2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專(zhuān)題22平面向量

專(zhuān)題22平面向量【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一、向量的基本概念1、向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如（其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)）.注：談到向量必須說(shuō)明其方向與大小.向量的大小，有就是向量的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模），記作或.2、零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量零向量：長(zhǎng)度為零的向量，記為，其方向是不確定的.單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.當(dāng)時(shí)，向量是與向量共線（平行）的單位向量.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因?yàn)槿魏纹叫邢蛄拷?jīng)過(guò)平移后，總可以移到同一條直線上.規(guī)定零向量與任何向量平行（共線），即.注：①數(shù)學(xué)中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何中平行不可以重合；③，，不一定有，因?yàn)榭赡転?二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法，已知向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，，則向量叫做向量與的和（或和向量），即.向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則.如圖所示，向量=.2、向量的減法（1）相反向量.與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作.（2）向量的減法.向量與的相反向量的和叫做向量與的差或差向量，即=.向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖所示，，則向量.3、向量的數(shù)乘（1）實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向不確定；時(shí)，方向不確定.（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則；；.三、平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.2、平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為.叫做向量關(guān)于基底的分解式.3、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為平面內(nèi)一點(diǎn).四、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（）.(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量（）向量點(diǎn)（）.（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.若=（），為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).（4）設(shè)A，B，則=， 即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).五、向量的平行設(shè)，.的充要條件是.除了坐標(biāo)表示外，下面兩種表達(dá)也經(jīng)常使用：當(dāng)時(shí)，可表示為；當(dāng)時(shí)，可表示為，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.六、平面向量的數(shù)量積(1)已知兩個(gè)非零向量和，作＝，＝，叫作向量與的夾角．記作，并規(guī)定.如果與的夾角是，就稱(chēng)與垂直，記為.(2)叫作與的數(shù)量積，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量與垂直的充要條件是=0.兩個(gè)非零向量與平行的充要條件是.七、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在方向上的射影||cosθ的乘積．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）（交換律）；（2）為實(shí)數(shù)）；（3）（分配律）。數(shù)量積運(yùn)算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，不可約分.九、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量由此得到（1）若；（2）設(shè)兩點(diǎn)間距離（3）設(shè)的夾角，則【典型例題】例1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，所以，從而與向量同方向的單位向量為.故選：A.例2．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則方向相同，C正確；對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.故選：C.例3．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，所以，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因?yàn)榈耐饨訄A圓心為，所以為直角三角形，所以因?yàn)?，可得，所以為等邊三角形，故點(diǎn)作，可得，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄客颍韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?故選；A.例4．（2024·高一·四川資陽(yáng)·期中）已知是兩個(gè)不共線的向量，且，則（）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】A【解析】，故，則，又因?yàn)閮上蛄坑泄颤c(diǎn)，故三點(diǎn)共線.故選：A.例5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形中，，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】．故選:B．例6．（2024·江西贛州·一模）在平行四邊形中，，則（

）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A例7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在等腰梯形中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖等腰梯形中，取中點(diǎn)，連接，則,,于是，.故選:D.例8．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則.

【答案】【解析】由題意可得，，所以，所以.故答案為：.例9．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】如圖，連接，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，整理得．故答案為：例10．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則.【答案】【解析】，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，則，有，，，，，.故答案為：例11．（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在中，，，，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB、CA所在直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在為以C為圓心2為半徑的圓上，設(shè)，，則，，其中，由，所以的取值范圍是.故答案為：．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在中，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋詾榫€段的靠近的三等分點(diǎn)，所以．故選：D．2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）若非零向量滿足，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖：若，則為等邊三角形則向量與向量的夾角為.故選：C.3．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】.故選：A4．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋莾蓚€(gè)不共線的向量，由，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，解得或，則.故選：B.5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，若三點(diǎn)共線，設(shè)，則，無(wú)解，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若三點(diǎn)共線，設(shè)，則，無(wú)解，所以三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋驗(yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，，設(shè)，則，無(wú)解，所以三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤；故選：C.6．（2024·高一·廣東云浮·階段練習(xí)）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭堑倪吷系闹芯€，所以，所以.故選：C7．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知在邊長(zhǎng)為的菱形中，角為，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.8．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，，，所以，.故選：D9．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由是的中點(diǎn)，得，由，得，所以，且，由與相交于點(diǎn)可知，點(diǎn)在線段上，也在線段上，由三點(diǎn)共線的條件可得，解得，所以.故選：B10．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，即，即，解得，故選：B.11．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在中，，若，線段與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：由可得分別為的中點(diǎn)，由中線性質(zhì)可得，又，所以，因此.故選：B12．（2024·高三·山東德州·開(kāi)學(xué)考試）在中，點(diǎn)在直線上，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以故選：A.13．（2024·高三·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．14．（2024·北京延慶·一模）已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】建立坐標(biāo)系如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，則，，，可得，點(diǎn)滿足，所以．故選：C.15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，解?故選：B.16．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，，．若，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，解得，所以．因?yàn)?，所以．，，?/p>

，則，即，解得．故選：D．17．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故選：A.18．（2024·云南昆明·一模）已知下圖網(wǎng)格中面積最小的正方形邊長(zhǎng)為1，平面向量，如圖所示，則（

）

A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】根據(jù)題意，如圖建立坐標(biāo)系，則，，則，故．故選：C．19．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）若，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，，則，而，即得，所以，又，所以.故選：A.20．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，整理?故選：B.21．（9-10高三·河北唐山·階段練習(xí)）若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則（

）A．2 B．5 C．2或5 D．或5【答案】C【解析】由向量，，兩兩的夾角相等，得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：C二、多選題22．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．在正三角形中，，的夾角為B．若，且，則C．若且，則D．對(duì)于非零向量，“”是“與的夾角為銳角”的充分不必要條件【答案】ACD【解析】對(duì)于A，在正三角形中，的夾角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，且，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，當(dāng)時(shí)，可以有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角或零角，故充分性不成立，當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，，故必要性成立，所以“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.23．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）給出下列命題，其中假命題為（

）A．向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等B．向量與平行，則與的方向相同或相反C．?與方向相反D．若非零向量與非零向量的方向相同或相反，則與，之一的方向相同【答案】BCD【解析】對(duì)于A，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，命題成立；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，命題不成立；對(duì)于C，當(dāng)，之一為零向量時(shí)，命題不成立；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的方向是任意的，它可以與，的方向都不相同，命題不成立；故選：BCD.24．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由，可得，又，N是線段OD的中點(diǎn)，∴，∴，∴D錯(cuò)誤；∵，∴C正確；∵，∴A正確，B錯(cuò)誤．故選：AC．25．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量是線段的三等分點(diǎn)，則的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)?，，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，所以或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.26．（2024·高三·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量是【答案】BCD【解析】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：，則，故C正確；對(duì)于D：在上的投影向量是，故D正確.故選：BCD.27．（2024·廣東·二模）若平面向量，，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則與同向的單位向量為C．若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若，則的最小值為【答案】BD【解析】由，，A選項(xiàng)：，則，解得，則，，所以不存在，使，即，不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：時(shí)，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確；故選：BD.28．（2024·高三·江蘇南京·期中）已知平面向量，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則向量在上的投影為B．若，則，C．若且，，則D．若，則向量與的夾角為銳角【答案】BC【解析】平面向量，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，可得且，所以向量在上的投影為，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，即，則方程有無(wú)數(shù)組解，所以B不正確；對(duì)于C中，由且，可得，當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)組解，所以C不正確；對(duì)于D中，設(shè)向量與的夾角為，由，當(dāng)時(shí)，可得，則，若，可得，解得，所以時(shí)，向量與不共線，所以向量與的夾角為銳角，所以D正確.故選：BC.29．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）【多選題】已知，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】已知，若，則，解得，A選項(xiàng)正確；若，則，解得，B選項(xiàng)正確；，，當(dāng)時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，向量與向量的夾角為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.30．（2024·高三·黑龍江大慶·期末）已知，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，解得，故B正確；對(duì)于C，，則，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為鈍角，所以且不共線，由，得，由得，所以的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.31．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)不等的平面向量滿足，其中是常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則或B．若，則在上的投影向量的坐標(biāo)是C．當(dāng)取得最小值時(shí)，D．若的夾角為銳角，則的取值范圍為【答案】BC【解析】選項(xiàng)A：若，則，解得或，但當(dāng)時(shí)，，與題意不符合，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，則，解得，因此，，則在上的投影向量為，故B正確；選項(xiàng)C：，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，故C正確；選項(xiàng)D：若的夾角為銳角，則與不同向，得，解得且，故D錯(cuò)誤．故選：BC32．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．若，則（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．與反向的單位向量是【答案】ABC【解析】．．，即．，即，解得，則．對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋蔅正確；對(duì)于C，在方向上的投影向量為，故正確；對(duì)于D，與反向的單位向量是，故D錯(cuò)誤．故選:ABC．33．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，，得，解得，A正確；對(duì)于B，，則，于是，B正確；對(duì)于C，，，則與不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則在上的投影向量為，D正確．故選：ABD三、填空題34．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則.

【答案】4【解析】以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則，所以.因?yàn)?，所?所以.所以.故答案為：435．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，若，則．【答案】【解析】由題意知，，由于，則，則，解得．故答案為：.36．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，已知，點(diǎn)滿足，且，則．【答案】/【解析】由題意得，，，，故，．故答案為：37．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，則．【答案】/【解析】由，得，又，得，則．故答案為：38．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）在中，，，則．【答案】【解析】，，，，，.故答案為：.39．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，正八