2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專(zhuān)題37圓錐曲線重點(diǎn)?？碱}型之軌跡方程

專(zhuān)題37圓錐曲線重點(diǎn)常考題型之軌跡方程【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程一、直譯法如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過(guò)程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直譯法。二、定義法若動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法。三、相關(guān)點(diǎn)法（代入法）有些問(wèn)題中，所求軌跡上點(diǎn)的幾何條件是與另一個(gè)已知方程的曲線上點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的，這時(shí)要通過(guò)建立這兩點(diǎn)之間關(guān)系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關(guān)系式?！镜湫屠}】例1．（2024·山東泰安·一模）在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．圓【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，.由可得：，即.所以點(diǎn)的軌跡為圓.故選：D例2．（2024·高二·四川涼山·期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，?dòng)點(diǎn)滿足，由雙曲線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.例3．（2024·高二·江蘇常州·期中）若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足方程，設(shè)，且，則有，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，且中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，即點(diǎn)的軌跡軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則，，故所求軌跡方程為,故選：B.例4．（2024·高二·甘肅臨夏·期中）已知圓，直線l過(guò)點(diǎn).線段的端點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，可得，又點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，將上式代入可得，，化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)的軌跡方程為：.故選：B例5．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓與軸切于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作圓的切線并交于點(diǎn)(點(diǎn)不在軸上)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C．或D．【答案】A【解析】設(shè)分別與圓相切于點(diǎn)，則，，，所以，且，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去與軸交點(diǎn))，這里，，，則，故點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A例6．（2024·廣西梧州·模擬預(yù)測(cè)）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以的中點(diǎn)滿足直線方程，解得，過(guò)點(diǎn)的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為，所以解得：，故選：C．例7．（2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）等腰三角形ABC中，若底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)為，則，即第三個(gè)頂點(diǎn)C在線段的垂直平分線上，設(shè)，易知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以的垂直平分線斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程可得即的垂直平分線方程為，又三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以，即C的軌跡方程為.故選：C例8．（2024·高二·上海浦東新·期末）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)與定點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，為中點(diǎn)，，則，即，又在橢圓上，，即，點(diǎn)軌跡方程為：.故選：D.例9．（2024·高二·廣東深圳·期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè),因?yàn)?所以又因?yàn)?所以,即得可得點(diǎn)的軌跡方程為故選:.例10．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意可得，動(dòng)圓的圓心到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以動(dòng)圓的圓心是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則其方程為．故答案為：例11．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意，可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為6．∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)，如圖，∴，∴，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，∴，，，∴其軌跡方程為．故答案為：．例12．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，，點(diǎn)P到，的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是【答案】【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，故點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：例13．（2024·高三·廣東東莞·階段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓P的圓心為，半徑為，由題意得，所以，所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，即，，則，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，故答案為：例14．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.例15．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線過(guò)點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，線段的中點(diǎn)為D，過(guò)的中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】如圖所示，圓心，．因?yàn)镈為中點(diǎn)，所以，即，又，所以，又E為的中點(diǎn)，所以為線段的垂直平分線，所以，所以，若弦為軸，此時(shí)重合，不符合題意，所以不在軸上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（左、右頂點(diǎn)除外），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：，其中，，則，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：．例16．（2024·高二·全國(guó)·課堂例題）已知，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】因?yàn)?，所以根?jù)雙曲線的定義可知，一定在1，2且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支上，則，這就是說(shuō)，點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足．另一方面，由可知，因此P的橫坐標(biāo)要大于零，從而可知P的軌跡方程為．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知面積為的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)、、，由，所以，，可得，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，即，即，整理可得，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.2．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又于點(diǎn)，則；設(shè)，由，得，則，代入，得，即點(diǎn)的軌跡方程為，故選：A3．（2024·高三·江西南昌·階段練習(xí)）一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；因?yàn)?，可知圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，顯然圓心不能與點(diǎn)重合，設(shè)圓的半徑為，由題意可知：，則，可知點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)除外），且，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.二、填空題4．（2024·高三·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知定點(diǎn)B（3,0），點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，∠AOB的平分線交線段AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程是．【答案】．【解析】設(shè)，則，設(shè)，由為的角平分線，可得，即有，可得,，即，，可得，，則，即為．故答案為：．5．（2024·高三·北京房山·期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是.【答案】或【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，整理得，所以的軌跡方程是或.故答案為：或6．（2024·高三·廣東揭陽(yáng)·期中）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以直線的斜率.同理，直線的斜率.由已知，有，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為.所以點(diǎn)的軌跡是除去，兩點(diǎn)的橢圓.故答案為：7．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．由題意知，則，∴點(diǎn)的軌跡方程為．又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.8．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，且曲線上的任意一點(diǎn)P都滿足．則曲線的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，由題設(shè)有，整理得到，故.故答案為：.9．（2024·高二·上海青浦·期中）已知定點(diǎn)和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)線段中點(diǎn)為，，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上的點(diǎn)，所以所以，化簡(jiǎn)得：故答案為：10．（2024·高三·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是.【答案】【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，所以，，拋物線方程為.故答案為：.11．（2024·高二·四川綿陽(yáng)·期中）在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意，由得，化簡(jiǎn)得．故答案為：．12．（2024·高二·河南信陽(yáng)·期末）圓與的位置關(guān)系為；與圓，都內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．【答案】?jī)?nèi)含【解析】依題意，圓心，半徑，圓心，半徑，所以，則兩圓內(nèi)含；設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，則，，依橢圓的定義知，的軌跡為橢圓，其中，又，所以的軌跡方程為.故答案為：內(nèi)含；.13．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓、圓外切，則，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，又，則，所以其軌跡方程為．故答案為：．三、解答題14．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，，的中垂線交于點(diǎn)E．求點(diǎn)E的軌跡方程．【解析】，，的中垂線交于點(diǎn)E．則有，，所以E點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，設(shè)該橢圓的方程為（），半焦距為，由，得，由，得，所以．故點(diǎn)E的軌跡方程為．15．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知點(diǎn)、是距離為4的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【解析】如圖，以直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩定點(diǎn)為、．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，．因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得．這表明，動(dòng)點(diǎn)軌跡上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程．反過(guò)來(lái)，設(shè)平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程，即有，則．從而以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上．綜上所述，方程就是所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．16．（2024·高一·福建莆田·階段練習(xí)）已知圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過(guò)P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到處，求此時(shí)切線l的方程；(2)求滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】（1）把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心為，半徑.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為，C到l的距離，滿足條件．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為，即，則，解得.∴l(xiāng)的方程為，即，綜上，滿足條件的切線l的方程為或.（2）設(shè)，則，.∵，∴，整理，得，∴點(diǎn)P的軌跡方程為.17．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.求點(diǎn)P的軌跡方程；【解析】設(shè)，，則，，由得.因?yàn)樵贑上，所以.因此點(diǎn)P的軌跡為.18．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，線段，且兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；【解析】設(shè)，線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，，，即，得.所以點(diǎn)的軌跡方程是．19．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【解析】因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為.20．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與y軸垂直的直線為，軸，交于點(diǎn)N，直線l垂直平分FN，交于點(diǎn)M.求點(diǎn)M的軌跡方程；【解析】由題意得，即動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)M的軌跡方程為；21．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)，是圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】令，則以線段為直徑的圓的圓心為，又在圓內(nèi)，且圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切，，整理可得：，，即，，整理可得：，又是圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的軌跡方程為：.22．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程．【解析】連接AB，PQ，設(shè)AB與PQ交于點(diǎn)M，如圖所示．因?yàn)樗倪呅蜛PBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點(diǎn)，連接OM.由垂徑定理可知設(shè)由此可得①又在中，有②由①②得故點(diǎn)M的軌跡是圓．因?yàn)辄c(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，設(shè)則代入點(diǎn)M的軌跡方程中得，整理得，即為所求點(diǎn)Q的軌跡方程．23．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程.【解析】依題意，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，因?yàn)樵陔p曲線中，則，所以，因?yàn)椋?，由三角形重心坐?biāo)公式有，即，因?yàn)?，所以，已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有，即所求重心的軌跡方程為：.24．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P，Q是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線OP與OQ的斜率都存在且滿足．當(dāng)時(shí)，求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；【解析】設(shè)點(diǎn)，，.如圖所示：點(diǎn)P，Q是圓上的兩個(gè)點(diǎn)，直線OP與OQ的斜率都存在.，.當(dāng)時(shí)，，，為等腰直角三角形.點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)在中，由兩點(diǎn)間距離公式得，其中，即，所以PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為．25．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，的對(duì)邊分別為（其中為定值），以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），請(qǐng)你給出適當(dāng)?shù)臈l件，求出頂點(diǎn)的軌跡方程．

【解析】若條件為.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡為線段的中垂線，方程為；若條件為.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，方程為；若條件為頂點(diǎn)到軸的距離等于.當(dāng)頂點(diǎn)到軸的距離等于時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以軸為準(zhǔn)線的拋物線，方程為；若條件為或.當(dāng)或時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡為以A、為左右焦點(diǎn)，以2c為長(zhǎng)軸的橢圓，方程為；若條件為周長(zhǎng)為定值．當(dāng)周長(zhǎng)為定值時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡為以A、為左右焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸的橢圓，方程為；若條件為或．當(dāng)或時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡為以A、為左右焦點(diǎn)，以為實(shí)軸的雙曲線，方程為；若條件為.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡為以A、為左右焦點(diǎn)，以為實(shí)軸的雙曲線的左支，方