2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題28統(tǒng)計(jì)案例和回歸方程

專題28統(tǒng)計(jì)案例和回歸方程【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系1、變量之間的相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系．由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用．我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷．注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2、散點(diǎn)圖將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系．（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示．3、相關(guān)系數(shù)若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測值為，則變量與的相關(guān)系數(shù)，通常用來衡量與之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，的范圍為．（1）當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．（2）越接近，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；越接近，表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上．（3）通常當(dāng)時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．知識點(diǎn)二、線性回歸1、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2、殘差分析對于預(yù)報(bào)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．知識點(diǎn)三、獨(dú)立性檢驗(yàn)1、分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2、等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3、獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：①計(jì)算隨機(jī)變量的觀測值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．（2）兩個(gè)分類變量和是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：統(tǒng)計(jì)學(xué)研究表明：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為與無關(guān)；當(dāng)時(shí)，有的把握說與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有的把握說與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有的把握說與有關(guān)．【典型例題】例1．（山東省棗莊市2024屆高三學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題）某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)（已知獨(dú)立性檢驗(yàn)中），則可以認(rèn)為（

）A．兩種療法的效果存在差異B．兩種療法的效果存在差異，這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0．005C．兩種療法的效果沒有差異D．兩種療法的效果沒有差異，這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0．005【答案】C【解析】零假設(shè)為：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒有差異．故選:C．例2．（四川省成都市2024屆高三學(xué)期第二次診斷性檢測文科數(shù)學(xué)試題）對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且【答案】C【解析】由題意可知，變量的散點(diǎn)圖中，隨的增大而增大，所以變量與呈現(xiàn)正相關(guān)；再分別觀察兩個(gè)散點(diǎn)圖，圖比圖點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù).故選：C.例3．（FHsx1225yl136）如圖，去掉點(diǎn)D(3，10)后，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大C．決定系數(shù)R2變大D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】B【解析】去掉D(3，10)后，其他數(shù)據(jù)都在一條直線附近，變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，模型擬合效果變好，故殘差平方和變?。?．（湖南省2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試考前演練二數(shù)學(xué)試題）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對近段時(shí)間騎行鍛煉情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評分12345用時(shí)小時(shí)）9.58.87.876.1由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（

）參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù).A．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)正相關(guān)B．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較弱C．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較強(qiáng)D．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合【答案】C【解析】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù).即相關(guān)系數(shù)近似為與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.所以選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.例5．（四川省成都市第七中學(xué)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計(jì)算可知，根據(jù)小概率值______的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【答案】B【解析】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100假設(shè)：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.因?yàn)椋海?，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立.即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.故選：B例6．（云南省曲靖市2024屆高三學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當(dāng)時(shí)，預(yù)測的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，由可得，如下表所示：由表格中的數(shù)據(jù)可得，，則有，解得，故，當(dāng)時(shí)，.故選：C.例7．（山東省濱州市2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差（單位：℃）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：5689121620252836由上表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．與有正相關(guān)關(guān)系 B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)C． D．時(shí)，殘差為0.2【答案】C【解析】由表格可知，越大，越大，所以與有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；，，樣本點(diǎn)中心為，經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，故B正確；將樣本點(diǎn)中心代入直線方程，得，所以，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，，故D正確.故選：C例8．（云南省大理白族自治州2024屆高三第二次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題）已知某種商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：134571520304045根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，殘差為.（殘差觀測值-預(yù)測值）【答案】【解析】，因?yàn)榛貧w直線過點(diǎn)，代入，可得，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為.故答案為：例9．（天津市八校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：天數(shù)x1234567一次最多答對題數(shù)y12151618212427參考數(shù)據(jù)：，，，，，相關(guān)系數(shù)由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)x之間是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】正0.99【解析】由表中數(shù)據(jù)得隨的增大而增大，所以該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，.故答案為：正；.例10．（2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文科猜題卷（七））近年來，隨著國家對新能源汽車產(chǎn)業(yè)的支持，很多國產(chǎn)新能源汽車迅速崛起，其因顏值高、動力充沛、提速快、空間大、用車成本低等特點(diǎn)得到民眾的追捧，但是充電難成為影響新能源汽車銷量的主要原因，國家為了加快新能源汽車的普及程度，在全國范圍內(nèi)逐步增建充電樁．某地區(qū)2019－2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數(shù)量x/萬臺13579新能源汽車年銷量y/萬輛2537485872(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（結(jié)果精確到0.001）；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，預(yù)測當(dāng)該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬臺時(shí)，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【解析】（1）由題知，，又，，，所以，因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.999，非常接近1，所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2），，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為．當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)充電樁數(shù)量為24萬臺時(shí)，該地區(qū)新能源汽車的年銷量為157.25萬輛．例11．（湖北省七市州2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運(yùn)動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得例12．（陜西省漢中市漢臺區(qū)2024屆高三學(xué)期第四次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）大學(xué)生劉銘去某工廠實(shí)習(xí)，實(shí)習(xí)結(jié)束時(shí)從自己制作的某種零件中隨機(jī)選取了10個(gè)樣品，測量每個(gè)零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號12345678910總和零件的橫截面積0.030.050.040.070.070.040.050.060.060.050.52耗材量0.240.400.230.550.500.340.350.450.430.413.9并計(jì)算得．(1)估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個(gè)零件的橫截面積以及平均一個(gè)零件的耗材量；(2)求劉銘同學(xué)制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)劉銘同學(xué)測量了自己實(shí)習(xí)期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請幫劉銘計(jì)算一下他制作的零件的總耗材量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【解析】（1）樣本中10個(gè)這種零件的橫截面積的平均值，樣本中10個(gè)這種零件的耗材量的平均值，由此可估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個(gè)零件的橫截面積為，平均一個(gè)零件的耗材量為．（2），這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)為.（3）設(shè)這種零件的總耗材量的估計(jì)值為，又已知這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，，解得，故這種零件的總耗材量的估計(jì)值為．例13．在一次抽樣調(diào)查中測得個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：【解析】（1）由題中散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為關(guān)于的回歸方程；（2）令，則，原數(shù)據(jù)變?yōu)橛杀砜芍c近似具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得，，，所以，，則.所以關(guān)于的回歸方程是.【過關(guān)測試】一、單選題1．對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，左側(cè)兩圖是正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，則，，右側(cè)兩圖是負(fù)相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，則，，下方兩圖的點(diǎn)相對更加集中，所以相關(guān)性較強(qiáng)，所以接近于1，接近于－1，上方兩圖的點(diǎn)相對分散一些，所以相關(guān)性較弱，所以和比較接近0，由此可得．故選：B．2．（上海市普陀區(qū)桃浦中學(xué)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列命題中，真命題的是（

）A．若回歸方程，則變量與負(fù)相關(guān)B．線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若該值越小，則模型的擬合效果越好C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差9D．若與獨(dú)立，則【答案】A【解析】對于A，回歸方程為，又，所以變量與負(fù)相關(guān)，故A正確，對于B，線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越大，說明模型的擬合效果越好，故B錯(cuò)誤．對于C，若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差，故C錯(cuò)誤，對于D,擲一枚骰子，設(shè)事件A：點(diǎn)數(shù)小于3，則；事件B：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則，所以，即與獨(dú)立，又，，故D錯(cuò)誤.故選：A．3．（內(nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A． B． C．35 D．21【答案】B【解析】由題意得，故，即，故，解得.故選：B4．（上海市浦東新區(qū)2024屆高三學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷）通過隨機(jī)抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價(jià)格（單位：百元）與該商品消費(fèi)者年需求量（單位：千克）的散點(diǎn)圖.若去掉圖中右下方的點(diǎn)后，下列說法正確的是（

）A．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量由負(fù)相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān)B．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度不變C．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變大D．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變小【答案】D【解析】對于A：去掉圖中右下方的點(diǎn)后，根據(jù)圖象，兩個(gè)變量還是負(fù)相關(guān)，A錯(cuò)誤；對于BCD：去掉圖中右下方的點(diǎn)后，相對來說數(shù)據(jù)會集中，相關(guān)程度會更高，但因?yàn)槭秦?fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)會更接近線性相關(guān)系數(shù)會變小，故D正確，BC錯(cuò)誤.故選：D.二、多選題5．（2024屆廣東省湛江市高三一模數(shù)學(xué)試題）某養(yǎng)老院有110名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：性別是否患過某流行疾病合計(jì)患過該疾病未患過該疾病男b女c合計(jì)80110下列說法正確的有（

）參考公式：，其中．附表：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828A．B．C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)【答案】ABC【解析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得；對于A，代入計(jì)算可得，正確；對于B，經(jīng)計(jì)算可得，可得B正確；對于CD，結(jié)合附表數(shù)值以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際意義，可認(rèn)為根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)，即C正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC6．（河北省滄州市泊頭市聯(lián)考2024屆高三學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題）下表是某地從2019年至2023年能源消費(fèi)總量近似值（單位：千萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的數(shù)據(jù)表：年份20192020202120222023年份代號12345能源消費(fèi)總量近似值（單位：千萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤）44.244.646.247.850.8以為解釋變量，為響應(yīng)變量，若以為回歸方程，則決定系數(shù)0.9298，若以為回歸方程，則，則下面結(jié)論中正確的有（

）A．變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)B．比的擬合效果好C．由回歸方程可準(zhǔn)確預(yù)測2024年的能源消費(fèi)總量D．【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)：隨著變量的增加，變量也在增加，故變量和變量成正相關(guān)，即樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，正確；對于B選項(xiàng)：因?yàn)?，故比的擬合效果好，正確；對于C選項(xiàng)：回歸方程可預(yù)測2024年的能源消費(fèi)總量，不可準(zhǔn)確預(yù)測，錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)：由回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，可知，正確.故選：ABD.7．（FHsx1225yl136）(多選)某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生對“只要學(xué)習(xí)夠努力，成績一定有奇跡”這句話的認(rèn)可程度，隨機(jī)調(diào)查了90名本校高一、高二的學(xué)生，得到如下列聯(lián)表．用樣本估計(jì)總體，則下列說法正確的是(參考數(shù)據(jù)：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001)（

）認(rèn)可不認(rèn)可總計(jì)高一202040高二401050總計(jì)603090A．高一高二大約有66.7%的學(xué)生認(rèn)可這句話B．高一高二大約有99%的學(xué)生認(rèn)可這句話C．依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為學(xué)生對這句話認(rèn)可與否與年級有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為學(xué)生對這句話認(rèn)可與否與年級無關(guān)【答案】AC【解析】隨機(jī)調(diào)查了90名學(xué)生，其中一共有60名學(xué)生認(rèn)可，所以認(rèn)可率大約為66.7%，χ2＝＝＝9.因?yàn)?.635<9<10.828，故C正確，D錯(cuò)誤．故選AC.8．（安徽省蕪湖市安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知由樣本數(shù)據(jù)（i=1，2，3，…，10）組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且．剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)后，得到新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)．則下列說法正確的是A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B．剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大C．剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)D．剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變小【答案】BC【解析】依題意，原樣本中，，剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)后，新樣本中，，因此剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)，C正確；由新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，得新的回歸直線斜率為，因此相關(guān)變量x，y具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，A錯(cuò)誤；又，則剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變大，D錯(cuò)誤；由剔除的是偏離直線較大的異常點(diǎn)，得剔除該點(diǎn)后，新樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度變強(qiáng)，即樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，B正確.故選：BC9．（湘豫名校聯(lián)考2024年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）下列說法中，正確的是（

）A．設(shè)有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加2個(gè)單位B．已知隨機(jī)變量，若，則C．兩組樣本數(shù)據(jù)和的方差分別為.若已知且，則D．已知一系列樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則【答案】BC【解析】若有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，隨著的增大，會減小，錯(cuò)誤；曲線關(guān)于對稱，因?yàn)椋裕?，B正確；因?yàn)?，所以，所以，同理可?，故，C正確；經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且樣本點(diǎn)與的殘差相等，則，D錯(cuò)誤.故選：.10．（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三學(xué)期2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且變量的數(shù)據(jù)如下表所示：5681214108651則下列說法正確的是（

）A．變量之間負(fù)相關(guān) B．C．當(dāng)時(shí)，可估計(jì)的值為11 D．當(dāng)時(shí)，殘差為【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，由，可得變量之間負(fù)相關(guān)，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，將代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程，有，可得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由上知，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，殘差為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．11．（吉林省部分學(xué)校2024屆高三學(xué)期高考模擬（三）數(shù)學(xué)試題）為了解高二學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別的關(guān)聯(lián)性，某學(xué)校隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．得到如圖所示的列聯(lián)表，則下列說法正確的是（

）性別物理學(xué)科喜愛不喜愛男6040女2080A．喜愛物理學(xué)科的學(xué)生中，男生的頻率為B．女生中喜愛物理學(xué)科的頻率為C．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別無關(guān)參考公式：，其中.附表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】AC【解析】對于A，喜愛物理學(xué)科的學(xué)生共有（名），故喜愛物理學(xué)科的學(xué)生中，男生的頻率為，A正確；對于B，女生共有100名，喜愛物理的女生有20名，故女生中喜愛物理學(xué)科的頻率為，B錯(cuò)誤；對于C，D，，故依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別有關(guān)，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別有關(guān)，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC12．（云南省三校2024屆高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷（五）數(shù)學(xué)試題）下列命題正確的是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為12B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則C．若某校高三（1）班8位同學(xué)身高（單位）分別為：，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（即第25百分位數(shù)）為170D．根據(jù)變量與的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05【答案】AB【解析】對于A，根據(jù)，可得數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；對于B，對兩邊同時(shí)取對數(shù)可得，因?yàn)?，，所以，所以，故B正確；對于C，從小到大可得這組數(shù)據(jù)為，，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（即第25百分位數(shù)）為，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋诜稿e(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下，不能判斷與有關(guān)，故D錯(cuò)誤，故選：AB．13．（浙江省寧波市慈溪市2024屆高三學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）某電商平臺為了對某一產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，采用不同的單價(jià)在平臺試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：單價(jià)x/元88.599.510銷量y/萬件8985807868根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到與具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，若用最小二乘估計(jì)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．相關(guān)系數(shù) B．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上C． D．時(shí)，對應(yīng)銷量的殘差為【答案】BC【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，所以樣本中心為，故在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，B正確，由可得與具負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤，將代入可得，解得，C正確，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為，D錯(cuò)誤，故選：BC14．（廣東省揭陽市2024屆高三學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當(dāng)時(shí)，殘差為-2C．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130【答案】AD【解析】由題意可知x，y具有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，故樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi)，A正確；根據(jù)題意得，故，解得，故當(dāng)時(shí)，，殘差為，B錯(cuò)誤；點(diǎn)即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)不在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130，D正確，故選：AD15．（遼寧省沈陽市遼中區(qū)第一私立高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）對兩個(gè)變量和進(jìn)行回歸分析，則下列結(jié)論正確的為（）A．回歸直線至少會經(jīng)過其中一個(gè)樣本點(diǎn)B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．建立兩個(gè)回歸模型，模型的相關(guān)系數(shù)，模型的相關(guān)系數(shù)，則模型的擬合度更好D．以模型去擬合某組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別為【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，回歸直線不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以模型的擬合度更好，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由，得，D選項(xiàng)正確.故選：BD16．（重慶市黔江中學(xué)校2024屆高三學(xué)期8月考試數(shù)學(xué)試題）下列說法中正確的是（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變B．回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)C．用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說明模型的擬合效果越好D．在列聯(lián)表中，的值越大，說明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越弱【答案】AC【解析】對A：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動性不變，故方差不變，故A正確；對B：回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心正確，但不一定會過樣本點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對C：用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說明模型的擬合效果越好，故C正確；對D：在列聯(lián)表中，的值越大，說明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越強(qiáng)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題17．（廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試卷）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)生物學(xué)常識和散點(diǎn)圖得出與近似滿足（為參數(shù)）.令，，計(jì)算得，，.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則的值為；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測值，若殘差平方和，則決定系數(shù).（參考公式：決定系數(shù)）【答案】【解析】因?yàn)?，兩邊取對?shù)可得，又，，依題意回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)，所以，解得，所以，又.故答案為：；18．（專題04回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用（四大類型））學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：天數(shù)x1234567一次最多答對題數(shù)y12151618212427參考數(shù)據(jù)：，，，，，相關(guān)系數(shù)由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.【答案】0.99【解析】由題意.故答案為：.四、解答題19．（四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三學(xué)期階段檢測（三））數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計(jì)了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計(jì)算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個(gè)變量y與x相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；(2)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計(jì)該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：回歸方程：，其中，）【解析】（1）依題意可得，，

，

，

，

，，∴兩個(gè)變量與相關(guān)關(guān)系很強(qiáng).（2）因?yàn)?，，，，所以時(shí)（百人），故預(yù)估該商場開通在線直播的第天的線下顧客人數(shù)為百人.20．（河南省TOP二十名校2024屆高三學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試題）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對1000人進(jìn)行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：青年人中年人老年人對短視頻剪接成長視頻的APP有需求200對短視頻剪接成長視頻的APP無需求150其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．(1)求的值；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？參考公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）由題意可得：，解得．（2）零假設(shè)為：對短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異．由已知得，如下列聯(lián)表：青年人中老年人合計(jì)對短視頻剪接成長視頻的APP有需求300250550對短視頻剪接成長視頻的APP無需求100350450合計(jì)4006001000可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以對短視頻剪接成長視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異．21．（山西省晉城市第一中學(xué)校2024屆高三學(xué)期第十四次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）成都第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會于7月28日開幕，蓬勃向上的青春活力在“大運(yùn)之城”綻放，多所學(xué)校掀起了運(yùn)動的熱潮，為了解決學(xué)生對運(yùn)動的喜愛程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到以下信息：①抽取的學(xué)生中，男生占的比例為60%；②抽取的學(xué)生中，不喜歡運(yùn)動的學(xué)生占的比例為40%；③抽取的學(xué)生中，喜歡運(yùn)動的男生比喜歡運(yùn)動的女生多40人.(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否喜歡運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián)？喜歡運(yùn)動不喜歡運(yùn)動合計(jì)男生女生合計(jì)(2)從隨機(jī)抽取的這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，其中喜歡運(yùn)動的有11人，不喜歡運(yùn)動的有9人，現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選出2人，設(shè)2人中喜歡運(yùn)動的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列.參考公式及數(shù)據(jù)0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【解析】（1）列聯(lián)表如下：喜歡運(yùn)動不喜歡運(yùn)動合計(jì)男生8040120女生404080合計(jì)12080200假設(shè)：是否喜歡運(yùn)動與性別無關(guān)聯(lián)，由題知：，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否喜歡運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián).（2）由題知的所有取值為，此時(shí).則的分布列為：01222．（河北省張家口市尚義縣第一中學(xué)等校2024屆高三學(xué)期開學(xué)收心聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）為了研究體育鍛煉對某年齡段的人患某種慢性病的影響，某人隨機(jī)走訪了個(gè)該年齡段的人，得到的數(shù)據(jù)如下：慢性病體育鍛煉合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常未患病患病合計(jì)(1)定義分類變量、如下：，，以頻率估計(jì)概率，求條件概率與的值；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析經(jīng)常進(jìn)行體育鍛煉是否對患該種慢性病有影響．附：【解析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得，.（2）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷經(jīng)常鍛煉對患有某種慢性病有影響，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.23．（江蘇省南京市金陵中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期2月模擬測試數(shù)學(xué)試題）某高中為了了解高中學(xué)生暑假期間閱讀古典名著的時(shí)間（小時(shí)/每周）和他們的語文成績（分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．表一編號12345學(xué)習(xí)時(shí)間247710語文成績829395108122(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出語文成績的平均數(shù)和方差；(2)基于上述調(diào)查，學(xué)校為了確認(rèn)學(xué)生喜歡閱讀古典名著與語文成績的關(guān)系，抽樣調(diào)查了200位學(xué)生．按照是否喜歡閱讀古典名著與語文成績是否優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)，得到下列數(shù)據(jù)，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”是否有關(guān)．表二語文成績優(yōu)秀語文成績不優(yōu)秀合計(jì)喜歡閱讀7525100不喜歡閱讀5545100合計(jì)130702000.100.050.0102.7063.8416.635【解析】（1）由題意得，，所以語文成績的平均數(shù)為100，方差為189.2.（2）零假設(shè)為：喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀無關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不成立，故可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”有關(guān)．24．（陜西省2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（一）文科數(shù)學(xué)試題）我國老齡化時(shí)代已經(jīng)到來，老齡人口比例越來越大，出現(xiàn)很多社會問題．2015年10月，中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議公報(bào)指出：堅(jiān)持計(jì)劃生育基本國策，積極開展應(yīng)對人口老齡化行動，實(shí)施全面二孩政策．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表．非一線一線總計(jì)愿生40y60不愿生x2240總計(jì)5842100(1)求x和y的值．(2)分析調(diào)查數(shù)據(jù)，是否有以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”？(3)在以上二孩生育意愿中按分層抽樣的方法，抽取6名育齡婦女，再選取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市的概率．參考公式：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由題意得，；（2）由，得，∴有以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”．（3）抽取6名育齡婦女，來自一線城市的人數(shù)為，記為1，2，來自非一線城市的人數(shù)為，記為a，b，c，d，選設(shè)事件A為“取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市”，基本事件為：，，事件共有9個(gè)，或25．（廣東省深圳外國語學(xué)校、執(zhí)信中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期期末校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）杭州第19屆亞運(yùn)會，中國代表團(tuán)共獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，金牌數(shù)超越2010年廣州亞運(yùn)會的199枚，標(biāo)志著我國體育運(yùn)動又有了新的突破.某大學(xué)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了130名學(xué)生，對其日常參加體育運(yùn)動情況做了調(diào)查，其中是否經(jīng)常參加體育運(yùn)動的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：經(jīng)常參加不經(jīng)常參加男生6020女生4010(1)利用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從全校女生中隨機(jī)抽取5人，求其中恰有2人不經(jīng)常參加體育運(yùn)動的概率；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否經(jīng)常參加體育運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián).參考公式：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）由表格知：經(jīng)常參加與不經(jīng)常參加體育運(yùn)動的女生比例為，所以，抽取到不經(jīng)常參加體育運(yùn)動的女生人數(shù)服從，故恰有2人不經(jīng)常參加體育運(yùn)動的概率.（2）由題設(shè)得列聯(lián)表如下：經(jīng)常參加不經(jīng)常參加男生602080女生40105010030130故，所以，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為經(jīng)常參加體育運(yùn)動與性別沒有關(guān)聯(lián).26．（河北省張家口市2023-2024學(xué)年高三學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題）某公司男女職工人數(shù)相等，該公司為了解職工是否接受去外地長時(shí)間出差，進(jìn)行了如下調(diào)查：在男女職工中各隨機(jī)抽取了100人，經(jīng)調(diào)查，男職工和女職工接受去外地長時(shí)間出差的人數(shù)分別為40和20．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否接受去外地長時(shí)間出差與性別有關(guān)聯(lián)？單位：人性別接受不接受合計(jì)男女合計(jì)(2)若將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該公司中隨機(jī)抽取5人，記其中接受去外地長時(shí)間出差的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望，附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．【解析】（1）依題意，列出列聯(lián)表如下：單位：人性別接受不接受合計(jì)男4060100女2080100合計(jì)60140200零假設(shè)為：是否接受去外地長時(shí)間出差與性別相互獨(dú)立，即是否接受去外地長時(shí)間出差與性別無關(guān)，所以．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否接受去外地長時(shí)間出差與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005．（2）由題意，接受去外地長時(shí)間出差的頻率為，所以接受去外地長時(shí)間出差的概率為．隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，5，由題意，得，所以的數(shù)學(xué)期望．27．（藝體生一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)第50講獨(dú)立性檢驗(yàn)【練】）第五代移動通信技術(shù)（簡稱）是最新一代蜂窩移動通信技術(shù)，是實(shí)現(xiàn)人機(jī)物互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施．某市工信部門為了解本市手機(jī)用戶對網(wǎng)絡(luò)的滿意情況，隨機(jī)抽取了本市200名手機(jī)用戶進(jìn)行了調(diào)查，所得情況統(tǒng)計(jì)如下：滿意情況年齡合計(jì)50歲以下50歲或50歲以上滿意95不滿意25合計(jì)120200附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828，其中．(1)完成上述列聯(lián)表，并估計(jì)本市手機(jī)用戶對網(wǎng)絡(luò)滿意的概率；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析本市手機(jī)用戶對網(wǎng)絡(luò)滿意與年齡在50歲以下是否有關(guān)．【解析】（1）完成列聯(lián)表如下：滿意情況年齡合計(jì)50歲以下50歲或50歲以上滿意9555150不滿意252550合計(jì)12080200所以本市手機(jī)用戶對網(wǎng)絡(luò)滿意的概率約為．（2）零假設(shè)為：本市手機(jī)用戶對網(wǎng)絡(luò)滿意與年齡在50歲以下無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)原則，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為本市手機(jī)用戶對網(wǎng)絡(luò)滿意與年齡在50歲以下無關(guān)．28．（青海省西寧市大通縣2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）家居消費(fèi)是指居民在日常生活中購買和使用的家具、家電、建材、裝修等產(chǎn)品和服務(wù)所形成的消費(fèi)行為.長期以來，家居消費(fèi)一直是居民消費(fèi)的重要組成部分，對于帶動居民消費(fèi)增長和經(jīng)濟(jì)恢復(fù)具有重要意義.某家居店為了迎接周年慶舉辦促銷活動，統(tǒng)計(jì)了半個(gè)月以來天數(shù)x與銷售額y（萬元）的一組數(shù)據(jù)：.通過分析發(fā)現(xiàn)x與y呈線性相關(guān).(1)求x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留三位小數(shù)）；(2)求x與y的線性回歸方程（，的結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.參考數(shù)據(jù)：，，，.【解析】（1）依題意，，，所以.（2）因?yàn)椋瑒t，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.29．（江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)2024屆高三學(xué)期1月學(xué)情檢測調(diào)研數(shù)學(xué)試題）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各人進(jìn)行分析，從而得到表（單位：人）：經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性45100女性65100合計(jì)(1)完成上表；對于以上數(shù)據(jù)，采用小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)聯(lián)？(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取20人贈送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式：.常用的小概率值和對應(yīng)的臨界值如下表：a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）完善列聯(lián)表如下表所示（單位：人）：經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性女性合計(jì)零假設(shè)性別與網(wǎng)購之間無關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)聯(lián).（2）①由題意可知，所抽取的名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購的有人，偶爾或不用網(wǎng)購的有人，所以，選取的人中至少有人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為；②由列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為，將頻率視為概率，所以，從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為，由題意可知，，所以，，.30．（河北省邢臺市寧晉縣河北寧晉中學(xué)2024屆高三學(xué)期模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題）“世界衛(wèi)生組織”通過總結(jié)“世界預(yù)防醫(yī)學(xué)”的最新成果，指出：的疾病都與不良水質(zhì)有關(guān)，50多種疾病與飲用不良水質(zhì)有關(guān).下表是某省A市的慢性病研究中心調(diào)查得到的甲慢性病與飲用水水質(zhì)的調(diào)查表：單位：人飲用水水質(zhì)甲慢性病合計(jì)患病不患病優(yōu)良水質(zhì)100400500不良水質(zhì)100200300合計(jì)200600800(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為A市患慢性病與飲用不良水質(zhì)有關(guān)？(2)已知某省A市、B市和其他縣市人口占比分別是，，，以調(diào)查表數(shù)據(jù)的頻率估計(jì)A市患甲慢性病的概率，經(jīng)過深入調(diào)查發(fā)現(xiàn)B市和其他縣市患甲慢性病的概率分別為，，從該省任意抽取一人，試估計(jì)此人患甲慢性病的概率．附表及公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）由題設(shè)，，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為A市患慢性病與飲用不良水質(zhì)有關(guān).（2）由題設(shè)，A市患甲慢性病的概率為，B市和其他縣市患甲慢性病的概率分別為，，所以從該省任意抽取一人，此人患甲慢性病的概率為.31．（黑龍江省雞西市第一中學(xué)校2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受.針對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額：月份12345帶貨金額萬元350440580700880(1)計(jì)算變量的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.(2)求變量之間的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2023年6月份該公司的直播帶貨金額.參考數(shù)據(jù)：，參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距.【解析】（1）（2）因?yàn)?，所以，所以變量之間的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，（萬元）.所以預(yù)測2023年6月份該公司的直播帶貨金額為986萬元.32．（江西省贛州市興國縣聯(lián)考2024屆高三學(xué)期5月月考文科數(shù)學(xué)試題）隨著人們生活水平