河南省開封市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A B. C. D.2.設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B.內(nèi)有兩條相交直線與平行C.，平行于同一條直線D.，垂直于同一平面3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差4.在一次奧運(yùn)會男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計甲獲得冠軍的概率．先由計算機(jī)模擬產(chǎn)生1~5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時表示甲獲勝，出現(xiàn)4，5時表示乙獲勝．因?yàn)楸荣惒捎昧?局2勝制，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3局的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生以下20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據(jù)此估計所求概率的值為（）A.0.3 B.0.35 C.0.6 D.0.655.已知，，且與的夾角，則（）A.13 B. C.37 D.6.在中，角的對邊分別為，已知，且，，則（）A. B. C. D.7.中，為的中點(diǎn)，與對角線相交于點(diǎn)，記，，用，表示（）A B. C. D.8.在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．已知四面體為鱉臑，且，，記二面角的平面角為θ，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，則下列說法中正確的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果互斥，那么 D.如果互斥，那么10.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.11.如圖，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡向上走到達(dá)處，在處測得山頂?shù)难鼋菫?，則山高（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，在網(wǎng)格中的位置如右圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則______；______．13.已知正方體的內(nèi)切球體積為1，則該正方體的外接球體積為______．14.已知復(fù)數(shù)，，且，則λ的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在一個不透明的盒子中有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球和1個白球，從中隨機(jī)地摸出一個球，觀察其顏色后放回．設(shè)事件“摸球2次出現(xiàn)1次紅球”，“摸球4次出現(xiàn)2次紅球”．（1）分別寫出“摸球2次”和“摸球4次”這兩個試驗(yàn)的樣本空間；（2）猜想和的大小關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想是否正確．16.平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知向量，，，其中．（1）求；（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)．17.有一種魚的身體吸收汞，一定量身體中汞的含量超過其體重的的魚被人食用后，就會對人體產(chǎn)生危害．在一批該魚中隨機(jī)抽取30條作為樣本，檢測其汞含量（乘以百萬分之一）如下：0070.240.950.981.020.981.371.400.391.021.441.580.541.080.610.721.201.141.621.681.851.200.810.820.841.291.262.101.651.31（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，補(bǔ)充完成下列頻率分布直方圖，并分析這30條魚汞含量的分布特點(diǎn)；（2）分別依據(jù)樣本數(shù)據(jù)和（1）中頻率分布直方圖估計這批魚的汞含量的第60百分位數(shù)，得到的結(jié)果完全一致嗎?為什么?（3）將樣本中汞含量最低的兩條魚分別放入相互連通的A、B水池，若這兩條魚的游動相互獨(dú)立，均有的概率游入另一個水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率．18.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面ABCD.（1）證明：平面PCD；（2）若E是棱PA的中點(diǎn)，且平面PCD，，求異面直線BE與PD所成角的余弦值.19.當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)P滿足條件時，稱點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，角θ為的布洛卡角．如圖，在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，記的面積為S，點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為θ．（1）證明：．（2）證明：；（3）若，且，求A及．2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解即可.【詳解】由，可得，故選：A2.設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B.內(nèi)有兩條相交直線與平行C.，平行于同一條直線D.，垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差【答案】A【解析】【分析】可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【詳解】設(shè)9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．【點(diǎn)睛】本題旨在考查學(xué)生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.4.在一次奧運(yùn)會男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計甲獲得冠軍的概率．先由計算機(jī)模擬產(chǎn)生1~5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時表示甲獲勝，出現(xiàn)4，5時表示乙獲勝．因?yàn)楸荣惒捎昧?局2勝制，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3局的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生以下20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據(jù)此估計所求概率的值為（）A.0.3 B.0.35 C.0.6 D.0.65【答案】D【解析】【分析】由20組隨機(jī)數(shù)中先求出甲獲勝的頻數(shù)，從而可求出甲獲勝的頻率，進(jìn)而可得答案【詳解】由題意可知，20組隨機(jī)數(shù)中甲獲勝的有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314有13組，所以甲獲勝的頻率為，所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為，故選：D.5.已知，，且與的夾角，則（）A.13 B. C.37 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得.【詳解】因?yàn)?，，且與的夾角，所以，所以.故選：D6.在中，角的對邊分別為，已知，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理把邊化為角，再用和差公式得，所以，再用余弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理得，，，即，，，，即，，又，.故選：.7.中，為的中點(diǎn)，與對角線相交于點(diǎn)，記，，用，表示（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面幾何的知識得到，即，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得.【詳解】在中，為的中點(diǎn)，與對角線相交于點(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故選：C8.在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．已知四面體為鱉臑，且，，記二面角的平面角為θ，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明二面角的平面角為θ就是，結(jié)合解三角形知識即可求解.【詳解】由題意設(shè)，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)?，，點(diǎn)是等腰直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，平面，平面平面，所以二面角平面角為θ就是，設(shè)，則，，，，從而，所以，又，所以，所以，所以，.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，則下列說法中正確的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果互斥，那么 D.如果互斥，那么【答案】ABC【解析】【分析】對于AB，由可得即可；對于CD，由互斥可得即可.【詳解】對于AB，由可得,所以,故AB正確；對于CD，由互斥可得，所以,故C正確，D錯誤.故選：ABC.10.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由共軛復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)乘法即可判斷；對于B，由復(fù)數(shù)模的計算公式即可判斷；對于CD，由復(fù)數(shù)乘方、復(fù)數(shù)乘法即可判斷.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在山腳測得山頂仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走到達(dá)處，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋瑒t山高（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)所給條件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【詳解】由題意可知，，，，，分別在，中，，，所以，又，，在中，由正弦定理可得，，即，所以，在中，，故A正確，B錯誤；在中，由正弦定理可得，，即，所以，在中，，又，所以，故C正確、D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，在網(wǎng)格中的位置如右圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則______；______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，求出，，的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計算即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示：因?yàn)榫W(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則，，，.故答案為：2；3.13.已知正方體的內(nèi)切球體積為1，則該正方體的外接球體積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體的內(nèi)切球體積計算出正方體邊長，再利用正方體的外接球體積計算得到結(jié)果；【詳解】設(shè)正方體的棱長為，正方體的內(nèi)切球半徑為，正方體的內(nèi)切球體積為，解得，正方體外接球的半徑為，故正方體的外接球體積為．故答案為：．14.已知復(fù)數(shù)，，且，則λ的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等建立關(guān)系，再消去并結(jié)合二次函數(shù)求出范圍即得.【詳解】由，得，消去并整理得，顯然，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以λ的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在一個不透明的盒子中有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球和1個白球，從中隨機(jī)地摸出一個球，觀察其顏色后放回．設(shè)事件“摸球2次出現(xiàn)1次紅球”，“摸球4次出現(xiàn)2次紅球”．（1）分別寫出“摸球2次”和“摸球4次”這兩個試驗(yàn)樣本空間；（2）猜想和的大小關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想是否正確．【答案】（1）答案見解析（2），猜想正確【解析】【分析】（1）根據(jù)樣本空間的定義逐一列舉即可得解；（2）根據(jù)古典概型概率計算公式直接計算即可比較大小.【小問1詳解】用a表示“取出紅球”，b表示“取出白球”，摸球2次，樣本空間為，包含4個等可能的樣本點(diǎn)；摸球4次，樣本空間為，包含16個等能的樣本點(diǎn)；【小問2詳解】猜想應(yīng)該有，，故，，故，根據(jù)古典概型概率計算公式，得，，所以，猜想正確.16.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知向量，，，其中．（1）求；（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先應(yīng)用減法得出向量坐標(biāo)，再應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算得出夾角；（2）根據(jù)坐標(biāo)求出模長，再根據(jù)投影向量公式計算即可.小問1詳解】因?yàn)?，，，又，所以，所以．【小?詳解】，所以，解之得，設(shè)向量和向量的夾角為θ，又，所以向量在向量上的投影向量為：，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為或17.有一種魚的身體吸收汞，一定量身體中汞的含量超過其體重的的魚被人食用后，就會對人體產(chǎn)生危害．在一批該魚中隨機(jī)抽取30條作為樣本，檢測其汞含量（乘以百萬分之一）如下：0.070.240.950.981.020.981.371.400.391.021.441.580.541.080.610.721.201.141.621.681.851.200.810.820.841.291.262.101.651.31（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，補(bǔ)充完成下列頻率分布直方圖，并分析這30條魚的汞含量的分布特點(diǎn)；（2）分別依據(jù)樣本數(shù)據(jù)和（1）中頻率分布直方圖估計這批魚的汞含量的第60百分位數(shù)，得到的結(jié)果完全一致嗎?為什么?（3）將樣本中汞含量最低的兩條魚分別放入相互連通的A、B水池，若這兩條魚的游動相互獨(dú)立，均有的概率游入另一個水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率．【答案】（1）答案見解析；（2），，不一致，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）汞含量在的樣本數(shù)為12，求出頻率即可補(bǔ)充直方圖；（2）分別依據(jù)樣本數(shù)據(jù)和（1）中頻率分布直方圖估計第60百分位數(shù)即可求解；（3）記“兩條魚最終均在A水池”為事件A，記“兩條魚最終均在B水池”為事件B，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求解.【小問1詳解】汞含量在的樣本數(shù)為12，故頻率為,在頻率分布直方圖中對應(yīng)的高為,補(bǔ)充頻率分布直方圖如圖所示：汞含量分布偏向于大于的方向，即多數(shù)魚的汞含量分布在大于的區(qū)域.【小問2詳解】依據(jù)樣本數(shù)據(jù)：由，樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第18，19項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，所以估計這批魚的汞含量的第60百分位數(shù)為；依據(jù)頻率分布直方圖：由，所以估計這批魚的汞含量的第60百分位數(shù)為，兩種方式得到的估計結(jié)果不一致，但相差不大，因?yàn)樵陬l率分布直方圖中已經(jīng)損失了一些樣本信息，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.【小問3詳解】記“兩條魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩條魚最終均在B水池”