2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)專題06 函數(shù)的概念（解析版）

專題06函數(shù)的概念

【考點預(yù)測】

1.函數(shù)的概念

⑴一般地，給定非空數(shù)集A,B,按照某個對應(yīng)法則于,使得A中任意元素％,都有B中唯一確定的y

與之對應(yīng)，那么從集合A到集合8的這個對應(yīng)，叫做從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：xf)，=/(x),

xtA.集合A叫做函數(shù)的定義域，記為。，集合｛小=/(工)，/€川叫做值域，記為C.

(2)函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.

(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為y=f(x),x^D

(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則.

(5)同一函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)法則都相等時，兩個函數(shù)才相同.

2,基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

(3)對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

(4)零次幕或負指數(shù)次易的底數(shù)不為零；

(5)三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是R,且xw區(qū)+/,kwz｝；

(6)已知/(x)的定義域求解/［g(x)］的定義域，或已知/［晨切的定義域求f(x)的定義域，遵

循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應(yīng)法則J下，括號內(nèi)式子的范圍相同；

(7)對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.

3.基本初等函數(shù)的值域

(1))，=履+6(4工0)的值域是/?.

(2)丫=於2+隊+。3=0)的值域是：當(dāng)a>0時，值域為｛乂；當(dāng)avO時，值域為

4ac-b2

｛乂”).

4a

(3)y=1(AH0)的值域是｛加0｝.

(4)y=優(yōu)3>0且a工1)的值域是(0,+8).

(5)丫=1。801(4>0且。工1)的值域是員.

4.分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決,

即分段函數(shù)問題，分段解決.

【題型歸納目錄】

題型一：函數(shù)的概念

題型二：同一函數(shù)的判斷

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

題型四：抽象函數(shù)定義域

題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用

題型六：函數(shù)解析式的求法

L待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）

2.換元法或配湊法（適用于了丹g（刈型）

3,方程組法

4.求分段函數(shù)的解析式

5.抽象函數(shù)解析式

題型七：函數(shù)值域的求解

L觀察法

2.配方法

3.圖像法（數(shù)形結(jié)合）

4.基本不等式法

5,換元法（代數(shù)換元與三角換元）

6,分離常數(shù)法

7.判別式法

8,單調(diào)性法

9.有界性法

1。?導(dǎo)數(shù)法

題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用

【典例例題】

題型一：函數(shù)的概念

例I.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)）弓5）的圖象與直線工=1的交點個數(shù)（）

A.至少1個B.至多1個C.僅有1個D.有0個、1個或多個

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的定義判斷.

【詳解】

若1不在函數(shù);（x）的定義域內(nèi)，），可5）的圖象與直線X=1沒有交點,

若1在函數(shù)K6的定義域內(nèi)，）〒/（x）的圖象與直線1=1有1個交點,

故選：B.

例2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是（）

B.(1)(2)(3)C.(1)(3)(4)D.(1)：2)(3)(4)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)的定義，?個自變量值對應(yīng)唯??個函數(shù)值，或者多個自變量值對應(yīng)唯?一個函數(shù)值，顯然只有

（2）不滿足.

故選：C.

（多選題）例3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列對應(yīng)關(guān)系f能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是（）

A.N={-6,T1},=/(1)=-3,=l

B.M=N={x|x>-l},/(x)=2x+l

C./W=TV={1,2,3},f(x)=2x+\

-Lx為奇數(shù),

D.M=Z,N={-l,l},/(x)=

l,x為偶數(shù).

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的定義，逐項判定，即可求解.

【詳解】

對于A中，集合M中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合N中存在唯一的元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成

從集合M到集合N的函數(shù)；

對于B中，集合"={x|xN-l}中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合N={x|xZT）中存在唯一的

元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)；

對于C中，集合M={1,2,3},當(dāng)x=3時，可得"3）=5史N,所以不能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)；

對于D中，集合“二Z中的任一元素，按〃制=?'.網(wǎng)物'，在集合N={T」}有唯一的元素與之對應(yīng),

［Lx為偶數(shù).

所以能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù).

故選：ABD

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的基本概念及判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本概念，結(jié)合函數(shù)的定義逐項判定是解

答的關(guān)鍵，著重考查推理與判定能力，屬于基礎(chǔ)題.

例4.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）將函數(shù)），=2§訪］［￡0,5］）的圖像繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)角a得到曲線了，

當(dāng)。?0,到時都能使丁成為某個函數(shù)的圖像，則6的最大值是（）

A.mB.—C.—JrD.■^兀

6443

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的概念，一個力只能對應(yīng)一個y,所以找到在原點處的切線，使圖像旋轉(zhuǎn)過程中切線不能超過y軸

即可.

【詳解】

解：y=cos楙在原點處的切線斜率為A=1,切線方程為y=x

當(dāng)y=2sin］繞著原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若旋轉(zhuǎn)角。大于（，則旋轉(zhuǎn)所成的圖像與丁軸就會有兩個交點,

則曲線不再是函數(shù)的圖像.

所以。的最大值為：.

4

故選：B.

【點睛】

思路點睛：函數(shù)的關(guān)鍵點：每一個工都有唯一的一個確定的數(shù)y和它對應(yīng)，所以考慮函數(shù)的切線，當(dāng)函數(shù)的

切線超過y軸時，一個工會有2個y和它對應(yīng)，則不滿足情況，所以旋轉(zhuǎn)角度即為切線的旋轉(zhuǎn)角.

例5.(2022?全國?高三專題練習(xí))存在函數(shù)/(力，對于任意xeR都成立的下列等式的序號是.

?/(sin3x)=sinx；(2)/(sin3x)=x3+x2-i-x；?/(x2+2)=|x+2|；@f^x2+4x)=|x+2|.

【答案】④

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)定義逐項判斷①②③，采用換元的方法求解④中/(力的解析式并進行判斷.

【詳解】

①當(dāng)％=0時，/(0)=0；當(dāng)x=?時，/(0)=立，與函數(shù)定義矛盾，不符合；

②當(dāng)入=0時，/(o)=o；當(dāng)x=?時，"°)=(?]+(qJ+f，與函數(shù)定義矛盾，不符合；

③當(dāng)/=-2時，/(6)=0；當(dāng)％=2時，"6)=4,與函數(shù)定義矛盾，不符合；

④令4+2=7,所以4)=’|,令/一4=〃2￡[-4,y),所以i=±Jm+4,

所以/(6)=KJ旅+可=，m+4(,ne[-4,”)),所以/(*)=Jx+4(xe[-4,+co)),符合，

故答案為：④.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于對于函數(shù)定義的理解以及換元法求解函數(shù)解析式的運用，通過說明一個

自變量X的值對應(yīng)兩個不同的/(力的值，判斷出不符合函數(shù)定義；同時在使用換元法求解函數(shù)解析式時，

新元取值范圍的分析不能遺漏.

【方法技巧與總結(jié)】

利用函數(shù)概念判斷

題型二：同一函數(shù)的判斷

例6.(2022?全國?高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

@/(X)=V-2X3g(X)=Xyp2x.?/(A)=xJgg(x)=7?.③/(x)=X。與g(x)=+.?/(X)=X2-2X-1

與g⑺=*—2r-l.

A.①②B.&@C.③④D.①④

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的概念可知同一函數(shù)需滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，因此結(jié)合題H逐個分析即可得到結(jié)果.

【詳解】

對于①=的定義域為(-oo,0),g(x)=xQ的定義域為(-00,0),所以==-小可，

則〃力與g(x)的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一函數(shù)；

對于②g(x)=J7=W，所以/(%)=x與g(x)=J7的對應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一函數(shù)；

對于③〃X)=X°的定義域為{布工0},網(wǎng)力=3的定義域為{斗k0},且〃力=1，g(x)=l，因此函數(shù)

/(力=/與g(x)=%的定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，則是同一函數(shù)；

對于④=f-筋一1的定義域為R,gS=/—2/T的定義域為R,因此函數(shù)/(x)=f一"7與

g(r)="-2r-l的定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，則是同一函數(shù)；

故選：C.

例7.(2022?全國?高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=etnx,gM=x

2-

B.f(x)=---,g(x)=x-2

x+2

C./(x)=x°,g(x)=l

D./(X)=|A|,xe{-\,0,1},g(x)=W,XG{-1,0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義域和同一函數(shù)的定義逐一判斷可得選項.

【詳解】

解：對于A：/(幻的定義域是(0,y),或")的定義域是R,兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，

對于B：/a)=x-2,(XW-2),g(x)的定義域是R,兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，

對于C：〃幻的定義域為{xlxwO},g(x)的定義域是/?,兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，

對于D：/'J)對應(yīng)點的坐標(biāo)為{(TD,(0,0),(1,1)),g(x)對應(yīng)點的坐標(biāo)為{(T1),(0,0),(1,1)},兩個函數(shù)

對應(yīng)坐標(biāo)相同，是同一函數(shù)，

故選：D.

(多選題)例8.(2022?全國?高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是()

〃..[2x,x>0,、

A./(X)=|2A-|,g(x)={B./(x)=x2,g(t)=t~

I-ZX,X<v

Q2[(

C.f(x)=x+^-,g(x)=x+[D.f(x)=x+4,^(X)=----

33x-4

【答案】AB

【解析】

【分析】

確定函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則是否相同即可判斷.

【詳解】

A中兩個函數(shù)定義域都是R,對應(yīng)法則都是乘以2后取絕對值，是同一函數(shù)：

B中兩個函數(shù)定義域都是R,對應(yīng)法則都是取平方，是同一函數(shù)；

C中/⑶定義域是{X|XHO},g(x)的定義域是R,不是同?函數(shù)；

D中/(x)的定義域是R,g(x)的定義域是“1)工4},不是同一函數(shù).

故選：AB.

(多選題)例9.(2022?全國?高三專題練習(xí))在下列四組函數(shù)中，/(X)與g。)不表示同一函數(shù)的是()

r*—1+1

A.f(x)=x-1,g(x)=---B./(x)=|x+l|,g(x)=<

X+\

C.f[x)=\tg(x)=a+l)°D.fW=xtg(x)=(4)2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)同一函數(shù)的要求，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則應(yīng)相同，對四個選項中的兩個函數(shù)分別進行判斷，得

到答案.

【詳解】

A選項，〃力定義域為R,g(x)的定義域為(fo,-l)U(T”)，所以二者不是同一函數(shù)，故A符合題意；

,一:，與g(')定義域相同，對應(yīng)法則也相同，所以二者是同■函數(shù)，故B

不符合題意；

C選項，/(力定義域為R,g")的定義域為(F,T)U(T,E)，所以二者不是同一函數(shù)，故C符合題意；

D選項，/(x)定義域為R，g(x)的定義域為口內(nèi))，所以二者不是同一函數(shù)，故D符合題意；

故選：ACD.

【點睛】

方法點睛：函數(shù)的三要素是定義域，對應(yīng)關(guān)系(解析式)，值域，而定義域和對應(yīng)關(guān)系決定值域，所以判斷

兩個函數(shù)是否相同只需要判斷兩個要素：定義域，對應(yīng)法則是否相同即可.

【方法技巧與總結(jié)】

當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù).

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

例10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為40cm,底邊長是腰長耳切?）的函數(shù)，則

函數(shù)的定義域為（）

A.（10,20）B.（OJO）C.（5J0）D.[5,10）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用兩邊之和大于第三邊及邊長為正數(shù)可得函數(shù)的定義域.

【詳解】

由題設(shè)有y=40—2x,

f40-2x>0

由｛仆r得10<x<20,故選A.

xix>402x

【點睛】

本題考查應(yīng)用題中函數(shù)的定義域，注意根據(jù)實際意義和幾何圖形的性質(zhì)得到自變量的取值范圍.

例11.（2022?全國?河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)“力二心氏（2dLx+14）-2的定義域為-

【答案】（一8,2）u（|,

【解析】

【分析】

根據(jù)偶次根號下的被開方數(shù)大于等于零，分母不為0,根據(jù)真數(shù)列出不等式，進行求解再用集合或區(qū)間的形

式表示出來.

【詳解】

由題意可知log2（2f-9x+14）-2>0,而以2為底的對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，

因此2--9/+14>4,求解可得x<2或

故答案為：S2Ml收）.

例12.（2022.北京.模擬預(yù)測）函數(shù)"x）=ViUT+lg（2-x）的定義域是.

【答案】弓2）

【解析】

【分析】

依據(jù)題意列出不等式組，解之即可得到函數(shù)的定義域

【詳解】

,[2x+l>01

由題意可得，〈八，解之得一7?x<2

[2-x>02

則函數(shù)/（"=在訂+愴（2-力的定義域是[-g,2）

故答案為：[-；,2）

例13.（2022?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)/（力=的定義域為.

【答案】（-co,0]

【解析】

【分析】

根據(jù)具體函數(shù)的定義域求法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】

解：由（g）一120,

所以」40,

所以函數(shù)的定義域為（-8,01，

故答案為：（70，。]

【方法技巧與總結(jié)】

對求函數(shù)定義域問題的思路是：

（1）先列出使式子/（X）有意義的不等式或不等式組；

（2）解不等式組；

13）將解集寫成集合或區(qū)間的形式.

題型四：抽象函數(shù)定義域

例14.（2022?北京?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為（0,1）,則函數(shù)尸（同二川2r-力的定義域

為（）

A.（-oo,l）B.（YO,0）D（0,1）C.（0*）D.[0,1）

【答案】B

【解析】

【分析】

抽象函數(shù)的定義域求解，要注意兩點，一是定義域是x的取值范圍；二是同一對應(yīng)法則下，取值范圍一致.

【詳解】

?.?y=f(x)的定義域為(0,1),2rT<1,即2']，

解得：xvl且工工0,

.?1(力=)(|2"/的定義域為(-co,0)50,1).

故選：B.

例15.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)尸/(爐-4)的定義域是卜1,5],則函數(shù)尸〃2x+l)的定義域

為.

【答案】-|jo

【解析】

【分析】

由函數(shù)y=/(f-4)的定義域是[-1,5],可求爐―4的值域，即函數(shù)/(力的定義域，再由Zv+iq-4,21],

即可求得y=/(2x+l)的定義域.

【詳解】

y=/(X2-4)的定義域是[-L5],則x2-4目-4,21],

即函數(shù)『(4)的定義域為[Y,21],

令2x+l解得X《一|[O].

則函數(shù))，=/(2x+l)的定義域為卜米10.

故答案為：

【點睛】

本題主要考查了抽象函數(shù)定義域的求法，注意理解函數(shù)/(力的定義域與函數(shù)/|>(力]定義域的區(qū)別.

例16.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)y=/(x-1)的定義域為[1,3],則函數(shù)卜=/(1%切的定義域為

()

A.[0,1]B.[1,9]C.[0,2]D.[0,9]

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)“一1與10g3”的取值范圍一致，從而得到183%目0,2],進而求得函數(shù)的定義域.

【詳解】

由“叩,3],得x—l?0,2],

所以logixe[0,2],所以xw[l,9].

故選：B.

例17.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(力的定義域為[-1,2],則函數(shù)8(”=半學(xué)的定義域是()

Vx-1

A.[1,4]B.(U4]C.[L2]D.(1,2]

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得函數(shù)g(x)的定義域.

【詳解】

由于函數(shù)/⑺的定義域為[—1,2],對于函數(shù)g(力=令子，有[_1工0，解得I。".

因此，函數(shù)g(x)=，產(chǎn)")的定義域是(L4].

\Jx-l

故選：B.

、，一心)

例18.(2022.全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(*)的定義域為[3,6],則函數(shù),(,iogl(2-x)的定義域為(

,,+oo?2

【答案】B

【解析】

【分析】

由函數(shù)的定義域得到2%的范圍，根據(jù)分母不為。及被開方數(shù)非負得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集.

【詳解】

解：由函數(shù)/⑶的定義域是[3,6],得到3融x6,

3地“65瓢3

2-x>0gp-2>x

logi(2-x)>0l<x<2

2

解得：

所以原函數(shù)的定義域是：g,2).

故選：B.

【點睛】

本題考查學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)的定義域，考查了對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

例19.(2022.全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)是定義在［2,內(nèi))的單調(diào)遞增函數(shù)，若

/(2￡-5〃+4)</(/+〃+4),則實數(shù)。的取值范圍是().

A.^-JU(2,+oo)B.［2,6)

C.“2,6)D.(0,6)

【答案】C

【解析】

2a2-5a+4>2

根據(jù)函數(shù)的定義域以及單調(diào)性可得上2+。+422,解不等式組即可.

2a2-5a+4<a2+a+4

【詳解】

因為函數(shù)/(力是定義在［2,位)的單調(diào)遞增函數(shù)，且/(2片一5a+4)</(/+a+4),

a<—或〃>2

2<z2-5t?+4>22

所以《a2+a+4>2=>?aeR

2a2-5a+4<a2+a+40<a<6

解得或2Wav6.

故選：C.

例20.(2022.全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的定義域：

⑴已知函數(shù)/(力的定義域為12,2］,求函數(shù)的定義域.

⑵已知函數(shù)y=/(2x+4)的定義域為［0,1］,求函數(shù)“力的定義域.

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為［T2］,求函數(shù)y=/*+l)-“？一1)的定義域.

【答案】⑴『石,石］:

(2)［4,6］：

⑶

【解析】

【分析】

抽象函數(shù)定義域求解，需注意兩點：

①定義域是函數(shù)解析式中自變量“X”的范圍；

②對于同一個對應(yīng)關(guān)系‘7，'了后括號里面式子整體范圍相同.

(l)y=/(x2-l)'Px2-l的范圍和“X)中X范圍相同，/(%)中1范圍是[-2,2]：

⑵/卜)中X的范圍和y=/(2%+4)中2x+4范圍相同，y=/(2x+4)中X范圍是[05；

⑶、=/*+1)-/，-1)中彳+1與均與/⑺中x范圍相同，“X)中x的范圍是[一1,2].

(1)

令一2工大2一1拉得一號爐與，即叱/與，從而一

???函數(shù)y=/*2-i)的定義域為[-6,6].

(2)

???y=/(2x+4)的定義域為。1],即在y=f(2x+4)中“￡[0,1],令A(yù)2什4,xe[0,1],則/￡[4,6],即在

%)中,/e[4,6],

???/?)的定義域為[4,6].

(3)

f-l<x-|-l<2廣

由題得<：.-43<X<\，

-1<x2-1<2

???函數(shù)y=/(X+1)-/(X2-1)的定義域為[-73,1].

【方法技巧與總結(jié)】

1.抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若/3)的定義域為(人為，

求/Ig(x)]中〃<g(x)vb的解X的范圍，即為)[g(x)]的定義域，口訣：定義域指的是X的范圍，括號范圍相

同.已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域

2.若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求

出各個函數(shù)的定義域，再求交集.

題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用

，/、2/+,+a

例21.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=77^―V的定義域為R，WJ實數(shù)。的取值范圍是()

InI2+aI

A.(-2,2)B.(-1,-K?)C.(-2,-1)D.(-2,-1)<J(-1,-KO)

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意得到之2+a恒成立，根據(jù)定義域為R得到2+a>0恒成立，且滿足

+,

In（2川+可工0n2?兒+。=1,2^制-a,解出。得范圍，二者取交集即可.

【詳解】

因為2山+422+4，"X）的定義域為火，

所以首先滿足2+a>0恒成立，

再者滿足ln（2*"+a）/0=2?+,+〃工1,變形得到2,、工1一《丁2"?2,4oo）」.l-a<2

:.a>-\,最終得到a>-l.

故選：B.

例22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=J（m+l）f+；的定義域為R,則優(yōu)的取值范

圍是［）

A.-\<m<2B.-l</w<2C.-\<m<2D.—1<w<2

【答案】C

【解析】

【分析】

3

由（陽+1一（加+］）%+^20在R上恒成立，分〃2+1=0和〃?+1H0結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可..

【詳解】

由題意得：（小+1）/-（m+1）%+^20在N上恒成立.

帆+1=0即加=-1時，/（%）=3恒成立,符合題意，

"7+1>0

m+1/0時,只需（

A=(/??+1)2-3(6+1)<0

解得:

綜上：mtEi,2］,

故選：C.

（多選題）例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)），=上有意義,則實數(shù)。

可能的取值是（）

A.-1B.1C.3D.5

【答案】AB

【解析】

【分析】

該題可等價于2+1N0在區(qū)間［-2,-I］上恒成立，分離參數(shù)即可求得.

【詳解】

函數(shù)），=

等價于￡+120在區(qū)間上恒成立，

由x<0得在區(qū)間［-2,-1］上恒成立，所以,

故選：AB.

例24.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=----^的定義域是R,則。的取值范圍是.

【答案】［0,4）

【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，可知當(dāng)定義域為R時，說明公2+公+1>。在及上恒成立，則對。進行分類討論，確定

滿足條件的。的范圍.

【詳解】

由題意可得如2+or+1>0在R上恒成立.

①當(dāng)6=0時，則1>0恒成立，

.?.。=0符合題意；

②當(dāng)日/0時，

（a>0

則，/n*解得。<"4.

［a--4a<0

綜上可得0〈。<4,

，實數(shù)〃的取值范圍為［0,4）.

故答案為：［0,4）.

【點睛】

a>0

不等式底+法+c>o的解是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)。=0時，5=0,c>0;當(dāng)。工0時，L八；不

A<0

a<0

等式法2+bx+cvO的解是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是當(dāng)歸0時，Q0,c<0：當(dāng)"0時，｛A八.

A<0

例25.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（4）=lg（F?l+奴）的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】［7,1］

【解析】

【分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,得出廬門+奴>0恒成立，利用構(gòu)造函數(shù)法結(jié)合圖象求出不等式恒成立時〃

的取值范圍.

【詳解】

解：函數(shù)f(x)=lg(J7，T+ai)的定義域為R，

:.Vx2+1+城>。恒成立,

+E>-然恒成立,

設(shè)y=V?W，x￡R，V-/=l，y>h它表示焦點在y軸上的雙曲線的一支，且漸近線方程為)，=七；

令y=-or,xGR；它表示過原點的直線：

由題意知，直線)，=-”的圖象應(yīng)在,，=正71的下方，畫出圖形如圖所示;

：.0<-a<\或-IW-OVO,

解得-:

???實數(shù)。的取值范圍是L1,1].

故答案為[-1,1].

【點睛】

本題考查了不等式恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

【方法技巧與總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問遨求解，必要時對

參數(shù)進行分類討論.

題型六：函數(shù)解析式的求法

【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：

(1)當(dāng)已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解.

(2)當(dāng)已知表達式為/[g(x)]時，可考慮配湊法或換元法，若易將含x的式子配成g(x),用配湊法.

若易換元后求出x,用換元法.

[3)若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.

14)求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求.

(5)當(dāng)出現(xiàn)大基團換元轉(zhuǎn)換繁瑣時，可考慮配湊法求解.

：6)若已知成對出現(xiàn)/(x),yd)或f(x),/(-X),類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構(gòu)造

X

另一個方程，消元的方法求出了。).

L待定系數(shù)法(函數(shù)類型確定)

(多選題)例26.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)是一次函數(shù)，滿足/(/(%))=9x+8,則

的解析式可能為()

A./(%)=3x4-2B.f(x)=3x-2

C./(x)=-3x+4D./(x)=-3x-4

【答案】AD

【解析】

【分析】

設(shè)f3=履+6,代入/(/(力)=9/8列方程組求解即可.

【詳解】

設(shè)/(》)=去+匕，

由題意可知/(/(%))=&(八+b)+b=/x+妨+b=9%+8,

公=9

所以《

kb+b=8

所以〃制=3x+2或〃x)=-31.

故選：AD.

例27.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)。=歡)是一次函數(shù),若?0)=1,且/(DJ(4)J(13)成等比數(shù)列,則

/(2)+/(4)+…+/(2〃)等于()

A.〃(2〃+3)B.〃(〃+4)

C.2M2〃+3)D.2〃(〃+4)

【答案】A

【解析】

由已知可以假設(shè)一次函數(shù)為y=h+l,在根據(jù)/(1),/(4)J(13)成等比數(shù)列，得出％=3,利用等差數(shù)列的求

和公式求解即可.

【詳解】

由已知，假設(shè)/3)=右+以伏工0)

??,/(0)=I=AX0+6,；.b=\.

???f(DJ(4)J(13)成等比數(shù)列,

且f(1)=k+1,f(4)=4k+1J(13)=13k+1.

.?+l,4&+1,134+1成等比數(shù)列,即(縱+1)2=(攵+1)(13A+1),

16S+1+8Z=I3X+14Z+1,從而解得4=0（舍去），k=2,

/（2）+/（4）+...+/（2n）

=（2x2+l）+（4x2+l）+...+（2nx2+l）

=（2+4+…+2n）x2+〃

.小"+1）「/八

=4x-----+n=2/7（M+1）+n

2

=3M+2n2=n（2n+3）.

故選：A.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列和函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，解題時要認真審題，仔細解

答，避免錯誤，屬于中檔題.

例28.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知〃力為二次函數(shù)，/（O）=O,/（2x+l）-/（x）=x2+3x+2,求/（x）

的解析式.

【答案】/（%）=#+3

【解析】

【分析】

設(shè)〃%）二奴2+笈+。，由已知建立關(guān)系求出。，尻C即可.

【詳解】

解：因為“X）為二次函數(shù)，所以設(shè)f（力=加+bx+c,因為"0）=0,所以c=0,

所以〃力=加+區(qū),

所以/（2x+l）=a（2x+l）"+/?（2x+l）=4tu2+（4a+2/?）x+（a+b）,

因為f（2x+l）-f（x）=x2+3x+2,所以30￥2+（4^+。）]+（。+8）=工2+3%+2,

所以%=1,癡+6=3,a+b=2,所以a=g,b=g，所以f（力=：/+gx.

2.換元法或配湊法（適用于了/[g（￡”型）

例29.（2022.陜西西安.高三階段練習(xí)（文））已知/（工+1）=1/，則/（力=?）

A.ln（x+l）2B.21n（x+l）

C.21n|x-l|D.In'-l）

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，利用換元法求出/(X)即可作答.

【詳解】

因〃x+l)=ln￥2,則設(shè)x+l=r,有x=[-l,而工工0,則有1工1,

于是得了⑺=ln(?1)2=2In|-11,

所以/(x)=21n|x-l|,xwl,

故選：C

例30.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(公)=f，則的解析式為()

A.〃力=71^(4~1)B.=

C〃力=舟■IT)D./(司=一e"(工工-1)

【答案】A

【解析】

【分析】

令’=^，則％=三，代入已知解析式可得FW的表達式，再將，換成“即可求解.

【詳解】

AI—X|1一1

號t=:—,m則|”=;—,

l+x1+r

2T

所以“力=擊(1工一1)，

故選：A.

例31.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“力滿足〃8SX-1)=8S2X-1,則〃力的解析式為()

A./(x)=2x2+4x(-2<x<0)B.f(x)=2x2+4X(XER)

C./(x)=2x-\(-2<x<0)D./(x)=2x-l(xe7?)

【答案】A

【解析】

利用換元法，Scosx-l=re[-2,0],將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于，的關(guān)系式，進行整理即得了(力的解析式.

【詳解】

函數(shù)J(%)滿足/(cosx-l)=cos2x-l=2cos2x-i-i=2cos2x-2,

設(shè)cosx-l=r,則cosx=f+l,由8sxe|-l』]知fw|-2,0],

故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為〃f)=2(f+l)2-2=2/+4z.re[-2.0].

即/(X)的解析式為f(力=2X2+4x(-2<J<0).

故選：A.

例32.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(&+2)=x+46+5,則/(*的解析式為

【答案】/(X)=X2+1(X>2)

【解析】

【分析】

令y+2=t,則fN2,且x=("2『，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的表達式，再將/換成%即可求解.

【詳解】

令4+2=，，貝i」fN2,且x=(r—2)2,

所以『(f)=?-2『+4"-2)+5=r+1,(f>2)

所以〃x)=%2+1(x22),

故答案為：/(X)=X2+1(X>2).

<|A]

例33.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知/x——=/+則函數(shù)外尸_______,/(3)=_______

VX)x

【答案】丁+211

【解析】

【分析】

利用換元法可求出/(X)，進一步可得〃3).

【詳解】

令工一1=1,則/+3=*—4)2+2=/+2,

XXX

所以『。)=『+2,所以/。)=/+2,

所以『(3)=32+2=11.

故答案為：X2+2；11.

例34.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知=f—2X+3,則/(3)=(>

A.6B.3C.11D.10

【答案】C

【解析】

利用拼湊法求出f(x)解析式，即可得出所求.

【詳解】

?.?/(|X-1|)=X2-2X+3=(X-1)2+2=|A:-1|2+2,

?/(A)=X2+2,

.J⑶=32+2=11.

故選：C.

例35.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知/(f)=1理24，貝iJ/(8)=()

A.gB.-C.-D.—

【答案】A

【解析】

先利用換元法求函數(shù)解析式，再代入自變量計算函數(shù)值即可.

【詳解】

6

由題設(shè)可知：/(x)=log2x,令_?=’，(>0,則x=6，則/"xiog?"=5og?，，

故〃8)=士I1嗚8=3?=丞I

oo2

故選：A.

3,方程組法

例36.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/⑴的定義域為R,且f(x)+2/(r)=/7,則/(x)=()

.x:+2x八2x2-2x2+2x_JT

A.-----B.——+xC.-------D.一+x

3333

【答窠】D

【解析】

【分析】

令％為T,則f(—x)+2f(x)=f+x,然后與fCv)+2f(r)=f_x聯(lián)立可求出了(X)

【詳解】

令x為r,則f(—x)+2/(x)=/+x,

與f(x)+2f(-X)=V聯(lián)立可解得，/(x)=y+x.

故選：D.

例37.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)對戶0的一切實數(shù)均有/("-2?)=3%，則/(2018)

等于

A.2016B.-2016C.-2017D.2017

【答案】B

【解析】

【分析】

將x換成型曳再構(gòu)造一個等式，然后消去了(竺竺)，得到/(%)的解析式，最后可求得了(2018).

【詳解】

.?小)+2八拳f①

”型)+2f(x)=^5②

XX

???①-②x2得-3/(x)=3x-3x2x2018

2x2018

/(x)=-x+

/(2018)=-2018+2=-2016

故選：B.

【點睛】

本題考查求解析式的一種特殊方法：方程組法.如已知如(x)+"(L)=g(x),求/(*),則由已知得

X

af(L)+bf(x)=g(L)t把/⑶和八3作為未知數(shù)，列出方程組可解出〃”).如已知叭%)+"(-x)=g(x)也

XXX

可以用這種方法求解析式.

例38.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x),g。)滿足/。)-2/(目=21-%且f(x)+g(x)=x+6,

則/(D+g(-l)=.

【答案】9

【解析】

根據(jù)方程組法求解函數(shù)/(“)的解析式，代入求出/⑴，/(-I),再利用/(-I)代入求出g(-D.

【詳解】

由/⑶-2/6)=2尸：可知-2〃X)=：-4X,聯(lián)立可得/(X)=2X,所以〃1)=2,”-1)=-2又因

為/(—D+g(—l)=-1+6=5,所以g(—l)=5+2=7,所以f(l)+g(_l)=9.

故答窠為：9

例39.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知3f(力+5/(￡]=；+1,則函數(shù)4工)的解析式為.

35I

【答案]/W=-—

OAOO

【解析】

以T代替X得出3/(：)+5/(x)=2x+l,與已知等式聯(lián)立，解出函數(shù)人))的解析式.

【詳解】

V3/(x)+5/^=|+l,①

3/(—)+5/(x)=2x+l,②

①x3-②x5,得:

-16/(x)=--10x-2,

x

.\351

..f(x)=-----+-x+-

''8x88

3S1

故答案為：/(^)=-—+-^+~

OAOO

4.求分段函數(shù)的解析式

x,-l<x<0

例40.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（力=<

J+10<x<r若函數(shù)y=/(H-力在區(qū)間(TI)內(nèi)

J(i)，

有且僅有兩個零點，則實數(shù)，的取值范圍是（）

A.B.（-<?,0）C.（一（，°

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出分段函數(shù)在（-11）上得解析式，進而根據(jù)解析式做出函數(shù)圖象，由于函數(shù)y=/（x）-2r在區(qū)間（-“）內(nèi)

有且僅有兩個零點等價于函數(shù)/