2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學突破講義專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【考點預(yù)測】1、對數(shù)式的運算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時，，當時，當時，，當時，【方法技巧與總結(jié)】1、對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標系內(nèi)，當時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)【典型例題】例1．（2024·廣東·一模）假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進步2%，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過（

）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A．23 B．100 C．150 D．232【答案】B【解析】令甲和乙剛開始的“日能力值”為1，天后，甲、乙的“日能力值”分別，依題意，，即，兩邊取對數(shù)得，因此，所以大約需要經(jīng)過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故選：B例2．（2024·高三·江西·開學考試）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2023年12月18日在甘肅積石山縣發(fā)生了里氏6.2級地震，2024年1月4日在斐濟群島發(fā)生了里氏5.7級地震，若前后這兩個地震釋放的能量之比是，則的整數(shù)部分為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】設(shè)前后兩次地震釋放的能量分別為，由已知得，兩式相減得，則，因為，則，即，所以的整數(shù)部分為5.故選：C.例3．（2024·高一·河南·開學考試）已知函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】令，得，則.故選：A例4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，已知與是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為與是方程的兩根，由韋達定理得，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，所以，故選：B.例5．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】D【解析】由題意知，，，，因為，，所以由換底公式可得，，又因為（），所以，所以由換底公式可得.故選：D.例6．（2024·高一·廣東江門·階段練習）若函數(shù)是函數(shù)（，且）的反函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)（且）的反函數(shù)為，即，又，所以，所以，則.故選：A例7．（2024·高一·全國·專題練習）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)，易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；③中，是對數(shù)函數(shù)；④中，是對數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).故選：C.例8．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數(shù)①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＋c＜b＋a B．a(chǎn)＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，則a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正確，D錯誤；又a＋d與b＋c的大小不確定，故B，C錯誤．故選A.例9．（2024·高一·青海西寧·開學考試）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，故排除D；當時，，故排除BC；結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知A正確.故選：A.例10．（2024·天津南開·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，，，所以，故選：A.例11．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：B.例12．（2024·高一·上海·開學考試）設(shè)都是非零常數(shù)，且滿足，則.（結(jié)果用表示）【答案】【解析】由都是非零常數(shù)，設(shè)，則，所以故答案為：例13．（2024·高三·全國·專題練習）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】函數(shù)為增函數(shù)，故其值域為.故答案為：例14．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，，則.【答案】【解析】由已知可得，所以，所以，即是函數(shù)的一個周期，所以.故答案為：例15．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值；（2）求值：.【解析】（1）因為，所以，，則；（2）．例16．（2024·高一·江蘇常州·期末）（1）計算：；（2）已知，計算的值并證明．【解析】（1）（2）因為，所以，，，因為，，所以，且，所以，即.例17．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【解析】由題意知，，當時，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．故選：D2．（2024·高三·四川·期末）蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù)．利用對數(shù)運算可以求大數(shù)的位數(shù)．已知，則是（

）A．9位數(shù) B．10位數(shù) C．11位數(shù) D．12位數(shù)【答案】B【解析】記，則，則，則，故是10位數(shù)．故選：B3．（2024·青?！ひ荒＃┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得：，，；由得：，，，.故選：C.4．（2024·高一·山西大同·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于函數(shù)，令，即，解得，所以函數(shù)的定義域為，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A5．（2024·江西九江·二模）若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減且恒大于0，則有，解得.故選：C6．（2024·高三·全國·專題練習）函數(shù)f(x)＝＋ln(3x－1)的定義域為()A．(，] B．(，)C．[－，) D．[－，]【答案】B【解析】要使函數(shù)f(x)＝＋ln(3x－1)有意義，則?<x<，∴函數(shù)f(x)的定義域為(，).7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，，因此，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：D8．（2024·高一·湖南·階段練習）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可得，即，又由，即，又由對數(shù)的運算，可得，即，所以.故選：C.9．（2024·高一·廣東茂名·期末）若指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點，則它的反函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)且，點在的圖象上，所以，解得.所以，故反函數(shù).故選：A10．（2024·高二·貴州遵義·期末）年一位丹麥生物化學家提出溶液值，亦稱氫離子濃度指數(shù)、酸堿值，是溶液中氫離子活度的一種標度，其中源自德語，意思是濃度，代表氫離子.的定義式為：，指的是溶液中氫離子活度.若溶液甲中氫離子活度為，溶液乙中氫離子活度為.則溶液甲的值與溶液乙的值的差約為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，溶液甲的值與溶液乙的值的差為.故選：C.11．（2024·高三·江蘇揚州·期末）年月日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國歲高齡的著名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學界的震動.在年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為（

）（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為.故選：B.12．（2024·貴州貴陽·一模）純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動．因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用車的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量、放電時間和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當放電電流為時，放電時間為；當放電電流為時，放電時間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.15【答案】D【解析】由題意知，所以，兩邊取以10為底的對數(shù)，得，所以，故選：D.二、多選題13．（2024·高一·河南省直轄縣級單位·期末）下列說法正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都過點B．函數(shù)與是同一函數(shù)C．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱D．，是以為周期的函數(shù)【答案】AC【解析】對于A，易知冪函數(shù)，顯然恒過定點，故A正確；對于B，由可知，即其定義域為，而的定義域為R，所以兩函數(shù)定義域不同，故B錯誤；對于C，由反函數(shù)的定義易知函數(shù)與互為反函數(shù)，故其函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，根據(jù)周期性定義知對于定義域內(nèi)，，不滿足周期性定義，故D錯誤.故選：AC.三、填空題14．（2024·高一·山東威海·期末）已知，，則.【答案】3【解析】因為，，所以，故.故答案為：315．（2024·高一·福建漳州·期末）設(shè)，則的值為.【答案】/【解析】由，則，所以，故,故答案為：16．（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).則的值為.【答案】【解析】，.故答案為：.17．（2024·高三·上海·階段練習）方程的解是.【答案】【解析】由方程，可得，，解得.故答案為：18．（2024·高一·云南·階段練習）計算：.【答案】【解析】.故答案為：19．（2024·高一·山西呂梁·期末）設(shè)是定義在R上的函數(shù)，滿足，且，當時；，則．【答案】/0.5【解析】是定義在R上的函數(shù)滿足，所以，又因為，所以，所以，則函數(shù)的周期為2，所以故答案為：20．（2024·高一·山東青島·期末）寫出一個同時滿足下列①②③的函數(shù)的解析式．①的定義域為；②；③當時，．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其定義域為，，滿足，且當時，，滿足所有條件，故答案為：；（答案不唯一）21．（2024·高一·北京東城·期末）函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由題意得，解得，故定義域為.故答案為：22．（2024·云南·模擬預(yù)測）若為奇函數(shù)，則.【答案】【解析】對于函數(shù)，令，解得或，所以函數(shù)的定義域為，又為奇函數(shù)，所以，所以，此時，定義域為，且，滿足為奇函數(shù).故答案為：23．（2024·高一·上海閔行·階段練習）函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】由題意，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，則當時該函數(shù)取到最大值，故答案為：24．（2024·高一·山西長治·期末）已知函數(shù)的最大值為2，則．【答案】6【解析】因為函數(shù)由與復合而成，而在定義域上單調(diào)遞增，所以當取最大值時，函數(shù)取得最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當時，，此時，所以，解得．故答案為：25．（2024·高一·四川綿陽·開學考試）函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的反函數(shù)．【答案】【解析】由題可得：，故，其定義域為，值域為；因為，解得，故的反函數(shù)為.故答案為：.四、解答題26．（2024·高一·四川眉山·開學考試）（1）（2）已知，求的值．【解析】（1）原式；（2）由于，故原式.27．（2024·高一·廣西百色·開學考試）計算下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.28．（2024·高一·