2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題17導(dǎo)數(shù)綜合問題-證明不等式、恒成立問題、零點(diǎn)問題

專題17導(dǎo)數(shù)綜合問題：證明不等式、恒成立問題、零點(diǎn)問題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一、證明不等式常用的方法和思路作差構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題二、不等式恒成立問題常用的方法和思路(1)直接法(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；三、零點(diǎn)問題常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【典型例題】例1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）證明：當(dāng)時(shí)，；【解析】令，則，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，；令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，.例2．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，證明：對(duì)一切，都有成立.【解析】當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，在在，令，，由，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)到到最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)到到最大值，所以.例3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：(1)（）；(2)；(3)（）．【解析】（1）要證，只需證，令（），，故在上單調(diào)遞減，由于，因，故，則有（）.（2）令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，故，從而成立.（3）令（），，由解得：，，令，得，令，得或故在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于，則有對(duì)恒成立，故得：（）．例4．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為例5．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因此，而，故所求切線方程為，即；（2）依題意，，故對(duì)任意恒成立.令，則，令，解得.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取到極大值，也是最大值2.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例6．（2024·高二·山西大同·期末）已知函數(shù)在時(shí)取得極值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）易知，依題意，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時(shí)取得極值，所以．（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為．例7．（2024·高二·重慶永川·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)設(shè)，若恰有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題得，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故無最值當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得唯一的極小值，即為最小值，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，無最值當(dāng)時(shí)，的最小值為，無最大值.（2），函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，，單調(diào)遞增，有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為.例8．（2024·高三·四川·對(duì)口高考）已知a，b為實(shí)數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【解析】（1）因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)．例9．（2024·高三·山東·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)?，且，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因?yàn)?，所以，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上是減函數(shù)，且，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．例10．（2024·高三·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.（2）先討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（1）可知，在上遞減，，所以在上遞減，因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ涣泓c(diǎn)，又因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·高二·福建莆田·期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【解析】（1）的定義域,若則在上單調(diào)遞增；若當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，時(shí)，則單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因，設(shè)則，則在上單調(diào)遞減，故.2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.【解析】（1）顯然該函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，由，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此；（2）由（1）可知：，即，即，當(dāng)時(shí)，.3．（2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）證明：.【解析】令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，故，因此.4．（2024·高二·北京·期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：.【解析】（1）,，,所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得，，所以切線方程為：.（2）由題可得，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.5．（2024·高二·黑龍江牡丹江·期中）已知函數(shù).(1)若在處的切線過原點(diǎn)，求切線的方程；(2)令，求證：.【解析】（1）∵，∴在處的切線的斜率為.又在曲線上，在處的切線過原點(diǎn)，∴，解得.∴切線的方程為，即.（2）證明：∵，∴，由有：，由有：，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的最大值為，∴.6．（2024·浙江杭州·一模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．【解析】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，，即?i)若，則在定義域上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，只用證明，令，，令，即，可得方程有唯一解設(shè)為，且，所以，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下，單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，因?yàn)?，因?yàn)椋圆蝗〉忍?hào)，即，即恒成立，所以，恒成立，得證.7．（2024·高二·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)在和處取得極值.(1)求的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），函數(shù)在和處取得極值．，，聯(lián)立解得：，．，令，解得和，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．故和是的極值點(diǎn)，故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使得對(duì)任意，不等式恒成立，則需且，故且，解得，或，的取值范圍是,,．8．（2024·高三·北京通州·期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的極值；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由得，又，所以在切線為（2）令，則，故在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取極小值，無極大值，（3）由得，故，構(gòu)造函數(shù)則，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)取極小值也是最小值，，所以，即9．（2024·高三·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)對(duì)于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)在上遞減；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；當(dāng)時(shí)在上遞增．所以當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由題設(shè)知對(duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題設(shè)，舍去．當(dāng)時(shí)，在上遞增，只需符合．綜上：．10．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求證：恒成立.【解析】證明：，顯然在單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的使得即，兩邊取對(duì)數(shù)得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，所以恒成立．11．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，.【解析】要證：時(shí)，，即證：，兩邊同時(shí)乘，則，即，即證：，令，，所以在單調(diào)遞減，所以，即，即．12．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)，，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．解得，．，令，解得或；令，解得．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得：，．令，則，所以當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：，02，00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表格可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，，又．函數(shù)在上的最大值為8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范圍是．13．（2024·高二·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)求的增區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，依?jù)題意可知，令得或，所以，的增區(qū)間為，.（2）令，得（舍），，列表如下：x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，恒成立，則.14．（2024·高二·廣東梅州·期中）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由得，令，故在單調(diào)遞增，令，故在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值，且極小值為，故極大值，（2）由恒成立可得恒成立，記，則，令，則，由（1）知：在處取極小值也是最小值，且最小值為1，故，因此在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值1，故15．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求函數(shù)f(x)＝x－4lnx－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的取值變化情況如表：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)0<x≤3時(shí)，f(x)≤f(1)＝－4＜0；當(dāng)x＞3時(shí)，f(e5)＝e5－－20－2＞25－1－22＝9＞0.因?yàn)閒(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(3，＋∞)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故f(x)僅有1個(gè)零點(diǎn).16．（2024·高三·河南·期末）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，故在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋栽谏系牧泓c(diǎn)個(gè)數(shù)為．17．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).【解析】證明：由，得，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，，則，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).18．（2024·高三·北京大興·階段練習(xí)）已知，(1)求的極值；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）令且，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，上遞減，故的極大值為，無極小值.（2）由題設(shè)，有兩個(gè)根，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，由（1）知：在上遞增，上遞減，在上，在上，且當(dāng)趨向正無窮時(shí)趨向于0，綜上，只需，即.19．（2024·高三·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間、最值．(3)設(shè)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的范圍.【解析】（1）由題意知，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.所以，又，，所以.（3）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等根，由（2）知.20．（2024·高三·西藏林芝·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,則.（2）,若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；若，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，只需，即，解得，綜上，.21．（2024·高二·山東青島·期末）已知函數(shù)在處有極值．(1)求的極值；(