2024-2025學(xué)年福建省福州市高新區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高新區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.已知，，則（）A. B.7 C. D.-73.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.5.實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.46.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B. C. D.7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A. B. C. D.8.已知，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，則的取值范圍是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中，與值相等的是（）A. B.C. D.10.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為9 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為11.設(shè)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為，且為偶函數(shù)，，則（）A. B.C. D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則______.13.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后在區(qū)間上單調(diào)遞減，則______.14.與曲線和曲線均相切的直線的方程為______.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求B；（2）若的面積等于，求的周長的最小值．16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在1,f1處的切線方程；（2）若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.已知函數(shù)的圖象與軸的相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為．（1）求的解析式；（2）完善下面表格，并畫出在上的大致圖象；x0

00

（3）當(dāng)時(shí)，求的值域．18.在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛，2023年底新能源汽車保有量為3375輛．（1）設(shè)從2021年底起經(jīng)過年后新能源汽車保有量為輛，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從且和且兩種函數(shù)模型中選擇一個(gè)最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢，并說明理由，求出新能源汽車保有量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，試估計(jì)到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：）19.若函數(shù)在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點(diǎn).（1）判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)，存在，使得，且是上“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點(diǎn).①求的取值范圍；②證明.2024-2025學(xué)年福建省福州市高新區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件結(jié)合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.2.已知，，則（）A. B.7 C. D.-7【正確答案】A【分析】根據(jù)角的范圍以及平方關(guān)系求出再利用商的關(guān)系求出，最后由兩角和的正切公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：A.本題主要考查平方關(guān)系、商的關(guān)系以及兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域，及條件間的推出關(guān)系判斷充分、必要性.【詳解】由在上遞增，而，則，此時(shí)，充分性成立，若，則，假設(shè)時(shí)，無意義，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】求出y=fx為奇函數(shù)，排除CD；由排除B，得到答案.【詳解】定義域?yàn)镽，，函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除CD；又，排除B.故選：A5.實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】D【分析】用已知條件消元后用基本不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號故選：D．6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】令，則函數(shù)在內(nèi)遞增，且恒大于0，可得不等式，從而可求得a的取值范圍【詳解】解：令，∵在上單調(diào)遞減，∴在內(nèi)遞增，且恒大于0，且，．故選：C．7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)及已知判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及相對應(yīng)函數(shù)值判斷各項(xiàng)的大小.【詳解】令，則，因在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，，即，故A不正確；，即，即，故B不正確；，即，即，故C正確；，即，即，故D不正確；故選：C8.已知，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，則的取值范圍是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）【正確答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合可得，結(jié)合條件可得，，，且，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，得函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，分別作出函數(shù)的圖象與直線．由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)兩圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，．設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，則，，由得，所以，即．設(shè)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，則，，且，所以，則．故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】計(jì)算得到，再根據(jù)和差公式和二倍角公式，誘導(dǎo)公式依次計(jì)算得到答案.詳解】，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：BC10.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為9 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，所以A正確；對于B中，由，，且，可得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以B正確；對于C中，由，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為，又由，所以的最大值為，所以C不正確；對于D中，因?yàn)?，可?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，所以D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為，且為偶函數(shù)，，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】由已知條件可得導(dǎo)函數(shù)對稱性，判斷A；由已知推出導(dǎo)函數(shù)的對稱軸即可判斷B；結(jié)合導(dǎo)函數(shù)對稱性推出函數(shù)周期，進(jìn)而利用周期進(jìn)行求值，判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則即可判斷D.【詳解】對于A，，，即關(guān)于對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，為偶函數(shù)，故，即關(guān)于對稱，由關(guān)于對稱，知，故B正確；對于C，關(guān)于對稱和關(guān)于對稱可得：，故，即的周期為4，所以，故C正確；對于D，由得：，即，令得，，故，故D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的知識求得，由此求得.【詳解】依題意函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，，恒成立，所以，所以.故13.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后在區(qū)間上單調(diào)遞減，則______.【正確答案】【分析】先求出向右平移后的函數(shù)圖象，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間列出不等式，進(jìn)而求解即可.【詳解】向右平移個(gè)單位后得到因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.故答案為.14.與曲線和曲線均相切的直線的方程為______.【正確答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)和，求導(dǎo)得到，并寫出切線方程，將代入，化簡得，從而求出切線方程.【詳解】設(shè)在點(diǎn)和在點(diǎn)的切線重合，，，故，即，，在點(diǎn)處的切線方程為，將代入得，即，所以，又，故，則，故切線方程為，即.故四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求B；（2）若的面積等于，求的周長的最小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)即可得解；（2）由題意可得ac＝4，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，∵，所以，所以，∴；【小?詳解】解：依題意，∴ac＝4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又由余弦定理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)取等號，所以的周長最小值為．16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在1,f1處的切線方程；（2）若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）求出，切點(diǎn)為，直接寫出切線方程；（2）轉(zhuǎn)化為f′x≥0對于x∈【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，，所以的圖象在處的切線方程為.【小問2詳解】，若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，則f′x≥0即對于x∈1,+∞令，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，故.17.已知函數(shù)的圖象與軸的相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為．（1）求的解析式；（2）完善下面的表格，并畫出在上的大致圖象；x0

00

（3）當(dāng)時(shí)，求的值域．【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合的圖象，得到最小正周期，求得，結(jié)合最高點(diǎn)為，求得的值，即可求解；（2）完善表格，結(jié)合描點(diǎn)、連線，即可求得函數(shù)在上的大致圖象；（2）由，得到，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由的圖象與軸的相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，可得函數(shù)最小正周期，所以，又由一個(gè)最高點(diǎn)為，可得的，因?yàn)?，即，可得，解得，又因?yàn)?，可得，所以．【小?詳解】解：由（1）知，函數(shù)，完善表格如下：x012001則函數(shù)在上的大致圖象如圖：【小問3詳解】解：因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?8.在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛，2023年底新能源汽車保有量為3375輛．（1）設(shè)從2021年底起經(jīng)過年后新能源汽車保有量為輛，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從且和且兩種函數(shù)模型中選擇一個(gè)最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢，并說明理由，求出新能源汽車保有量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得函數(shù)模型增長，試估計(jì)到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】（1）應(yīng)選函數(shù)模型是且，理由見解析，（2）2030年底【分析】（1）由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，所以應(yīng)該選擇指數(shù)模型，然后將和代入函數(shù)中可求出，從而可求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)從2021年底起經(jīng)過年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，則有，由題意得，化簡后兩邊取對數(shù)可求得結(jié)果.【小問1詳解】由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，因此應(yīng)該選擇指數(shù)模型，應(yīng)選函數(shù)模型是且，由題意得，解得，所以．【小問2詳解】設(shè)從2021年底起經(jīng)過年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，則有，令，即，化簡得，解得，故從2021年底起經(jīng)過9年后，即2030年底新能源汽車的保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車的保有量．19.若函數(shù)在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點(diǎn).（1）判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)，存在，使得，且是上的“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點(diǎn).①求的取值范圍；②證明.【正確答案】（1）是上的“雙中值函數(shù)”，理由見解析（2）①0,+∞【分析】（1）利用定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)直接計(jì)算解方程即可；（2）①根據(jù)定義知，利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及最值計(jì)算范圍即可；②根據(jù)條件先轉(zhuǎn)化問題為，構(gòu)造差函數(shù)，利用多次求導(dǎo)判定其單調(diào)性去函數(shù)符號即可證明.【小問1詳解】函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”．理由如下：因?yàn)椋?因?yàn)?，，所以令，得，即，解?因?yàn)椋允巧稀半p中值函數(shù)”.【小問2詳解】①因?yàn)?，所?因?yàn)?/p>