湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 含答案

【新結(jié)構(gòu)】2023-2024學(xué)年湖北省咸寧市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則(

)A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(

)A.若，，則

B.若，，則

C.若，，則

D.“直線a，b不相交”是“直線a，b為異面直線”的充分不必要條件4.設(shè)，則關(guān)于x的不等式有解的一個(gè)必要不充分條件是(

)A. B.或 C. D.5.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別滿足，，設(shè)，，若，則(

)A. B. C. D.6.在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為，且該三棱柱的外接球表面積為，若將此三棱柱掏空保留表面，不計(jì)厚度后放入一個(gè)球，則該球最大半徑為(

)A.1 B. C. D.7.矩形的周長為16cm，把沿AC向折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)P，則的最大面積為(

)A. B. C. D.8.定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識(shí)答題比賽，對(duì)參賽的2000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是(

)

A.考生參賽成績的平均分約為分

B.考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為分

C.分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為

D.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則成績?cè)趨^(qū)間應(yīng)抽取30人10.已知向量，，，則下列說法正確的是(

)A.若，則 B.在上的投影向量為

C.若與的夾角為銳角，則 D.若要使最小，則11.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿BC向上翻折，得三棱錐設(shè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC，BD的中點(diǎn)，M為線段AE上的動(dòng)點(diǎn).下列說法正確的是(

)

A.在翻折過程中存在某個(gè)位置，使

B.當(dāng)時(shí)，AD與平面ABC所成角的正弦值為

C.在翻折過程中，三棱錐體積的最大值為2

D.當(dāng)時(shí)，的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角滿足，則__________.13.已知函數(shù)，則關(guān)于x的方程的不等實(shí)根的個(gè)數(shù)為__________.14.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題12分已知關(guān)于x的不等式若，求不等式的解集;解關(guān)于x的不等式.16.本小題12分

如圖，在梯形ABCD中，，，，E為線段BC中點(diǎn)，記，

用，表示向量求的值;求與夾角的余弦值.17.本小題12分如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，，面PAB，且的面積為求證：面當(dāng)四棱錐的外接球體積最小時(shí)，求平面PCD與平面PBC所成二面角的余弦值.18.本小題12分已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn).求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;在中，設(shè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，其中，，，的角平分線交BC于D，求線段AD的長度.19.本小題12分已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在n個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得其中，2，，n，，則稱為的“n重覆蓋函數(shù)”.判斷是否為的“n重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出n的值;如果不是，請(qǐng)說明理由;若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若為的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

化簡集合A，B后由交集定義可得答案．

【解答】解：A集合表示函數(shù)的定義域，則，

B集合表示函數(shù)的值域，則

故故選2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，設(shè)，且，，而，進(jìn)一步分析即可得點(diǎn)在第四象限.

【解答】解：

設(shè)其中，，，，則在第四象限.故選3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查空間中的線、面位置關(guān)系，考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

利用空間中線、面平行、垂直關(guān)系，結(jié)合充分、必要條件的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】

解：

對(duì)于A、若，，則或，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B、若，，則，故B正確；

對(duì)于C、若，，則或與相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D、直線a，b不相交，則直線a，b平行或異面，

故“直線a，b不相交”是“直線a，b為異面直線”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤4.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了一元二次不等式存在性或恒成立問題，考查了充分、必要、充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)二次函數(shù)的判別式求解“關(guān)于x的不等式有解”的充要條件，再分析必要不充分條件即可．【解答】解：

有解，即對(duì)于方程的，則可知D選項(xiàng)為一個(gè)必要不充分條件，故選5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

求出，利用，結(jié)合數(shù)量積為零得出結(jié)論.

【解答】解：

，，由，得，即得，則C選項(xiàng)正確.6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查球的表面積、球的切、接問題、棱柱的體積，屬于中檔題.

利用球的表面積公式求出球半徑，根據(jù)將此三棱柱掏空后放入一個(gè)球，該球最大半徑為

內(nèi)切圓半徑，利用等面積法求出

內(nèi)切圓半徑即可.

【解答】

解：設(shè)BC，中點(diǎn)為D，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為O，

外接球球心在中點(diǎn)O處，

設(shè)，，，

該三棱柱的體積為，，

，，

該三棱柱的外接球表面積為，

外接球半徑，即，，，

，，

底面ABC內(nèi)切圓半徑，

，因此該球最大半徑為

7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

設(shè)，，，則，，再根據(jù)為直角三角形，得出a關(guān)于x的表達(dá)式，再用三角形面積計(jì)算公式，得出的面積關(guān)于x的表達(dá)式，再利用基本不等式可得的面積的最大值．【解答】

解：設(shè)，，，則，，

在中，，可知

故選8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

求出

的單調(diào)性及對(duì)稱性，然后根據(jù)單調(diào)性、對(duì)稱性將

轉(zhuǎn)化為

的關(guān)系，再根據(jù)恒成立思想采用分離參數(shù)的方法求解出

a

.

【解答】

解：定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，

所以越靠近對(duì)稱軸函數(shù)值越小，

由得，

由于，所以，

可得，即時(shí)恒成立，

可得，

由于在時(shí)單調(diào)遞增，，

在時(shí)單調(diào)遞減，，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍9.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查頻率分布直方圖，考查百分位數(shù)，平均數(shù)的求法，考查分層隨機(jī)抽樣，屬于簡單題.

計(jì)算平均值得到A，計(jì)算第75百分位數(shù)得到B正確，分?jǐn)?shù)在區(qū)間

內(nèi)的頻率為

，

C正確，區(qū)間

應(yīng)抽取

60

人，D錯(cuò)誤，即得到答案.【解答】解：對(duì)選項(xiàng)A：平均成績?yōu)?/p>

，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于內(nèi)，

則第75百分位數(shù)為，B正確;對(duì)選項(xiàng)C：分?jǐn)?shù)在區(qū)間

內(nèi)的頻率為

，C正確；對(duì)選項(xiàng)D：區(qū)間

應(yīng)抽取

人，D錯(cuò)誤.10.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行與垂直的性質(zhì)，以及投影向量，屬于中檔題.根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行與垂直的性質(zhì)，以及投影向量逐一判定即可.【解答】

解：對(duì)于因?yàn)?，，所?/p>

又，且，所以，解得：，故A正確;

對(duì)于因?yàn)?，?/p>

所以|，|，

所以在上的投影為|，

所以在上的投影向量為，故B正確;

對(duì)于由與的夾角為銳角，可知且，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于由，

|，

可知時(shí)取最小值，故D正確.

故選11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查了直線與直線垂直、直線與平面所成的角和多面體表面上的最短距離問題，是中檔題.

根據(jù)直線與直線垂直、直線與平面所成的角和多面體表面上的最短距離問題逐一判定即可.

【解答】

解：

對(duì)于當(dāng)平面平面BCD時(shí)，，

證明如下：因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，，平面BCD，

則平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，故A正確，

對(duì)于當(dāng)時(shí)，平面平面BCD，則平面ABC，

所以是直線AD與平面ABC所成的角;

此時(shí)，，則，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，平面平面BCD，

即AE是三棱錐的高，，故C正確;

對(duì)于當(dāng)時(shí)，因?yàn)镕為BD的中點(diǎn)，所以，則，

又因E為BC的中點(diǎn)，所以，

又，所以，所以，

如圖將沿AE旋轉(zhuǎn)，得到，使其與在同一平面內(nèi)且在內(nèi)，

則當(dāng)C，M，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為，

在中，，

則，

所以在中，由余弦定理得，

所以的最小值為，故D正確，

故選12.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

由誘導(dǎo)公式得，再由同角三角函數(shù)關(guān)系可得結(jié)果.

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

，

，

13.【答案】2

【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，考查方程的根的個(gè)數(shù)問題，屬于中檔題．

方法一：分情況討論解方程即可.

方法二：畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【解答】

解：方法一：由題意得，

①時(shí)，，即，

即時(shí)，解得，符合題意；

時(shí)，解得，舍；

②時(shí)，，即，

時(shí)，解得，舍；

時(shí)，，解得，符合題意.

綜上，關(guān)于x的方程的不等實(shí)根為和，共2個(gè)，

故答案為

方法二：圖象如圖，

令，則，

由圖可得或，即或，

由，數(shù)形結(jié)合可得與和分別有1個(gè)交點(diǎn)，

故與分別有1個(gè)根，

故關(guān)于x的方程的不等實(shí)根有2個(gè)，

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查正余弦定理及三角形面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

首先利用余弦定理和三角形面積公式得到，再通過正弦定理以及三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化得到

，由三角函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

，

所以，

即

即，

解得

或舍去，

可得，

，

，

因?yàn)槭卿J角三角形，

，，

可知當(dāng)時(shí)取得最大值，

當(dāng)時(shí)取得最小值，

所以取值范圍為15.【答案】解：，，，

當(dāng)時(shí)，可得解集為或

對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為a，，

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或，

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或

【解析】本題主要考查了二次不等式的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

將代入解不等式即可；

因?yàn)閷?duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為a，，分、、三種情況解不等式即可．16.【答案】解：；

；

，

【解析】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算、向量的夾角和向量的數(shù)量積，是基礎(chǔ)題.

由向量的運(yùn)算可得結(jié)果；

由向量的數(shù)量積可得結(jié)果；

由向量的數(shù)量積和向量的夾角公式計(jì)算即可.17.【答案】證明：面PAB，面PAB，，

又，，BC、面ABCD，面ABCD，

CD在面ABCD內(nèi)，，

是正方形，，

又，AD、面PAD，面

設(shè)，，

設(shè)四棱錐的外接球的半徑為R，

則

當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào)

過B作交PC于H，連接DH，

則為平面PCD與平面PBC所成的二面角.

，，

，

平面PCD與平面PBC所成二面角的余弦值為

【解析】本題考查線面垂直的判定及二面角的余弦值，屬于中檔題.由條件結(jié)合線面垂直的判定即可證得；

設(shè)，，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為R，則結(jié)合基本不等式可求得，，，過B作交PC于H，連接DH，則為平面PCD與平面PBC所成的二面角，結(jié)合余弦定理可求得平面PCD與平面PBC所成