.（AIE+AIA%如圖所示,設(shè)。為A2A3的

中點(diǎn)，

所以（1-3X）d遇2+AAs）是與AD共起點(diǎn)且共線的一個向量,顯然直

線AJ）與以Ai為圓心的單位圓有兩個交點(diǎn)，故人有兩個值,即符合題意

的點(diǎn)M有兩個.故選C.

法一以A1為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），

設(shè)A2（a,b）,A3（m,n）,

則41444出=(a+*b+n))

所以M(入(a+m),入(b+n)),

所以M41=(-X(a+m),-X(b+n)),

—>

“匈=g-X(a+m),b-入(b+n)),

—?

M4=(m-X(a+m),n-X(b+n)),

所以M41+M44M小二((卜3人)(a+m),(「3入)(b+n)).

因?yàn)镸41+M4+M43是單位向量，

所以(1-3入)2[(a+m)2+(b+n)2]=l,

因?yàn)锳?A2,A,是平面上三個不共線的定點(diǎn)，

所以(a+m)2+(b+n)2>0,所以關(guān)于人的方程有兩解,故滿足條件的M有

兩個.故選C.

第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

靈活寺友方致提他

課時(shí)作業(yè)

?選題明細(xì)表

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1,7,8

平面向量基本定理及應(yīng)用2,4,5,910

共線向量的坐標(biāo)表示及其

3,613

應(yīng)用

綜合問題11,12,1415

A級基礎(chǔ)鞏固練

一

1.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量出的坐標(biāo)是(D)

y

(?

012~~'~X

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

一

解析:因?yàn)锳(2,2),B(1,1),所以"=(T,T),故選D.

2.在下列向量組中，可以把向量a=(3,2)表示出來的是(B)

A.e尸(0,0),02=(1?2)

B.ei=(-l,2),e2=(5,-2)

C.ei=(3,5),。2二(6,10)

D.⑵一3),^2=(—2,3,)

解析:對于A,C,D都有e^e2,所以只有B成立.故選B.

3.設(shè)向量a=(m,2),b=(1,m+1),且a與b的方向相反,則實(shí)數(shù)m的值為

(A)

A.-2B.1

C.-2或1D.m的值不存在

解析：向量a=(叫2),b=(1,m+1),因?yàn)閍〃b,所以m(m+l)=2X1,解得

m=-2或m=l.當(dāng)m=l時(shí),a=(l,2),b=(l,2),a與b的方向相同,舍去；當(dāng)

m=-2時(shí),a=(-2,2),b二(1,T),a與b的方向相反,符合題意.故選A.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(l,O),B(O,1),C為第一象限內(nèi)一

?fff

點(diǎn)，NAOCW且002,若%入口+口%則入+口等于(A)

V2及

A.2B.

C.2D.4調(diào)

-J2y12

解析：因?yàn)?C=2,ZAOC=*C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，所以CC),

又適初十初

所以*，"入(1,0)+口(0,1)二(入，U),

所以入=Uy=[2，所以入+U=2yVl2.故選A.

5.(多選題)設(shè)0是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD的交點(diǎn),則可

作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的向量組是(AC)

AAO與ABB.D叫BC

C&與DODfjOB

解析：如圖，平面內(nèi)任意兩個不共線的向量都可以作為基底，對于

—>—?—>—?

A,心與四不共線，可作為基底;對于B/M與"C為共線向量，不可作為

—?—?—?

基底;對于C,以與DC是兩個不共線的向量，可作為基底;對于D,°”與

。月在同一直線上,是共線向量,不可作為基底.故選AC.

6(多選題)已知向量04=(l,?3),°'=(2,-l),"=(m+l,m-2),若點(diǎn)

A,B,C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是(ABD)

A.-2B.2

C.1D.-1

—?——

解析:若A,B,C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形.因?yàn)?/p>

(l,-3)=(l,2),AC=°C.O/=(m+l,m-2)-(l,-3)=(m,m+l).假設(shè)A,B,C

三點(diǎn)共線，則1X(m+l)-2m=0,即m=l.所以只要m#l,則A,B,C三點(diǎn)即

可構(gòu)成三角形.故選ARD.

7.已知向量a=(l,3),b=(-2,k),且(a+2b)//(3a-b),則實(shí)數(shù)

k=.

解析:法一a+2b=(-3s3+2k),

3a-b=(5,9-k),

由題意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.

法二若a,b不共線，則a+2b與3a-b不共線，

這與(a+2b)//(3a-b)矛盾，故a,b共線，

所以k-3X(-2)=0,解得k=-6.

答案：-6

8.設(shè)向量a=(-3,4),向量b與向量a方向相反,M|b|=10,則向量b的

坐標(biāo)為.

解析:法一不妨設(shè)向量b的坐標(biāo)為(-3m,4m)(ir.<0),

則⑹=?而戶耐"，

解得m=-2(m=2舍去)，

故b=(6「8).

工&閭?,

法二與a方向相反的單位向量是㈣=M=@占)，

34

故b=10(￡-，=(6,?8).

答案：(6,-8)

一

9.如圖，已知在△OCB中,A是CB的中點(diǎn),D是將以分成2：1的一個內(nèi)

TT

分點(diǎn),DC和0A交于點(diǎn)E,設(shè)04=a,°町b.

⑴用a和b表示向量叫DC；

—>—?

⑵若°憶。,求實(shí)數(shù)人的值.

-?2T

解：(1)由題意知,A是BC的中點(diǎn)，且々由平行四邊形法則,

得°3+℃=204

所以耙2人。足2a-b,

25

DC=OC_OD=(2a-b)-3b=2a-3b.

⑵由題意知,嬴〃充、故設(shè)無x尻

因?yàn)閼?yīng)二涯0E二(2a-b)-Xa=(2-X)a-b,立2a3.

5

所以(2-入)a-b=x(2a-3b).

因?yàn)閍與b不共線，由平面向量基本定理，

(2Q=2x,,X=5,

,__5'=士f

得I一產(chǎn)解得I一$?故人J

B級綜合運(yùn)用練

10.已知在RtAABC中，NBAC=90°,AB=1,AC=2,D是4ABC內(nèi)一點(diǎn),且

NDAB=60°,設(shè)3dAs+"C(入…ER),則口等于(卜)

2gva

A.虧B.V

C.3D.2避

解析:如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸

建立平面直角坐標(biāo)系,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),

因?yàn)镹DAB=60",所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（叫%）（111W0）.

皿（m,q）二人型入（］,o）+“（°,2）=（入，2u）,則人初，且u

V3

二2叫

所以叫虧.故選A.

11.如圖，在RtAABC中，NABC=4AO2AB,ZBAC的平分線交aABC的

外接圓于點(diǎn)D,設(shè)融二：a,4C二b,則向量初等于（C）

A.a+bB.2a+b

12

C.a+2bD.a+^b

解析:設(shè)圓的半徑為r,

■

在RtAABC中，ZABC=2AC=2AB,

,■

所以NBAC=[ZACB=6

又NBAC的平分線交AABC的外接圓于點(diǎn)D,

所以NACB二NBAD二NCAD二6,

則根據(jù)圓的性質(zhì)得BD二CD二AB,

1

又因?yàn)樵赗tAABC中，AB=2AC=r=0D,

所以四邊形ABDO為菱形，

所以幽型4%+水故選C.

—?T—?—?

12.己知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量°叫（1,2）,°足（.2,-1）,若2Ap二”則

-1=—.

T—>

解析:因?yàn)?機(jī)”

所以2（而1-兩二血碼

所以2踴贏嗯

所以而肩向+西=（垓2）

所以1。尸55

坦

答案：記

13.已知a=（l,0）,b=（2,D.

（1）當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b共線;

(2)若獨(dú)=2a+3b,"Ja+mb且A,B,C三點(diǎn)共線，求m的值.

解：(l)ka—b=k(l,0)-⑵l)=(k—2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,1)=(5,2).

因?yàn)閗a-b與a+2b共線,

所以2(k-2)-(T)X5=0,

1

即2k-4+5=0,得k=-2.

—?—>

⑵法一因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以A5,入BQ

即2a+3b=入(a+mb),

f2=A,3

所以匕=771A,解得m=2.

法二Afl=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

“Ja+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以A?//?1

3

所以8m-3(2m+l)=0,即2m-3=0,所以m=2.

14.如圖，已知平面內(nèi)有三個向量OAOBOC,其中°”與的夾角為

西二1,|西二26.若

120°,0%與℃的夾角為30°,且|

℃二加4口。3（入，口￡R）,求入+u的直

C

B

A

解:法一如圖，作平行四邊形OBCAi,

則OC=O"i十0氣

—?—>—?—?

因?yàn)椤懔εc°3的夾角為120。，°4與℃的夾角為30°,

所以NBQO90。.

在RtAOB.C中，NOCB尸30。，|西二2件

—?—?

所以|叫二2,嚴(yán)四=4,

—?—?

所以1041HHic=4,

所以℃二40*+203,

所以入=4,u=2,所以入：U=6.

法二以0為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則A(l,0),B(-3,5),C(3,6).

由OC二人OA+u。4

3=入-加

代=品］入=4，

得I2內(nèi)解得卜=2.

所以入+U=6.

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

15.若a,8是平面內(nèi)一組基底，向量Y=xa十y8(x,y￡R),則稱(x,y)

為向量Y在基底a,B下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底

p=(l,T),q=(2,1)下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在基底m=(-l,1),n=(l,2)

下的坐標(biāo)為.

解析:因?yàn)閍在基底p,q下的坐標(biāo)為(-2,2),

所以a=-2p+2q=(2,4),

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

戶+y=2，

所以卜+21，即fx仁=02：

所以a在基底m,n下的坐標(biāo)為(0,2).

答案：(0,2)

第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

靈活才友方數(shù)提他

課時(shí)作業(yè)

廠選題明細(xì)表

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

平卸1可量數(shù)量積的基本

1,6

運(yùn)算

-平曲向量數(shù)量積的應(yīng)用2,3,5

平面向量的綜合運(yùn)用4,7,8,9

綜合問題10,11,12,13,1415,16

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.(2021?湖北武漢武昌區(qū)高三調(diào)研)在等腰直角三角形ABC中，

.

ZACB=2,AC=BC=2,點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn)，且BE=2EA,那么

CP.CA^.CB=(口)

A.-4B.-2C.2D.4

—>—>—>—>

解析:法一由已知得|以|二IC昨2,以.CB=0,和r，所以

CP.CA+CP.晶=(&+/)?&+(方+久3).CB=

CA^AP.CA^CA.CB^AP.CB_CA2^^CB_CA).(西N)二,

i-?i-?ii

2?=4.故選D.

|2+3|CB|2_3|Ci4|2=22+3X22-3X

法二由已知，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則0(0,0),A(2,0),

—?—?

B(0,2),設(shè)P(x,y),因?yàn)锽P=2PA,所以.設(shè)尸4所以(x,y-2)=

4

-

3

242

-升譏a

3--

所

以/33\⑵O\+

2(2-x,-y),-XI7!?7

42

(33).(0,2)=4.故選D.

y

2.已知平面向量@=(1,-3平6=(4,-2),若人。f與b垂直，則實(shí)數(shù)

入二(D)

A.-lB.1C.-2D.2

解析：由已知得入a-b=(入-4,-3入+2),因?yàn)槿薭b與b垂直，所以

(入a-b)?b-0,Bp(A,-4,-3入+2)?(4,-2)=0,所以4人-16+6入-4=0,

解得人=2.故選D.

3.已知向量a與b的夾角為&且|a|二l"2a-bl45,則曲|=(C)

A小B/

血

C.1D.2-

解析：12a-b12=(2a-b)2=41a12-41a||b|?cos<a,b>+1b12=4-2b|+|b|2

二3,解得|b|=l.故選C.

4.(多選題)在日常生活中,我們經(jīng)常會看到兩個人共提一個行李包的

情況.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為

件,F%且|%|二舊|,艮與F2的夾角為6.給出以下結(jié)論,其中正確的是

(AD)

A.H越大越費(fèi)力，。越小越省力

B.0的取值范圍為[0,n]

.

C.當(dāng)。立時(shí)，|Fj=|G|

D.當(dāng)（=1■時(shí)，|Fj=|G|

解析：對于A,因?yàn)閨G|=E+F2|為定值，所以|G|2=|FF+E|2+2|F.|

|G|2

IF21cos0=2Fi|2?（1+cos0）,解得E|Jzd+ca聞.由題意知0e

[0,n）時(shí),y=cos。單調(diào)遞減，所以IFF單調(diào)遞增，即o越大越費(fèi)力，

。越小越省力,A正確;對于B,由題意知，0的取值范圍是[0,兀），故8

■|G|2V2

錯誤;對于C當(dāng)9=2時(shí),IF仔〒，所以|FJ二Z|G|,故C錯誤;對于D,

2a

當(dāng)時(shí)，|FJ2=|G|2,所以|F-:|G|,故D正確.故選AD.

.

5.若eb。2是夾角為§的兩個單位向量,而a=2ei+e2,b=-3e+2e2,則向量

a和b的夾角為（C）

?■

A.%B,3

2B5a

C.5D.W

■i

解析：因?yàn)閨c』二l,16|=1,<C1,&2>二4所以。1?C2工，因?yàn)閍=2a+c2,b二

|5+4X^pj

-3ei+2e2,所以|a|二、=,

113+2X(-3)X2X^^

222

|b|=、=,a?b=-6|e1|+2|e2|+ei?C2,所以

IaIbIcos<a,b>=-61eI，21?21?+ei?。2,所以7Xcos<a,b>=-6+

171

2+2=-2所以cos<a,b>二巨因?yàn)?lt;a,b>￡[0,冗],所以向量a與b的夾

2a

角為？.故選C.

6.(多選題)(2021?湖南長沙高三模擬)設(shè)a,b,c是任意的非零平面

向量,且相互不共線，川下列選項(xiàng)中正確的是(BCD)

A.(a?b)c-(c?a)b=0

B.|a|-|b|<|a-b|

C.(b?c)a-(a?c)b與c垂直

D.(3a+2b)?(3a-2b)=9|a|-4|b|2

解析：由于b,c是不共線的向量，因此(a-b)c與(c-a)b相減的結(jié)果

應(yīng)為向量，故A錯誤；由于a,b不共線，故a,b,a-b構(gòu)成三角形，因此B

正確；由于[(b?c)a-(a?c)b]?c=(b?c)(a?c)-(c?a)(b?c)=0,

故C正確;根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可以得出D是正確的.故選BCD.

7.已知向量a=(2,-6),b=(3,m),若|a+b向|a-b|,則m=.

解析：法一因?yàn)閍=⑵-6),b=(3,m),所以a+b=(5,m-6),a-b=

(-1,-m-6),由|a+b|=|a-b|得52+(m-6)2=(-1)2+(-m-6)2,解得m=l.

法二由|a+b|=|a-bI,兩邊平方得a?b=0,因?yàn)閍=(2,-6),b=(3,m),

所以2義3+(-6)Xm=0,解得m=l.

答案：1

8,已知他與人。的夾角為90°,|加|二2,lACljAM^AB+uACc,

——A

u￡R),且4*1-BC=0,則而值為.

解析:根據(jù)題意,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(0,2),

C(l,0),所以和(0,2),AC=(i,o)產(chǎn)=(「2).設(shè)M(x,y),則4M二

->T—>

(x,y),所以4M?"C=(x,y).(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y.又匹人

—>—?

幽即(x,y)二入(0,2)+口(1,0)二(口，2人)，所以小口，尸2人，所

a、夏1

以叫:二功小.

答案；

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(—l,-2),B(2,3),C(-2,-1).

⑴求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

—?—?—?

(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(皿t℃).OC0)求t的值.

解：(1)由題設(shè)知趣=(3,5),AC=(-1,1),

則叫AC二⑵6),皿AJ(4,4),

所以|曲畫=2理甌畫=4件

故所求的兩條對角線的長分別為4理25

—>—>—>

⑵法一由題設(shè)知℃二(-2,-1),血t℃二(3+2t,5+t).

由(AB-tOC)?遑0,得

(3+2t,5+t)?(-2,-1)=0,

從而5t=-ll,

11

所以t=-5.

2

法二AB.OCtOC

ABOC

B級綜合運(yùn)用練

—?—?—

10.已知0是aABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足°4°4也0,又帥.AC二2V3,

NBAO60。，則AOBC的面積為（C）

血

A.萬B.3

C.1D.2

解析：由45?AC=2“3,NBAC=60°,可得A??AC=|AB||AC

cosZBAO2IABIIAC1=2^,所以1ABiIAC1=46,所以

C1TT

△A吟HQsinNBAC=3,又反+嗎%。,所以0為ZkABC的重

心,所以砒二].故選c.

11.在四邊形ABCD中，己知M是AB邊上的點(diǎn)，且MA=MB=MC=\fD=l,

ZCMD=120°,若點(diǎn)N在線段CD(端點(diǎn)C,D除外)上運(yùn)動,則鹿4-稗的

取值范圍是(B)

3

A.[-1,0)B.[-40)

1

C.[-1,1)D.[-21)

—?—>—>—?—?—

解析：連接MN（圖略）.由題意得M*?超二（桃-四）?（MB-二

22

tmMA=MH|2-1,在ZiMCN中，MC=1,ZMCN=30°,所以MN2=

V3^5V33

P+NC-2?NC-1XT=NC-NC+1,所以MN2-1=NC2-^IC=(NC-T)2-4.

由MC=MD=1,ZCMD=120°,可得CD*又點(diǎn)N由線段CD(端點(diǎn)C,D除

外）上運(yùn)動，所以0<%<立，

3->->3

所以-彳WMN2-K0,即Mi?幅的取值范圍是［_40）.故選B.

12.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且包=

TT-*3

入BC,AZJ.AB=_i則實(shí)數(shù)入的值為，若乂,N是線段BC上的

TTT

動點(diǎn)，且則DM?"N的最小值為.

解析：依題意得AD//BC,ZBAD=120°,由愈?^=\加||AB|

3-?3->1

cosZBAD=-21|=-2,得|的|=1,因此%=l?cl=i取MN的中點(diǎn)E,連接

DE（圖略），則0叫。電2。底,OM.D2U=4［（DM2_2j=

->IT2T1

DE2NM

i二D*2二,注意到線段MN在線段BC上運(yùn)動時(shí)'DE的最小值

3g-*21

等于點(diǎn)D到直線BC的距離，即AB-sinB二三,因此此二的最小值為

3^113->-?13

（三）2-1萬,即D乩DN的最小值為萬.

113

答案：片萬

13.已知|a|二4,|b|=3,(2a-3b)?(2a+b)=61.

(1)求a與b的夾角9;

⑵求|a+b|;

（3）若獨(dú)位,B《b,求AABC的面積.

解：(1)因?yàn)?2a-3b)?(2a+b)=61,

所以41a12-4a,b-3|b|2=61.

又aI=4,|b|=3,

所以64-4a?b-27=61,所以a?b=-6,

a*b-61

所以COSo=l?l|h|=4x3=-2

2s

又owow九所以oR

(2)|a+b|2=(a+b)2

=|a12+2a?b+1b|2

=42+2X(-6)+3J13,所以|a+b|二E.

—>—>2B

(3)因?yàn)樗c此的夾角9a

2a?

所以NABC=

—?—?

又1ABi=|a|=4,嚴(yán)|=出|=3,

所以J^X4X3X

返返

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=(2,-2),n=(sinx,

.

COSX),XE(0,2).

(1)若田_Ln,求tanx的值;

(2)若m與n的夾角為3,求x的值.

解：(1)因?yàn)閙=(2,-2),n=(sinx,cosx),

m±n,

返返

所以m?n=0,BP2sinx-2cosx=0,

所以sinx=cosx,所以tanx=1.

■1

(2)因?yàn)閨m|二|n|二l,所以m?n=cos衛(wèi)2,

BP2sinx-2cosx=2,

?1

所以sin(x-*)=2,

?■■?

因?yàn)閛<x&,所以

■?5a

所以X*=6即X=五

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

TT

15.在AABC中，AB-5,ACTO,M-4c~25,點(diǎn)P是Z\ABC內(nèi)（包括邊界）

T3T2T—>

的一動點(diǎn)，且和M健工人AC（入￡R）,則1Api的最大值是（B）

3Va

V37

A.WB.

炳)

L/?

解析：法一在AABC中，AB=5,AOIO,二25,所以5X10?

cosA=25,cosA=2,又A￡(0,n),

■ISZ+I^-ZXSXIOX-月

所以A=3,BO、2=5V,因?yàn)锳B2+BC2=AC2,所以

B=2.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

則A(0,0),B(5,0),C(5,5嗎，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),0WxW5,OWy

->32-?

因?yàn)锳Pv用導(dǎo)人AC

??V3</3

所以(x,y)=S⑸0)-5入(5,5VJ)=(3-2X,-2VJX),

（x=3—2X,

所以ly=-2?所以丫二/（x—3）,直線BC的方程為x=5,

AP最大，為

，”2病2煙.故選B.

■?3

法二同解法一求得A-3,B旦在邊AB上取點(diǎn)M,使AMMAB=3,過M作

MN〃AC交BC于點(diǎn)N,由平行四邊形法則，得點(diǎn)P在線段MN上，故當(dāng)點(diǎn)

P與N重合時(shí)，畫最大,此時(shí)BN二2修故|向二辦+(2兩2二例

故選B.

16.已知平面單位向量Ci,色滿足IZeflW2.設(shè)&=&+孰,b=3&+e2,向

量a,b的夾角為()，則cos20的最小值是.

解析：法一因?yàn)槠矫鎲挝幌蛄縠L滿足|2e「ez|W衣，所以

3

2

|2e-e2|=5-4ei?e2^2,B|Jei?e2^*.

因?yàn)閍=e1+e2,b=3ei+e2,a,b的夾角為。,

(a?b)2[(er，)?產(chǎn)

所以COS20=|a|2|b|2=1?1+*2儼*|3e>+?2l2=

W—1?”)2letC2

(2+2?i??2)?癡二XScj,氣

34+4i

2

不妨設(shè)t=ei?e2,則t>,cos0

4+4i3

又y二豆不在[4+oo)上單調(diào)遞增，

所以cos?。2思二再

28

所以COS?。的最小值為政

法二由題意，不妨設(shè)e1=(l,0),e2=(cosx,sinx).

因?yàn)?eie21<

所以J(2-cosx)2+sin2Xw近

得5-4cosxW2,

3

即cosxA.

易知a=(l+cosx,sinx),b=(3+cosx,sinx),

所以a?b=(l+cosx)(3+cosx)+sin2x=4+4cosx,

|a|2=(l+cosx)2+sin2x=2+2cosx,

b12=(3+cosx)2+sin2x=10+6cosx,

(a?b)2

所以cos2e二面可曬

(44-4cosx)24-M<xwx

(2+Zcosz)(10+6a?x)=5+3cosx.

3

不妨設(shè)m=cosx,則m2,cos?9=

3

又y=5+3m在［彳,+8）上單調(diào)遞增,

所以COS20

28

所以COS20的最小值為西

2S

答案商

第4節(jié)余弦定理和正弦定理及其應(yīng)用

靈活寺友方致提他

課時(shí)作業(yè)

二選題明細(xì)表

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

固練

利用正弦、余弦定理解三角形1,3,4

與面積有關(guān)的解三角形問題2,7,8

解三角形的實(shí)際應(yīng)用5,91016

綜合611,12,13,1415

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.(2021?安徽安慶模擬)若AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為

a

a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,則［等于(D)

34

A.2B.3

C/D小

解析：由bsin2A=asinB,

i

得2sinBsinAcosA=sinAsinB,得cosA=2

又c=2b,由余弦定理得

1

a2=b2+c2_2bccosA=b2+4b2-4b2-2=3b；

得k6故選D.

2.(2021?河北唐山模擬)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,a=2,b=3,c=4,設(shè)AB邊上的高為h,則h等于(D)

VBVii3VT33VB

A.WB.?CD.k

子％2_『H16-4217

解析：由余弦定理,得COS1\=2bc=2x3x4=24=5,則sin

VB3竹

,Vl-cos2A

A=:=8,則h=ACsinA=bsinA=3X8=8.故選

D.

3.（多選題）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

a=l,b=6,A=30°,則B等于（BC）

A.30°B.45°C.135°D.150°

ab8c；V2/=

解析:根據(jù)正弦定理的14二由iB得,sinB=?=i=T,由于b->l=a,

所以B=45°或135°.故選BC.

4.（2019?全國I卷）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

1b

asinA-bsinB=4csinC,cosA=一4,則■等于（A）

A.6B.5C.4D.3

解析：因?yàn)閍sinA-bsinB=4csinC,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即

b2——c2―—2-（4-40-3c21i

a'dc'bl由余弦定理得COSA=2bc=2bc=2bc二一4,所以=6.

故選A.

5.（多選題）某人向正東走了Xkm后向右轉(zhuǎn)了150。，然后沿新方向走

3km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好6k叫那么x的值是（AB）

A.6B.2百

C.3D.6

解析：如圖，AB=x,BC二3,AC二百，NABC二30°.

由余弦定理得3=x?+9-2X3?x?cos30c.

解得x=2后或xW故選AB.

6.（多選題）對于aABC,有如下判斷，其中正確的是（ABD）

A.若cosA二cosB,則4ABC為等腰三角形

.

B.若4ABC為銳角三角形，有A+B>2則sinA>cosB

C.若a=8,c=10,B=60°,則符合條件的AABC有兩個

D.若sin2A+sin2B<sin-C,則4ABC是鈍角三角形

解析:對于A,若cosA二cosB,則A=B,所以△ABC為等腰三角形，故

正確；

■■■

對于B,若A+B>2,則5>A>5-BM）,所以sinA>cosB,故正確；

/s2+102—2x8x10x2砌

對于C,由余弦定理可得b=N2=V,只有-解,

故錯誤；

對于D,若sin2A+siYB<sin2C,則根據(jù)正弦定理得a2+b2<c2,cos

所以C為鈍角，所以AABC是鈍集三角形，故正確.故選

ABD.

7.在aABC中，060°,且嫉四=2,則△ABC的面積S的最大值

為.

解析：由060°及直二育二2,可得c=*.

由余弦定理得3=b?+a"ab2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí),取等號），

13遮3g

所以S=3a