專題06 幾何圖形初步（知識串講考點提升過關(guān)檢測）-2025年人教版七年級《數(shù)學(xué)》寒假自學(xué)提升講義

PAGE1專題06幾何圖形的初步考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補(bǔ)缺難點強(qiáng)化：難點內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：認(rèn)識幾何圖形1.立體圖形立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，這個圖形叫做立體圖形.【補(bǔ)充】1）同一個立體圖形按不同的方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.2）不是所有的立體圖形都有平面展開圖，比如：球.3）常見的立體圖形的種類：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.4）常見立方體圖形平面展開圖：2.平面圖形平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個圖形叫做平面圖形.幾何圖形的概念:我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.【補(bǔ)充】幾何圖形不研究物體的顏色、質(zhì)量、質(zhì)地等性質(zhì)，只關(guān)注物體的形狀、大小和位置.【常見的平面圖形的種類】線段、角、三角形、長方形、圓等.3.點、線、面、體1）定義體長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體.幾何體也簡稱體.面包圍著體的是面.線面和面相交的地方形成線.點線和線相交的地方是點.2）點、線、面、體之間的關(guān)系知識點2：直線，射線，線段直線射線線段定義直線是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個不做定義的原始概念.直線上一點和它一旁的部分叫做射線.直線上兩點和它們之間的部分叫做線段.圖形表示方法直線AB或直線BA直線m射線OA射線n線段AB、線段BA線段l端點個數(shù)無1個2個度量情況不可度量不可度量可以度量延伸情況可向兩方無限延伸只能以一方無限延伸不能延伸作法敘述作直線AB作直線m作射線OA作線段AB作線段m連接AB延伸敘述反向延伸射線OA延長線段AB

反向延伸線段BA聯(lián)系射線和線段都是直線的一部分，線段向一方無限延伸就成為射線，向兩方無限延伸就成為了直線，射線向反方向無限延伸就成為直線.2、有關(guān)直線的基本事實經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線.3、線段的性質(zhì)兩點的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.它是線段的長度，是數(shù)量.線段基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短.4、線段的中點線段的中點：如圖，點C把線段AB分成兩條相等的線段AC和CB，點C就叫做線段AB的中點.幾何描述：∵點C為線段AB的中點∴AC=BC=12AB【補(bǔ)充說明】1）線段的中點只有一個；2）某一個點要成為一條線段的中點必須同時滿足兩個條件：①點必須在這條直線上.②它把這條線段分為兩條相等的兩條線段.[易錯點]若AM＝BM，則點M不一定是線段AB的中點（點M可能在線段AB外）.3）線段的三等分點有兩個，四等分點有三個，且這些點都在線段上.知識點3：角1、角的定義角的定義（靜態(tài)）：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．角的定義（動態(tài)）：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.2、角的表示方法角的幾何符號為“∠”，表示方法有以下四種：角的表示圖例記法適用范圍用三個大寫字母表示∠ABC或∠CBA任何情況都適用，但表示頂點的字母一定要寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).用一個大寫字母表示∠O當(dāng)以某一字母表示的點為頂點的角只有一個時，可用這個頂點的字母來表示.用一個數(shù)字表示∠1在靠近頂點處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫的希臘字母.注意：數(shù)字或小寫的希臘字母不能表示超過一個以上的角.用一個希臘字母表示∠注意：在初中階段，若沒有特殊說明，默認(rèn)的角都是小于平角的角.3、角的換算方法：1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：，.4、角平分線角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.角平分線的性質(zhì)：若OC是∠AOB的角平分線，則；反之，若，則OC是∠AOB的角平分線.考點剖析【考點1】幾何圖形的初步1．（24-25七年級上·全國·期中）（1）如圖是一些基本立體圖形，在括號里寫出它們的名稱．（2）將這些幾何體分類，并寫出分類的理由．【答案】（1）球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱；（2）見解析【分析】本題考查的是幾何體的分類；（1）根據(jù)各個幾何體的特征即可得到結(jié)果；（2）可按面分，也可按柱體分，方法不一．【詳解】解：（1）（從左至右）球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱；（2）按面分：曲面：球、圓柱、圓錐；平面：長方體、三棱柱．2．（24-25七年級上·全國·單元測試）將下列幾何體按名稱分類：柱體有______；錐體有______；球體有______．（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮浚?）（2）（3），（5），（4）【分析】本題主要了立體圖形的分類，理解立體圖形的分類是解答關(guān)鍵．根據(jù)柱體、錐體、球體進(jìn)行分類求解．【詳解】解：根據(jù)圖形可知柱體分為圓柱和棱柱，所以柱體有（1）（2）（3）；錐體包括棱錐與圓錐，所以錐體有（5）球體屬于單獨的一類，球有（4）．故答案為：（1）（2）（3），（5），（4）．3．（2022七年級上·浙江·專題練習(xí)）例題：圖（a）、（b）、（c）、（d）都稱作平面圖．(1)數(shù)一數(shù)每個圖各有多少個頂點，多少條邊，這些邊圍出了多少區(qū)域，將結(jié)果填入表中（其中（a）已填好）．圖頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)（a）463（b）（c）（d）(2)觀察表，推斷一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？(3)現(xiàn)已知某一平面圖有999個頂點和999個區(qū)域，試根據(jù)（2）中推斷出的關(guān)系，確定這個圖有多少條邊？【答案】(1)見解析(2)頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)?邊數(shù)=1(3)邊數(shù)為1997條【分析】（1）根據(jù)圖示分析即可解；（2）根據(jù)表格的分析結(jié)果可解；（3）根據(jù)（2）中所得出的關(guān)系即可得出答案．【詳解】（1）解：所填表如下所示：圖頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)（a）463（b）8125（c）694（d）10156（2）解：由（1）中的結(jié)論得：設(shè)頂點數(shù)為n，則邊數(shù)=n+n2=3n2；區(qū)域數(shù)=n2（3）解：某一平面圖有999個頂點和999個區(qū)域，根據(jù)（2）中推斷出的關(guān)系有999+999?邊數(shù)=1，解得：邊數(shù)為1997條．【點睛】本題考查了平面圖形的知識，注意從特殊情況入手，仔細(xì)觀察、分析、試驗和歸納，從而發(fā)現(xiàn)其中的共同規(guī)律，這是解本題的關(guān)鍵．4．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）觀察下列幾何體：①正方體；②長方體；③圓柱；④圓錐；⑤三棱錐；⑥球．回答下面的問題：（用序號填空）(1)表面都是平面的是，表面沒有平面的是，表面既有平面又有曲面的是；(2)只有一個表面的是，有兩個表面的是，有三個表面的是，有四個表面的是，有六個表面的是；(3)面與面相交都是直線的是，面與面相交都是曲線的是．【答案】(1)①②⑤，⑥，③④(2)⑥，④，③，⑤，①②(3)①②⑤，③④【分析】本題主要考查了常見的立體圖形的特征，（1）通過對每個幾何體的面的特征進(jìn)行觀察和分析，即可確定它們的分類和交線情況；（2）通過對每個幾何體的面的特征進(jìn)行觀察和分析，即可確定它們的分類和交線情況；（3）通過對每個幾何體的面的特征進(jìn)行觀察和分析，即可確定它們的分類和交線情況；熟練掌握它們的特征是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵正方體①由六個完全相同的正方形平面組成，長方體②由六個矩形平面組成，三棱錐⑤由多個三角形平面組成，∴表面都是平面的是①②⑤，∵球體⑥的表面是完全彎曲的，沒有平的面，∴表面沒有平面的是⑥，∵圓柱③由兩個圓形平面和一個彎曲的側(cè)面組成，圓錐④由一個圓形平面和一個彎曲的側(cè)面組成，∴表面既有平面又有曲面的是③④，故答案為：①②⑤，⑥，③④；（2）∵球體⑥整個外表面是一個連續(xù)的曲面，只有一個表面，∴只有一個表面的是⑥，∵圓錐④由一個底面圓形平面和一個彎曲的側(cè)面組成，共兩個面，∴有兩個表面的是④，∵圓柱③由兩個圓形底面和一個彎曲的側(cè)面組成，共三個面，∴有三個表面的是③，∵三棱錐⑤由三個三角形側(cè)面和一個三角形底面組成，共四個面，∴有四個表面的是⑤，∵正方體①由六個正方形平面組成，長方體②由六個矩形平面組成，∴有六個表面的是①②；故答案為：⑥，④，③，⑤，①②；（3）∵正方體①、長方體②、三棱錐⑤的面與面相交的線都是直線，∴面與面相交都是直線的是①②⑤，∵圓柱③和圓錐④的面與面相交的線都是曲線，∴面與面相交都是曲線的是③④，故答案為：①②⑤，③④．【考點2】識別正方體的展開圖5．（24-25七年級上·陜西寶雞·期中）請在下圖中①②③的方格紙上分別用陰影補(bǔ)畫一個正方形，使它與原有的陰影正方形拼在一起折疊后可以圍成一個正方體．（每圖畫一種）【答案】見解析【分析】本題主要考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，正方體的展開圖，熟記正方體展開圖的常見的11種形式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體11種展開圖進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，（畫出一種即可）如圖，（畫出一種即可）如圖，（畫出一種即可）6．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖①，正方形網(wǎng)格中是一個正方體的部分展開圖．(1)請你在圖②、圖③中各畫1個正方形，使這6個正方形能折疊成一個正方體；(2)若這個正方體相對面上的兩個數(shù)相等，求x、y的值．【答案】(1)見解析(2)x=1，y=?1【分析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．（1）根據(jù)正方體的展開與折疊解答即可；（2）正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點確定相對面，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出x、y的值．【詳解】（1）解：如圖所示．（答案不唯一，任選兩種即可）（2）解：根據(jù)題意，得x+1=2，即x=1，因為?x=y，所以y=?1．7．（24-25七年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）問題情景：2024年6月5日是第53個世界環(huán)境日，某校七（5）班綜合實踐小組進(jìn)行廢物再利用的環(huán)保小達(dá)人行動，他們準(zhǔn)備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾用的無蓋紙盒．操作探究：(1)若準(zhǔn)備制作一個無蓋的正方體紙盒，圖1中的_________圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒；（填字母）(2)圖2是小明的設(shè)計圖，把它折成無蓋正方體紙盒后，與“達(dá)”字相對的是_________；(3)在活動中發(fā)現(xiàn)，有一張邊長為20cm的正方形廢棄宣傳單，小剛準(zhǔn)備將其四角各剪去一個小正方形，折成無蓋長方體紙盒．若四角各剪去了一個邊長為xcmx<10的小正方形，請求出這個紙盒的底面周長．（用含x的代數(shù)式表示）【答案】(1)C(2)保(3)80?8x【分析】本題考查正方體的表面展開圖，列代數(shù)式（1）根據(jù)正方體的折疊，可得有5個面，依據(jù)正方體的展開圖可得答案；（2）根據(jù)正方體的表面展開圖的特征，得出答案；（3）根據(jù)題意，紙盒的底面是邊長為20?2xcm【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，圖1中的C圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒，故答案為：C；（2）解：根據(jù)題意可得，與“達(dá)”字相對的字是“?！保蚀鸢笧椋罕?；（3）解：依題意，這個紙盒的底面周長為4×答：這個紙盒的底面周長為80?8xcm8．（24-25七年級上·河北張家口·期中）如圖1，一個不透明小立方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．(1)若其展開圖如圖2所示，則：與數(shù)字“1”相對的面上的數(shù)字是________，與數(shù)字“2”相對的面上的數(shù)字是________，與數(shù)字“3”相對的面上的數(shù)字是________；(2)將三個同樣的小立方體搭成圖3所示的幾何體，請確定該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為多少？【答案】(1)4，6，5(2)32【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可得答案；（2）分別求出最右邊的正方體、最上邊的正方體、左下角的正方體所能看到的數(shù)字之和最小的情況即可．【詳解】（1）解：根據(jù)正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“1”與“4”，“2”與“6”，“3”與“5”是對面，故答案為：4，6，5；（2）由（1）知“1”與“4”，“2”與“6”，“3”與“5”相對，要使圖3中的幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，最右邊的那個正方體所能看到的4個面的數(shù)字為1、4、2、3，最上邊的那個正方體所能看到的5個面的數(shù)字為1、2、3、4、5，左下角的那個正方體所能看到的3個面的數(shù)字為1、4、2，所以該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為10+15+7=32．【考點3】與幾何體展開圖有關(guān)的計算9．（24-25七年級上·廣東佛山·期中）如圖是一個用硬紙板制作的長方體包裝盒展開圖，已知它的底面形狀是正方形，高為12?cm(1)正方形底面的邊長是厘米，(2)制作這樣的包裝盒需要多少平方厘米的硬紙板？(3)若1平方米硬紙板價格為5元．則制作12個這樣包裝盒需花費多少錢？（不考慮邊角損耗）【答案】(1)5(2)290(3)1.74元【分析】（1）由長方體包裝盒的展開圖即可直接求出正方形底面的邊長；（2）根據(jù)“表面積=2個底面面積+4個側(cè)面面積”計算即可得出答案；（3）根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】（1）解：由長方體包裝盒的展開圖可知，其正方形底面的邊長是：17cm故答案為：5；（2）解：根據(jù)題意，制作一個這樣的包裝盒需要的硬紙板的面積為：5×5×2+12×5×4=290cm答：制作一個這樣的包裝盒需要290平方厘米的硬紙板；（3）解：12×290÷10000×5=1.74（元），答：制作12個這樣的包裝盒需花費1.74元．【點睛】本題主要考查了幾何體展開圖的認(rèn)識，有理數(shù)的減法運算，由展開圖計算幾何體的表面積，有理數(shù)四則混合運算，有理數(shù)乘除混合運算等知識點，正確地計算出長方體的表面積是解題的關(guān)鍵．10．（24-25七年級上·江西撫州·期中）如圖所示是一個幾何體的表面展開圖．(1)該幾何體的名稱是______，其底面半徑為______；(2)根據(jù)圖中所給信息，求該幾何體的表面積和體積（結(jié)果保留π）．【答案】(1)圓柱；1(2)表面積為8π；體積為3【分析】本題主要考查了幾何體的展開圖；（1）依據(jù)展開圖中有長方形和兩個全等的圓，即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)圓柱的表面積和體積計算公式，即可得到該幾何體的側(cè)面積和體積．【詳解】（1）解：該幾何體的名稱是圓柱，其底面半徑為1，故答案為：圓柱；1；（2）該幾何體的表面積為2該幾何體的體積=π11．（24-25七年級上·陜西西安·期中）一個無蓋的長方體包裝盒展開后如圖所示．(1)折疊后與長方體的頂點A重合的點是______；(2)如圖：EB=10cm，F(xiàn)M=14cm，【答案】(1)J(2)240【分析】本題主要考查長方體的展開圖和體積計算，（1）根據(jù)長方體的展開和折疊圖可知線段AB和線段JB重合，即可知重合點；（2）利用已知求得長方體對應(yīng)的長、寬和高，結(jié)合體積公式即可求得體積．【詳解】（1）解：折疊后線段AB和線段JB重合，則點A和點J重合，故答案為：J；（2）解：∵EB=10cm，F(xiàn)M=14∴CM=FM?EB=4，由題意得CM=FD=EA=BK=4，則AB=JB=EB?EA=6，∵NM=16cm∴BC=MK=MN?NK=MN?JB=10，則長方體包裝盒的體積BC×AB×CM=10×6×4=240cm12．（24-25七年級上·江西吉安·期中）問題情景：某綜合實踐小組開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動．(1)下列圖形中，是無蓋正方體的表面展開圖的是________．（填序號）(2)綜合實踐小組利用邊長為a(cm)的正方形紙板制作出兩種不同方案的長方體盒子（圖1為無蓋的長方體紙盒，圖2為有蓋的長方體紙盒）．其中a=30cm①根據(jù)圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子．方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為b(cm)的小正方形，再沿虛線折合起來．則長方體紙盒的底面積為_______②根據(jù)圖2方式制作一個有蓋的長方體紙盒．方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為b(cm)的小正方形和兩個同樣大小在的小長方形，再沿虛線折合起來．則該長方體紙盒的體積為_______③制作成的無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的______倍．(3)若有蓋長方體的長、寬、高分別為6、4、3，將它的表面沿某些棱剪開，展開一個平面圖形，則該長方體表面展開圖的最大外圍周長為______cm．【答案】(1)①③④(2)①400；②1000；③2(3)70【分析】（1）根據(jù)無蓋正方體紙盒的面數(shù)和構(gòu)成求解；（2）①根據(jù)長方形面積公式即可得解；②根據(jù)長方體的體積公式即可得解；③分別求出無蓋盒子的體積和有蓋盒子體積，即可求解；（3）根據(jù)邊長最長的都剪，邊長最短的剪得最少，可得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)構(gòu)成，②只能折成4個面，①③④才能折成一個無蓋正方體紙盒，故選：①③④；（2）①長方體紙盒的底面面積為a?2b2∴長方體紙盒的底面積為400cm2故答案為：400；②長方體紙盒的底面積為30?2×52∴該長方體紙盒的體積為5×200=1000cm故答案為：1000；③無蓋盒子的體積：5×400=2000cm有蓋盒子的體積：1000cm∵2000÷1000=2，∴制作成的無蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的2倍，故答案為：2；（3）如圖所示，∴該長方體表面展開圖的最大外圍周長為6×8+4×4+3×2=70cm故答案為：70；【點睛】本題考查簡單幾何體的展開圖，熟練根據(jù)簡單幾何的展開圖得出長方體的長寬高是解題的關(guān)鍵．【考點4】平面幾何體旋轉(zhuǎn)后得到的立體圖形13．（24-25七年級上·江西九江·階段練習(xí)）課本重現(xiàn)：如圖，已知長方形的長為a、寬為b，將這個長方形分別繞它的長和寬所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個圓柱甲、乙(1)甲乙圓柱體形成的過程可以解釋為________A．點動成線

B．線動成面

C．面動成體(2)當(dāng)a=5，b=2時①通過計算比較甲、乙圓柱體的側(cè)面積的大小關(guān)系②求甲圓柱體與乙圓柱體的體積比(3)請直接寫出甲、乙圓柱體的側(cè)面積有什么關(guān)系，體積比有什么關(guān)系？（用字母a和b表示）【答案】(1)C(2)①側(cè)面積相等

②體積比為2(3)側(cè)面積相等；體積比為b【分析】此題考查了點、線、面、體之間的關(guān)系以及圓柱的側(cè)面積和體積公式，掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平面旋轉(zhuǎn)后得到圓柱體即可知道是面動成體；（2）①分別計算出甲、乙圓柱體的側(cè)面積，然后比較大小即可；②分別計算出甲、乙圓柱體的體積，求出其比值即可；（3）根據(jù)（2）計算的結(jié)果得出甲、乙圓柱體側(cè)面積的關(guān)系以及體積比的關(guān)系．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：甲乙圓柱體形成的過程可以解釋為面動成體，故選：C；（2）解：①甲圓柱的側(cè)面積為：2π乙圓柱的側(cè)面積為：2π所以甲乙兩圓柱的側(cè)面積相等；②甲圓柱的體積為：π×乙圓柱的體積為：π×所以甲乙兩圓柱的體積比為：20π50π（3）解：由（2）知甲、乙圓柱體的側(cè)面積相等，體積比=π14．（24-25七年級上·全國·期中）如圖，第一行的圖形繞虛線轉(zhuǎn)一周，能形成第二行的哪個幾何體？用線連起來．【答案】見解析【分析】本題考查了點、線、面、體，根據(jù)面動成體：梯形繞底邊旋轉(zhuǎn)得中間圓柱、上下圓錐，半圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得球，矩形繞邊旋轉(zhuǎn)得圓柱，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)得圓錐，可得答案．【詳解】解：第一行的圖形繞虛線轉(zhuǎn)一周，能形成第二行的某個幾何體，用線連起來為：．15．（24-25七年級上·甘肅蘭州·期中）小軍和小紅分別以直角梯形的上底和下底為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到的兩個立體圖形．我們旋轉(zhuǎn)的平面圖形是完全一樣的，所以旋轉(zhuǎn)后得到的兩個立體圖形的體積相等．(1)小紅得到的立體圖形可以看成是由_______和_______構(gòu)成的，這個現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識解釋為_______(2)你認(rèn)為誰的說法正確？請通過計算說明理由．【答案】(1)圓錐；圓柱；面動成體(2)小紅的說法正確，理由見解析【分析】本題主要考查了圓柱和圓錐的體積計算，面動成體：（1）由題意得，小紅得到的立體圖形可以看成是由圓錐和圓柱構(gòu)成的，這個現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識解釋為面動成體；（2）根據(jù)圓柱和圓錐的體積計算公式分別計算出甲、乙兩個立體圖形的體積即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，小紅得到的立體圖形可以看成是由圓錐和圓柱構(gòu)成的，這個現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識解釋為面動成體，故答案為：圓錐；圓柱；面動成體；（2）解：小紅的說法正確，理由如下：甲的體積為3×3×π×6?1乙的體積為3×3×π×3+1∴甲、乙兩個立體圖形的體積不相等，∴小紅的說法正確．16．（24-25七年級上·全國·單元測試）小明學(xué)習(xí)了“面動成體”之后，他用一個邊長分別為6cm，8cm和10cm

(1)繞6cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖______；繞8cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖______；繞10cm(2)請計算圖①和圖②中幾何體的體積．（結(jié)果保留π，圓錐體積=13×【答案】(1)①，②，③(2)題圖①中幾何體的體積為128πcm3；題圖②中幾何體的體積為【分析】本題考查了點、線、面、體，熟練掌握三角形旋轉(zhuǎn)得到圓錐，是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)是圓錐，可得幾何體；（2）根據(jù)圓錐的體積公式計算可得答案．【詳解】（1）解：繞6cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖①；繞8cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖②；繞10cm故答案為：①，②，③（2）解：題圖①中幾何體的體積為：13題圖②中幾何體的體積為：1317．（23-24七年級上·河南鄭州·期中）（1）把圖中各幾何體的截面形狀填在橫線上；

圖①的截面形狀是，圖②的截面形狀是，圖③的截面形狀是，圖④的截面形狀是，圖⑤的截面形狀是，圖⑥的截面形狀是．（2）結(jié)合上圖中圖⑤、圖⑥，想一想，如果用一個平面截一個正方體，截面的形狀還可能是幾邊形？【答案】（1）圓，長方形，三角形，圓，長方形，三角形；（2）五邊形，六邊形【分析】此題考查判斷幾何體的名稱以及截面形狀．（1）首先觀察圖形，先判斷出各個幾何體的名稱，然后根據(jù)平面截幾何體的方向和角度，判斷出截面的形狀；（2）正方體共有六個面，故用平面截一個正方體時，最多與六個面都相交，此時截面為六邊形，最少與三個面相交，此時為三角形，因此，截面圖形的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形．【詳解】解：（1）圖①的截面形狀是圓，圖②的截面形狀是長方形，圖③的截面形狀是三角形，圖④的截面形狀是圓，圖⑤的截面形狀是長方形，圖⑥的截面形狀是三角形．故答案為：圓，長方形，三角形，圓，長方形，三角形；（2）正方體共有六個面，故用平面截一個正方體時，最多與六個面都相交，此時截面為六邊形，最少與三個面相交，此時為三角形，因此，截面圖形的形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形．∴如果用一個平面截一個正方體，截面的形狀還可能是五邊形、六邊形．【考點5】截一個立體圖形可能出現(xiàn)的圖形18．（22-23七年級上·河南平頂山·期中）用一個平面去截一個正方體，請你畫出三種不同的截面情況．【答案】見解析（答案不唯一）【分析】此題主要考查了正方體的特點，分別畫出截面為三角形、四邊形、五邊形，理解題意，分別準(zhǔn)確地畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體的特點，及截面的形狀為三角形、四邊形、五邊形分別畫出圖形即可．【詳解】解：沿上底的對角線AB斜切至棱EF的中點，得到的截面三角形；如圖所示（答案不唯一）；解：沿上底的對角線直切至下底的對角線，得到的截面為四邊形；如圖所示（答案不唯一）；解：沿上底相鄰兩邊上的點F、G至下底頂點D，得到的截面DEFGJ為五邊形；如圖所示（答案不唯一）；【考點6】畫直線、射線、線段19．（20-21七年級上·廣西玉林·期末）如圖，已知A，B，C，D四點，根據(jù)下列語句畫圖：(1)畫直線AB；(2)連接AC，BD，交于點O；(3)畫射線AD，BC，交于點P．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查畫直線，射線和線段，掌握直線，射線和線段的定義，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)直線的定義，畫圖即可；（2）畫出線段AC，BD，交于點O即可；（3）根據(jù)射線的定義，畫圖即可．【詳解】（1）解：如圖，直線AB即為所求；（2）如圖，AC，BD，點O即為所求；（3）如圖，射線AD，BC，點P即為所求．20．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如下圖，在平面內(nèi)有A,B,C三點．

(1)畫直線AC，線段BC和射線AB；(2)在線段BC上任取一點D（不同于點B,C），連接線段AD；(3)此時圖中有幾條線段？【答案】(1)見解析(2)見解析(3)有6條線段【分析】此題考查了直線、線段、射線，解題的關(guān)鍵熟知概念并會畫圖．（1）根據(jù)條件畫圖即可．（2）根據(jù)已知條件畫圖即可．（3）根據(jù)圖，數(shù)出線段條數(shù)即可．【詳解】（1）解：如圖，直線AC，線段BC和射線AB即為所求．

（2）解：如圖，線段AD即為所求．（3）解：由題可得，圖中有線段AB,AC,AD,BC,BD,CD，一共6條．所以圖中線段的條數(shù)為6．【考點7】計算直線、射線與線段的數(shù)量21．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）閱讀：在直線上有n個不同的點，則共有多少條線段？通過分析、畫圖得如下表格：圖形直線上點的個數(shù)共有線段的條數(shù)兩者關(guān)系210+1=330+1+2=460+1+2+3=…………

n問題：(1)把表格補(bǔ)充完整；(2)根據(jù)上述得到的信息解決下列問題：①某學(xué)校七年級共有6個班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行多少場？②乘火車從A站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個車站方可到達(dá)B站，那么在A，B兩站之間需要安排多少種不同的車票？【答案】(1)n(n?1)2；(2)①15場；②132元【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到一條線段上有n個點，可以得到n(n?1)2（1）根據(jù)表格中的等式，得到以這些點為端點的線段總數(shù)共有0+1+2+3+?+(n?1)=n(n?1)（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：從左到右依次為n(n?1)2；0+1+2+3+?+(n?1)=故答案為：n(n?1)2，0+1+2+3+?+(n?1)=（2）①把每一個班級看作一個點，則該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行6×(6?1)2②由題意可得一共有12個車站，將其看作12個點，則線段的條數(shù)為12×112因為有起點站和終點站之分，所以需要安排2×66=132種車票．22．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖：(1)試驗觀察：如果經(jīng)過兩點畫直線，那么圖①中最多可以畫條直線；圖②中最多可以畫條直線；圖③中最多可以畫條直線．(2)探索歸納：如果平面上有n(n≥3)個點，且任意3個點均不在一條直線上，那么經(jīng)過兩點最多可以畫條直線．（用含n的式子表示）．(3)解決問題：某班54名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握1次手問好，那么共握次手．【答案】(1)3，6，10(2)n(3)1431【分析】（1）根據(jù)圖形畫出直線即可；（2）根據(jù)上面得到的規(guī)律用代數(shù)式表示即可；（3）將n=54代入公式即可求解．本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)地觀察圖形并找到其中的規(guī)律．【詳解】（1）解：根據(jù)圖形得：如果經(jīng)過兩點畫直線，那么圖①中最多可以畫3條直線；圖②中最多可以畫6條直線；圖③中最多可以畫10條直線；故答案為：3，6，10；（2）解：如果平面上有n(n≥3)個點，且任意3個點均不在一條直線上，∴1+2+3+……+n?1=n(n?1)那么經(jīng)過兩點最多可以畫n(n?1)2故答案為：n(n?1)2（3）解：某班名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握1次手問好，那么共握n?1n把n=54代入n?1n2，得故答案為：1431.23．（23-24七年級下·河南南陽·開學(xué)考試）我們知道，兩條直線相交，最多有1個交點（如圖①）；三條直線兩兩相交，最多有3個交點（如圖②）；四條直線兩兩相交，最多有6個交點（如圖③）；五條直線兩兩相交，最多有多少個交點（如圖④）；六條直線兩兩相交，最多有多少個交點……n條直線兩兩相交，最多有多少個交點呢（用含n的代數(shù)式表示）：(1)完成下表直線數(shù)23456…n交點數(shù)136…(2)在實際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有12個班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？【答案】(1)10；15；1(2)這一輪要進(jìn)行66場比賽【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，5條直線相交最多有10個交點．6條直線相交最多有15個交點，而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（把每個班作為一個點,進(jìn)行一場比賽就是用線把兩個點連接,用此方法即可.【詳解】（1）解：①兩條直線相交最多有1個交點：1=2×②三條直線相交最多有3個交點：3=3×③四條直線相交最多有6個交點：6=4×④五條直線相交最多有10個交點：10=5×⑤六條直線相交最多有15個交點：15=…n條直線相交最多有n×n?1故答案為：10；15；1（2）解：該類問題符合上述規(guī)律，所以可將n=12代入12即12故這一輪要進(jìn)行66場比賽【考點8】與線段中點有關(guān)的計算24．（22-23七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，已知B，C兩點把線段AD分成2:5:3三部分，M為AD的中點，BM=6cm，求CM【答案】4【分析】本題主要考查了線段的和差，中點的定義，先根據(jù)題意設(shè)可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，CD=3x?cm，即可表示AD，再根據(jù)中點的定義表示出AM，進(jìn)而表示出BM=AM?AB，再結(jié)合BM【詳解】解：由B，C兩點把線段AD分成2:5:3三部分，可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，所以AD=AB+BC+CD=10x?cm因為M是AD的中點，所以AM=MD=1所以BM=AM?AB=3x?cm因為BM=6?cm所以3x=6，解得x=2，所以CM=MD?CD=5x?3x=2x=2×2=4cm25．（23-24七年級上·四川自貢·期末）如圖，A，B，C，D是直線l上的四個點，M，N分別是AB，CD的中點．(1)如果MB=2cm，NC=1.8cm，BC=5cm，則AD(2)如果MN=10cm，BC=6cm，則AD的長為___________(3)如果MN=a，BC=b，求AD的長，并說明理由．【答案】(1)12.6；(2)14；(3)2a?b，見解析．【分析】（1）根據(jù)線段的和，可得MB+CN的長，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與CN的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；（2）先根據(jù)線段的和與差，計算出BM+CN的長，再根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與CN的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；（3）根據(jù)（2）的解題過程，即可解答；此題主要考查了線段中點的定義，線段的計算，理解線段中點的定義，熟練掌握線段的計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵M(jìn)B=2cm，NC=1.8∴MB+NC=3.8cm∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6cm故答案為：12.6；（2）解：∵M(jìn)N=10cm，BC=6∴BM+CN=MN?BC=10?6=4cm∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=8+6=14cm故答案為：14；（3）解：∵M(jìn)N=a，BC=b，∴BM+CN=a?b，∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AB+CD=2a?b∵AD=AB+CD+BC，∴AD=2a?b26．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）已知點C在線段AB上，AC=2BC，線段DE在直線AB上移動（點D，E不與點A，B重合）．(1)若AB=24，求AC和BC的長；(2)若AB=15，DE=6，線段DE在線段AB上移動，且點D在點E的左側(cè)．①如圖，當(dāng)點E為BC中點時，求AD的長；②點F（不與點A，B，C重合）在線段AB上，AF=3AD，CF=3，求AE的長．【答案】(1)BC=8，AC=16(2)①6.5；②313或25【分析】本題考查了線段的和差，線段中點以及倍數(shù)相關(guān)的計算．掌握線段和差的計算，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）觀察圖形可知，AB=AC+BC=24，由已知AC=2BC，可得出3BC=24，即可求出BC的長，進(jìn)而得出AC的長；（2）①根據(jù)題意，畫出圖形，同（1）方法求出BC=5，AC=10，，根據(jù)點E是BC的中點，可得出CE=12BC=52②根據(jù)題意，分兩種情況，畫出圖形，（i）當(dāng)點F在點C左側(cè)時，（ii）當(dāng)點F在點C的右側(cè)時，利用線段的和差倍分計算即可．【詳解】（1）解：如圖所示，已知點C在AB上，AC=2BC．∵AB=24，AC+BC=AB，AC=2BC，∴2BC+BC=24，即3BC=24，∴BC=8，∴AC=2×8=16；（2）解：①如圖所示．∵AB=15，AC=2BC，∴AB=AC+BC=3BC=15，∴BC=5，AC=10，∵點E為BC的中點，∴CE=1∵DE=6，∴CD=DE?CE=6?5∴AD=AC?CD=10?3.5=6.5；②分兩種情況：（i）如圖1所示，當(dāng)點F在點C右側(cè)時，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC+CF=10+3=13，∵AF=3AD，∴AD=1∵DE=6，∴AE=AD=DE=13（ii）如圖2所示，當(dāng)點F在點C左側(cè)時，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC?CF=10?3=7，∵AF=3AD，∴AD=1∴AE=AD+DE=7綜上所述，AE的長為313或253【考點9】線段雙中點模型27．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知線段AB=60，點C為線段AB的中點，點D為射線CB上的一點，點E為線段BD的中點，且線段EB=5，求線段CD的長．【答案】CD=20或40【分析】此題考查了線段中點的相關(guān)計算和線段的和差等知識．根據(jù)中點的定義求出BC=12AB=30，BD=2EB=10，再分點D在點B的左側(cè)和點D【詳解】解：∵AB=60，C是AB的中點，∴BC=1又∵E為BD的中點，EB=5，∴BD=2EB=10，當(dāng)點D在點B的左側(cè)時，CD=CB?BD=30?10=20；當(dāng)點D在點B的右側(cè)時，CD=CB+BD=30+10=40，故CD=20或40．28．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知線段AB=4，在直線AB上作線段BC，使得BC=2．若D是線段AC的中點，求線段AD的長．【答案】3或1【分析】根據(jù)題意可分為兩種情況，①點C在線段AB上，可計算出AC的長，再由D是線段AC的中點，即可得出答案；②BC在線段AB的延長線上，可計算出AC的長，再由D是線段AC的中點，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意分兩種情況，①如圖1，∵AB=4，BC=2，∴AC=AB?BC=2，∵D是線段AC的中點，∴AD=1②如圖2，∵AB=4，BC=2，∴AC=AB+BC=6，∵D是線段AC的中點，∴AD=1∴線段AD的長為1或3．故答案為：3或1．29．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知A，B，C三點在同一條直線上，若線段AB=20cm，線段BC=8cm，M，N分別為線段(1)求線段MN的長；(2)根據(jù)（1）中的計算過程和結(jié)果，設(shè)AB=a,BC=b，且a>b，其他條件都不變，直接寫出MN的長度．【答案】(1)6cm或(2)MN=12【分析】本題考查與線段中點有關(guān)的計算，注意分類討論：（1）分點C在線段AB上和在線段AB的延長線上兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（2）同法（1）進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)點C在線段AB上時：∵M(jìn)，N分別為線段AB,BC的中點，∴AM=BM=12AB∴MN=BM?BN=1當(dāng)點C在線段AB的延長線上時：∵M(jìn)，N分別為線段AB,BC的中點，∴AM=BM=12AB∴MN=BM+BN=1綜上：MN=6cm或14（2）解：當(dāng)點C在線段AB上時：∵M(jìn)，N分別為線段AB,BC的中點，∴AM=BM=12AB∴MN=BM?BN=1當(dāng)點C在線段AB的延長線上時：∵M(jìn)，N分別為線段AB,BC的中點，∴AM=BM=12AB∴MN=BM+BN=1綜上：MN=12(a+b)【考點10】與線段有關(guān)的動點問題30．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，線段AB=24，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，點M為AP的中點，設(shè)點P運動的時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示PB的長(2)當(dāng)點P在射線AB上運動時，出發(fā)多少秒后PB=2AM？(3)當(dāng)點P在線段AB的延長線上運動時，點N為BP的中點，有下列結(jié)論：①MN的長度不變；②MA+PN的值不變．其中正確的結(jié)論是__________，請求出其值．【答案】(1)24?2t或2t?24；(2)當(dāng)點P在射線AB上運動時，出發(fā)6秒后PB=2AM；(3)①，12．【分析】本題考查了線段中點以及線段的和差，一元一次方程的應(yīng)用，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．（1）先表示出AP=2t，再根據(jù)點P的位置分別表示出PB的長即可；（2）根據(jù)題意得AM=12AP=t（3）當(dāng)點P在線段AB的延長線上運動時，根據(jù)線段中點，得到AM=12AP=t【詳解】（1）解：設(shè)點P運動的時間為t秒，則AP=2t，當(dāng)點P在線段AB上時，PB=AB?AP=24?2t，當(dāng)點P在AB的延長線上時，PB=AP?AB=2t?24，綜上可知，PB的長為24?2t或2t?24；（2）解：∵AP=2t，點M為AP的中點，∴AM=1①當(dāng)點P在線段AB上時，此時0<t<12，PB=24?2t，∵PB=2AM，∴24?2t=2t，∴t=6；②當(dāng)點P在AB的延長線上時，此時t>12，PB=2t?24，∵PB=2AM∴2t?24=2t，此方程無解；即當(dāng)點P在射線AB上運動時，出發(fā)6秒后PB=2AM；（3）解：當(dāng)點P在線段AB的延長線上運動時，∵AP=2t，PB=2t?24，∵點M為AP的中點，點N為BP的中點，∴AM=12AP=t∴AN=AB+BN=24+t?12=t+12，∴MN=AN?AM=t+12?t=12，∴MN的長度不變，①結(jié)論正確；∵M(jìn)A=t，PN=1∴MA+PN=t+t?12=2t?12，∴MA+PN的值是變的，②結(jié)論錯誤．31．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．（1）線段的中點______這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；（2）若AB=12cm，點C是線段AB的巧點，則AC最長為______cm【解決問題】（3）如圖②，已知AB=12cm，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為ts．當(dāng)t為何值時，P為【答案】（1）是；（2）8；（3）當(dāng)t為3s或127s或125s時，P【分析】本題考查了線段的相關(guān)計算，與線段有關(guān)的動點問題，一元一次方程的應(yīng)用．（1）根據(jù)“巧點”的定義解答即可；（2）點C為線段AB的巧點，則AC最長時，滿足AC=2BC，即AC=2（3）根據(jù)“巧點”的定義，分為AP=2PQ或PQ=2AP或AP=PQ，三種情況，分別計算即可求解．【詳解】（1）解：∵點C在線段AB上，點C為線段AB的中點，∴AB=2AC，∴點C是線段AB的“巧點”，故答案為：是．（2）解：點C在線段AB上，點C為線段AB的巧點，∴則AC最長時，滿足AC=2BC，即AC=2∴AC=8cm故答案為：8．（3）解：t秒后，AP=2t，AQ=12?t，PQ=AQ?AP=12?t?2t=12?3t，∵P為A、Q的巧點∴AP=2PQ或PQ=2AP，或AP=PQ，當(dāng)AP=2PQ時，2t=212?3t解得：t=3，當(dāng)PQ=2AP時，12?3t=2×2t，解得：t=12當(dāng)AP=PQ時，12?3t=2t，解得：t=12∴當(dāng)t為3s或127s或125s時，P32．（22-23七年級上·吉林長春·期末）如圖，點B在線段AC上，且AB=9，BC=3．動點P從點A出發(fā)，沿AC以每秒4個單位長度的速度向終點C勻速運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向終點A勻速運動．設(shè)點Q的運動時間為ts(1)線段AB、BC的中點之間的距離為_______．(2)當(dāng)點P到點C時，求PQ的長．(3)求PQ的長（用含t的代數(shù)式表示）．(4)設(shè)2PQ=AC時，直接寫出t的值．【答案】(1)6(2)6(3)當(dāng)0≤t≤2時，PQ=12?6t；當(dāng)2<t≤3時，PQ=6t?12；當(dāng)3<t≤6時，PQ=2t；(4)t=1或t=3【分析】（1）設(shè)點AB的中點為M，BC的中點為N，分別求出BM和BN的長，再求和即可；（2）先求出當(dāng)P到點C時t的值，再根據(jù)路程=時間×速度可求出；（3）先找到何時P、Q相遇，再分段討論，當(dāng)0≤t≤2時，當(dāng)2<t≤3時，當(dāng)3<t≤6時，分別求出PQ的長即可；（4）根據(jù)（3）中求出PQ的長，利用2PQ=AC列方程，求出t的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)點AB的中點為M，BC的中點為N，∵AB=9，BC=3，∴BM=12AB=4.5∴MN=BM+BN=4.5+1.5=6；（2）解：∵AB=9，BC=3∴AC=AB+BC=12∵動點P從點A出發(fā)，沿AC以每秒4個單位長度的速度向終點C勻速運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向終點A勻速運動∴當(dāng)P到點C時，t=12÷4=3，∴PQ=2×3=6；（3）解：當(dāng)點P、Q相遇時，t=12÷4+2當(dāng)0≤t≤2時，PQ=12?6t；當(dāng)2<t≤3時，PQ=6t?12；當(dāng)3<t≤6時，PQ=2t；（4）解：當(dāng)0≤t≤2時，212?6t=12，解得當(dāng)2<t≤3時，26t?12=12，解得當(dāng)3<t≤6時，2×2t=12，t=3（舍）．∴t=1或t=3．【點睛】本題考查在動點問題的背景下考查線段的和差運算，線段中點的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識，關(guān)鍵是理清點的運動狀態(tài)，找到臨界點．33．（23-24七年級上·江西南昌·期末）已知：如圖，點M是線段AB上一定點，AB=16cm，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D(1)若AM=6cm，當(dāng)點C、D運動了3s，此時AC=，DM=(2)當(dāng)點C、D運動了3s，求AC+MD(3)若點C、D運動時，總有MD=3AC，則AM=；（直接填空）(4)在（3）的條件下，N是直線AB上一點，且AN?BN=MN，求MNAB【答案】(1)3cm；(2)4(3)4(4)12【分析】本題考查了線段上的動點問題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．（1）先求出CM、BD的長，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出BD與CM的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得MB=3AM，然后根據(jù)AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分點N在線段AB上和點N在線段AB的延長線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，CM=3cm，BD=9∵AB=16cm，AM=6∴BM=10cm∴AC=AM?CM=3cm，DM=BM?BD=1故答案為：3cm；1（2）解：當(dāng)點C、D運動了3s時，CM=3cm，∵AB=16cm∴AC+MD=AM?CM+BM?BD=AB?CM?BD=16?3?9=4cm故答案為：4cm（3）解：根據(jù)C、D的運動速度知：BD=3MC，∵M(jìn)D=3AC，∴BD+MD=3MC+AC，即MB=3AM∵AM+BM=AB，∴AM+3AM＝∴AM=1故答案為：4cm（4）解：①當(dāng)點N在線段AB上時，如圖1，

∵AN?BN=MN，又∵AN?AM=MN∴BN=AM=4cm∴MN=AB?AM?BN=16?4?4=8∴MNAB②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖2，

∵AN?BN=MN，又∵AN?BN=AB，∴MN=AB=16cm∴MNAB綜上所述：MNAB【考點11】角的基礎(chǔ)概念34．（24-25七年級上·全國·期末）分別寫出圖中有多少個角？(1)如圖①，在∠AOD的內(nèi)部從點O引出兩條射線OB，OC，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個角？并寫出來．(2)如圖②，如果在∠AOD的內(nèi)部以點O為端點作n條射線，則圖中一共有多少個角？【答案】(1)共有6個角，它們分別是∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD(2)(n+1)(n+2)2【分析】本題主要考查了角的概念，有理數(shù)的運算等知識點，（1）按照圖示羅列出所有角即可；（2）羅列射線的條數(shù)n與角的個數(shù)，得出規(guī)律即可；在規(guī)律探究時，按規(guī)則羅列一些代數(shù)式能夠發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）共有6個角，它們分別是∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD；（2）如果在∠AOD的內(nèi)部作1條射線，這樣一共有1+2=3（個）角；如果在∠AOD的內(nèi)部作2條射線，一共有1+2+3=6（個）角；如果在∠AOD的內(nèi)部作3條射線，一共有1+2+3+4=10（個）角；……以此類推；如果在∠AOD的內(nèi)部以點O為端點作n條射線，一共有1+2+3+…+n+n+135．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）請將圖中的角用不同方法表示出來，并填寫下表：∠ABE__________________________________∠1∠2∠3【答案】見解析【分析】本題考查了角的表示方法．根據(jù)角的表示方法分析即可，角的兩個基本元素中，邊是兩條射線，頂點是這兩條射線的公共端點．是同一個角必須滿足頂點相同，角的兩邊必須分別是指同一條射線．【詳解】解：填表如下：∠ABE∠ABC∠ACB∠ACF∠α∠1∠2∠3【考點12】鐘面角36．（24-25七年級上·全國·期末）（1）1時20分時，時鐘的時針與分針的夾角是多少度？2時15分時，時鐘的時針與分針的夾角又是多少度？（2）從1時15分到1時35分，時鐘的分針與時針各轉(zhuǎn)過了多少度？（3）時鐘的分針從4時整的位置起，按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度時與時針第1次重合？【答案】（1）1時20分時，時針與分針的夾角是80°，2時15分時，時針與分針的夾角是22.5°；（2）分針轉(zhuǎn)過的角度是120°，時針轉(zhuǎn)過的角度是10°；（3）分針按順時針旋轉(zhuǎn)144011【分析】（1）根據(jù)分針每分鐘走1小格，時針每分鐘走112（2）根據(jù)鐘表分針和時針每走一分鐘度數(shù)即可求解；（3）設(shè)經(jīng)過xmin分針可與時針第1次重合（即追上時針），根據(jù)題意列出方程360本題考查了鐘表分針和時針?biāo)D(zhuǎn)過的角度計算，一元一次方程的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）因為分針每分鐘走1小格，時針每分鐘走112所以1時20分時，時針與分針的夾角是20?5+2時15分時，時針與分針的夾角是15?10+（2）從1時15分到1時35分，，經(jīng)過了20min所以分針轉(zhuǎn)過的角度是20×360°時針轉(zhuǎn)過的角度是20×1（3）設(shè)經(jīng)過xmin分針可與時針第1因為4時整時針與分針的夾角是120°，所以列方程得36060解得x=240所以36060所以分針按順時針旋轉(zhuǎn)14401137．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，觀察時鐘，解答下列問題：(1)在2時和3時之間，什么時刻時針和分針的夾角為直角？(2)小明下午5時多有事外出時，看到墻上鐘面的時針和分針的夾角為90°，下午不到6時回家時，發(fā)現(xiàn)時針和分針的夾角又為90°，那么小明外出了多長時間？【答案】(1)在2時273(2)328【分析】本題考查應(yīng)用類問題，鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動1°，時針轉(zhuǎn)動112（1）在2點整時，時針與分針恰成60°，分針指著12，時針指著2，分針每分鐘運動速度為6°，時針每分鐘運動速度為6°×112=0.5°，設(shè)分針運動x分鐘，根據(jù)所行路程差為150°（2）設(shè)5時y分鐘時，時針與分針夾角為90°，分兩種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)分針運動a分鐘，時針和分針的夾角為直角，由題意得6a?0.5a=60°+90°，或6a?0.5a=60°+90°+180°解得：a=27311或答：在2時273（2）解：設(shè)5時y分鐘時，時針與分針夾角為90°，則由題意得：150°+0.5y?6y=90°或6y?解得：y=12011或∴48011?120答：小明外出了32838．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）鐘面上的數(shù)學(xué)基本概念：鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕牵鐖D1，∠AOB即為某一時刻的鐘面角，通常0°≤∠AOB≤180°[簡單認(rèn)識]時針和分針在繞點O一直沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)，時針每小時轉(zhuǎn)動的角度是30°，分針每小時轉(zhuǎn)動一周，角度為360°．由此可知：（1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動°：[初步研究]（2）已知某一時刻的鐘面角的度數(shù)為α，在空格中寫出一個與之對應(yīng)的時刻：①當(dāng)α=90°時，；②當(dāng)α=180°時，；（3）如圖2，鐘面顯示的時間是8點04分，此時鐘面角∠AOB=．[深入思考]（4）在某一天的下午2點到3點之間（不包括2點整和3點整）．①時針恰好與分針重疊，則這一時刻是；時針恰好與分針垂直，求此時對應(yīng)的時刻是；②記鐘面上刻度為3的點為C，當(dāng)鐘面角的兩條邊OA、OB所在射線與射線OC中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，請直接寫出此時對應(yīng)的時刻．【答案】（1）0.5；6；（2）3：00答案不唯一；②6：00答不唯一案；（3）142°；（4）①2點12011分；2點300【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，鐘面角．（1）根據(jù)1小時=60分解答即可；（2）鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，找到時針和分針相隔3個數(shù)字的時刻和相隔6個數(shù)字的時刻即可；（3）鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間有5格，鐘表上8點04分，時針轉(zhuǎn)了60×8+4格，分針指向4，根據(jù)時針和分針的速度即可求解；（4）①設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點x分，根據(jù)時針和分針轉(zhuǎn)動的角度相同即可求解；②令時針?biāo)谥本€為OA，分針?biāo)谥本€為OB，分兩種情況求解即可．【詳解】解：（1）∵時針每小時轉(zhuǎn)動的角度是30°，分針每小時轉(zhuǎn)動一周，角度為360°．∴時針每分鐘轉(zhuǎn)動30°÷60=0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動360°÷60=6°，故答案為：0.5；6；（2）①某個時刻的鐘面角α為90°，可為3：00或9：00，②某個時刻的鐘面角α為故答案為：①3：00或9：（3）鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間有5格，鐘表上8點04分，時針轉(zhuǎn)了60×8+4格，分針指向4，則時針轉(zhuǎn)動的角度是60×8+4×0.5°=242°，分針轉(zhuǎn)動的角度是6°×4=24°此時鐘面角∠AOB=242°?24°=218°，∵0°≤∠AOB≤180°，∴∠AOB=360°?218°=142°，故答案為：142°；（4）①時針恰好與分針重疊：設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點x分，根據(jù)題意得，60+0.5x=6x，解得，x=120∴這一時刻是2點12011故答案為：2點12011時針恰好與分針垂直：設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點y分，則有：6x?60?0.5x=90或6x?60?0.5x=270，解得：x=30011或∵x=60時為3點整，不合題意，舍去，∴此時對應(yīng)的時刻是2點30011②令時針?biāo)谥本€為OA，分針?biāo)谥本€為OB，設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點m分，OA為OC和OB角平分線時：90?6m2解得：m=6；OC為OA和OB角平分線時：90?60?0.5m=6m?90，解得：m=240OA為時針，OB為分針，OB平分∠AOC時：∠BOC=90?6m，∠AOC=30?0.5m，∵OB平分∠AOC，∴∠AOC=2∠BOC，∴30?0.5m=290?6m解得：m=300答：當(dāng)鐘面角的兩條邊OA、OB所在射線與射線OC中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，此時對應(yīng)的時刻在2點6分和2點24013分，2點300【考點13】角度的四則運算39．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)153°29(2)42°15(3)62°24(4)180°?34°5【答案】(1)180°1(2)8°2(3)249°3(4)123°3【分析】本題考查角度的運算，熟練掌握度、分、秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．（1）兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度；（2）首先將度轉(zhuǎn)化為分，然后計算除法即可；（3）根據(jù)角度的乘法運算法則求解即可；（4）首先計算括號內(nèi)加法，然后計算減法即可．【詳解】（1）解：153°2=179°6=180°10（2）解：42°1==253=50=8°27（3）解：62°2=248°9=249°37（4）解：180°?=180°?56°2=123°3340．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)89°35(2)123°24【答案】(1)109°5(2)62.8°【分析】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．（1）兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度；（2）先將分都轉(zhuǎn)化為度，再進(jìn)行減法計算，兩個度數(shù)相減時，應(yīng)先算最后一位，后面的位上的數(shù)不夠減是向前一位借數(shù)．【詳解】（1）89°3=109°55（2）123°2=123.4°?60.6°=62.8°．【考點14】與角平分線有關(guān)的計算41．（2024七年級上·江西·專題練習(xí)）已知：如圖，∠AOB=30°，∠COB=20°，OC平分∠AOD．求∠COD的度數(shù)．【答案】50°【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)和平面圖形角度的計算，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得∠AOC=∠AOB+∠COB=50°，根據(jù)OC平分∠AOD，可得∠AOC=∠COD，進(jìn)而求解；【詳解】解：∵∠AOB=30°，∠COB=20°(已知)，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=50°．∵OC平分∠AOD(已知），∴∠AOC=∠COD(角平分線定義）．∴∠COD=50°．42．（22-23七年級上·云南紅河·期末）如圖，點O是直線CE上一點，以O(shè)為頂點作∠AOB=90°，且OA、OB位于直線CE兩側(cè)，OB平分∠COD．(1)當(dāng)∠AOC=70°時，求∠DOE的度數(shù)．(2)請你猜想∠AOC和∠DOE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)140°(2)∠DOE=2∠AOC，理由見解析【分析】本題考查的是角平分線的含義，角的和差運算，熟練的利用角的和差運算進(jìn)行計算與證明是解本題的關(guān)鍵．（1）先求解∠BOC=AOB?∠AOC=20°，再證明∠BOC=∠BOD=20°，結(jié)合∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD，從而可得答案；（2）證明∠AOC=90°?∠BOC，∠BOC=∠BOD，結(jié)合∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD=180°?2∠BOC，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵∠AOB=90°，∠AOC=70°，∴∠BOC=AOB?∠AOC=90°?70°=20°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=20°，∴∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD=180°?20°?20°=140°，∴∠DOE=140°；（2）解：∠DOE=2∠AOC，理由如下：∵∠AOB=90°，∴∠AOC=90°?∠BOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD，∴∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD=180°?2∠BOC=290°?∠BOC=2∠AOC∴∠DOE=2∠AOC．43．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，點O在直線AB上，∠COD=60°，∠AOE=2∠DOE．

(1)若∠BOD=60°，求∠COE的度數(shù)；(2)試猜想∠BOD和∠COE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果________【答案】(1)20°(2)∠BOD=3∠COE【分析】此題主要考查了鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義可得∠AOD=120°，再根據(jù)角平分線的定義可得答案；（2）設(shè)∠COE=x，則∠DOE=60°?x，再利用∠AOE=2∠DOE，然后整理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∵∠AOE=2∠DOE，∴∠DOE=1∴∠COE=∠COD?∠DOE=60°?40°=20°；（2）∠BOD=3∠COE，設(shè)∠COE=x，則∠DOE=60°?x，∵∠AOE=2∠DOE，∴∠AOD=3∠DOE=360°?x∴∠BOD=180°?∠AOD=180°?180°?3x∴∠BOD=3∠COE，故答案為：∠BOD=3∠COE．44．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期末）射線OP在∠MON的內(nèi)部，∠MOP與∠MON的大小之比定義為射線OP的分割值，即∠MOP∠MON=n，n為射線OP與∠MON的“分割值”，記為例如，如圖1，∠AOP=20°，∠AOB=60°，則∠AOP∠AOB=13，即&OP,∠AOB(1)如圖2，射線OC在∠AOB的內(nèi)部．①若射線OC是∠AOB的平分線，則&OC,∠AOB②若∠AOC=50°，∠BOC=20°，則&OC,∠AOB(2)如圖3，∠ACB=120°，∠EDF=80°，射線CP從CA位置開始，繞點C按順時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，同時，射線DQ從DF位置開始，繞點D按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，到達(dá)DE立即原速返回，當(dāng)CP到達(dá)CB時，DQ也停止運動．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．①若射線CP旋轉(zhuǎn)的速度為每秒4°，射線DQ旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，若&CP,∠ACB+&DQ,∠EDF②若當(dāng)CP到達(dá)CB時，DQ也恰好回到DF，若設(shè)&CP,∠ACB=mm>12，請直接【答案】(1)①12；②5(2)①t的值為807或40023，②【分析】本題依托“分割值”主要考查角度之間的數(shù)量關(guān)系和一元一次方程的應(yīng)用：（1）①根據(jù)角平分線的定義以及“分割值”的定義求解即可．②根據(jù)角的和差關(guān)系以及“分割值”的定義求解即可（2）①分兩種情況，根據(jù)&CP,∠ACB②設(shè)若射線CP旋轉(zhuǎn)的速度為每秒α°，射線DQ旋轉(zhuǎn)的速度為每秒β°，根據(jù)題意即可得120α=160β，進(jìn)一步得到αt120=m，有αt120【詳解】（1）解：①∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=12∴&OC,∠AOB故答案為：12②∵∠AOC=50°，∠BOC=20°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°，∴∠AOC∠AOB故答案為：57（2）解：①當(dāng)DQ由DF向DE運動時：∵&∴4t解得：t=80當(dāng)DQ由DE向DF運動時，∵&CP,∠ACB∴4t解得：t=400綜上所述，t的值為807或400②設(shè)若射線CP旋轉(zhuǎn)的速度為每秒α°，射線DQ旋轉(zhuǎn)的速度為每秒β°，∵當(dāng)CP到達(dá)CB時，DQ也恰好回到DF，∴120α∵&CP,∠ACB∴αt120=m，則∴射線DQ旋轉(zhuǎn)的角度為βt=160m，∵m>1∴∠EDQ=160m?80．45．（23-24七年級上·天津·期末）探究題：已知O為直線AD上的一點，以O(shè)為頂點作∠COE=90°，射線OF平分∠AOE．(1)如圖1，若∠DOE=54°，則∠AOC=________．(2)若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，射線OF仍然平分∠AOE，請寫出∠COF與∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，射線OF仍然平分∠AOE,求2∠COF+∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)36°(2)∠DOE=2∠COF，理由見解析(3)360°【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）先由平角的定義求出∠AOE的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠AOC的度數(shù)即可；（2）由角平分線的定義得到∠AOE=2∠EOF，再用∠EOF分別表示出∠COF和∠DOE，據(jù)此可得結(jié)論；（3）先由平角的定義和角平分線的定義得到∠AOE+∠DOC=90°，∠AOE=2∠EOF，再由2∠COF+∠DOE=2∠COE+∠EOF【詳解】（1）解：∵∠DOE=54°，∴∠AOE=180°?54°=126°，∵∠COE=90°，∴∠AOC=∠AOE?∠COE=126°?90°=36°，故答案為：36°；（2）解：∠DOE=2∠COF，理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∵∠AOE+∠DOE=180°，∴∠DOE=180°?∠AOE=180°?2∠EOF，∵∠COE=90°，∴∠COF=90°?∠EOF，∴2∠COF=180°?2∠EOF，∴∠DOE=2∠COF；（3）解：∵∠COE=90°，∴∠AOE+∠DOC=180°?90°=90°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∴2∠COF+∠DOE=2=2∠COE+2∠EOF+90°+∠DOC=180°+∠AOE+90°+∠DOC=180°+90°+90°=360°．【考點15】雙角平分線模型46．（24-25七年級上·遼寧·期末）如圖，已知OC、OD是∠AOB內(nèi)的兩條射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)若∠AOB=132°，∠COD=22°，求∠EOF的度數(shù)；(2)若∠EOF=α，∠COD=β，求∠AOB的度數(shù)．（用含α、β的代數(shù)式表示）【答案】(1)77°(2)2α?β【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）先求出∠AOC+∠BOD的度數(shù)，再由角平分線的定義推出∠COE+∠DOF的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；（2）先求出∠COE+∠DOF的度數(shù)，再由角平分線的定義推出∠AOC+∠BOD的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】（1）解：∵∠AOB=132°，∠COD=22°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB?∠COD=110°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE=1∴∠COE+∠DOF=1∴∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD=77°．（2）解：∵∠EOF=α，∠COD=β，∴∠COE+∠DOF=∠EOF?∠COD=α?β，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOC=2∠COE，∴∠AOC+∠BOD=2∠COE+2∠DOF=2α?2β，∴∠AOB=∠AOC+∠BOD+∠COD=2α?β．47．（23-24七年級上·江西·期末）已知，OC是過點O的一條射線，OD，OE分別平分(1)如圖①，如果射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB=80°，則∠DOE=°；(2)如圖②，如果射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn)，∠AOB=x°，則∠DOE=°；(3)如果射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(zhuǎn)，∠AOB=x°，請借助圖③探究∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)40(2)x(3)x2°【分析】此題考查角平分線的定義，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義解答．（1）根據(jù)角平分線的定義解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義解答即可；（3）分兩種情況，利用角平分線的定義解答即可．【詳解】（1）解：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1故答案為：40；（2）解：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1∴∠DOE=x故答案為：x2（3）解：分兩種情況：①如圖：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD?∠COE=1∴∠DOE=x②如圖：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1∴∠DOE=1綜上所述，∠DOE的度數(shù)為x2°或48．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知：∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=10°，試求∠COF的度數(shù)．【答案】40°或20°【分析】本題主要考查角度的和差計算，角平分線的性質(zhì)，理解題意作圖分析，掌握角平分線的性質(zhì)計算角度的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意作圖，分類討論：當(dāng)∠BOD在∠AOB外部時，可得∠AOB=2∠AOE=60°，則∠AOD=∠COD=∠AOB+∠BOD=70°，∠BOC=∠COD+∠BOD=80°，由OF平分∠BOC，即可求解；當(dāng)∠BOD在∠AOB內(nèi)部時，∠COD=∠AOD=50°，則∠BOC=∠COD?∠BOD=40°，由OF平分∠BOC，即可求解．【詳解】解：第一種情況，如答圖①，∵OE平分∠AOB，∠AOE=30°，∠BOD=10°，∴∠AOD=30°+30°+10°=70°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOD=70°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=70°+10°第二種情況，如