2025年人教版（2024）高三數(shù)學下冊月考試卷含答案

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年人教版（2024）高三數(shù)學下冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、在復平面內，復數(shù)z=所對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在點P，使得D1P⊥PC，則AD的取值范圍是（）A.[1，2）B.C.（0，1]D.（0，2）3、函數(shù)y=的定義域是（）

A.（-3；2）∪（2，3）

B.[-3；2）∪（2，3]

C.[-3；3]

D.（-3；3）

4、直線y=x+3與曲線-+=1交點的個數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

5、兩個正數(shù)a、b的等差中項是2，一個等比中項是則雙曲線的離心率是（）

A.

B.

C.

D.或

6、已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、【題文】已知～且則等于()A.B.C.D.評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)8、若正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球O的體積為4π，則球心0到正方體的一個面ABCD的距離為____．9、定義在R上的函數(shù)，則Sn=____．10、在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為____．11、【題文】所有真約數(shù)（除本身之外的正約數(shù)）的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)．

如：

．

已經證明：若是質數(shù)，則是完全數(shù)，請寫出一個四位完全數(shù)____；又所以的所有正約數(shù)之和可表示為

所以的所有正約數(shù)之和可表示為

按此規(guī)律，的所有正約數(shù)之和可表示為____．12、已知拋物線C：y2=8x，O為坐標原點，直線x=m與拋物線C交于A，B兩點，若△OAB的重心為拋物線C的焦點F，則|AF|=______．評卷人得分三、判斷題(共9題，共18分)13、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．14、函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)．____（判斷對錯）15、已知函數(shù)f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）16、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．17、函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)．____（判斷對錯）18、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，則5∈A．____．19、空集沒有子集．____．20、任一集合必有兩個或兩個以上子集．____．21、若b=0，則函數(shù)f（x）=（2k+1）x+b在R上必為奇函數(shù)____．評卷人得分四、解答題(共1題，共6分)22、【題文】如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長為側棱長為是棱的中點.

。

。

(Ⅰ)求證:平面（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離.

評卷人得分五、證明題(共3題，共6分)23、已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b；x∈[0，1]．

（Ⅰ）當a=b=2時；求函數(shù)f（x）的最大值；

（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）的最大值|2a-b|+a；

（Ⅲ）證明：f（x）+|2a-b|+a≥0．24、用數(shù)學歸納法證明+++=，n是正整數(shù)，假設n=k時，等式成立，則當n=k+1時，應推證的目標等式是____．25、若正整數(shù)數(shù)列1，2，3，，2n（n∈N*）中各項的最大奇數(shù)因子的和為an﹒求證：參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、D【分析】【分析】化簡復數(shù)為a+bi的形式，即可判斷對應點所在象限．【解析】【解答】解：復數(shù)z==（1-i）-i=-i；

復數(shù)對應點為（，-）在第四象限．

故選：D．2、C【分析】【分析】建立空間直角坐標系，設AD=a，求出、，利用?=0求出a的范圍．【解析】【解答】解：如圖建立坐標系；

設AD=a（a＞0）；AP=x（0＜x＜2）；

則P（a；x，2），C（0，2，2）；

∴=（a，x，2），=（a；x-2，0）；

∵D1P⊥PC；

∴?=0；

即a2+x（x-2）=0，a==；

當0＜x＜2時；a∈（0，1]．

故選：C．3、B【分析】

要使函數(shù)有意義，則有

所以-3≤x≤3且x≠2；所以函數(shù)的定義域為[-3，2）∪（2，3]．

故選B．

【解析】【答案】利用函數(shù)的性質確定函數(shù)的定義域；分母不等于0，偶次根式大于0，然后求交集．

4、C【分析】

當x≥0時，曲線方程是．

這是焦點在y軸上的雙曲線的右邊的一半；

當x≤0時，曲線方程是．

這是焦點在y軸上的橢圓在y軸的左邊的一半；

直線y=x+3是經過點（0，3）（雙曲線和橢圓的共同頂點）斜率是的直線；

由此直線和曲線有三個不同的交點（其中一個是頂點對應x=0）．

故選C．

【解析】【答案】當x≥0時，曲線方程是．這是焦點在y軸上的雙曲線的右邊的一半；當x≤0時，曲線方程是．這是焦點在y軸上的橢圓在y軸的左邊的一半；直線y=x+3是經過點（0，3）（雙曲線和橢圓的共同頂點）斜率是的直線；由此能得到直線和曲線有不同的交點的個數(shù)．

5、D【分析】

∵兩個正數(shù)a、b的等差中項是2，一個等比中項是

∴∴a=1，b=3或a=3，b=1．

當a=1，b=3時，雙曲線方程是

當a=3，b=1時，雙曲線方程是．

故選D．

【解析】【答案】由兩個正數(shù)a、b的等差中項是2，一個等比中項是知所以a=1，b=3或a=3，b=1．由此能求出答案．

6、A【分析】【解析】試題分析：由命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面可得到命題乙：直線EF和GH不相交成立，可用反證法證明；當命題乙：直線EF和GH不相交時命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面不成立，例如EF∥GH考點：充分條件與必要條件【解析】【答案】A7、A【分析】【解析】

試題分析：∵～∴∴故選A

考點：本題考查了二項分布。

點評：熟練掌握二項分布列的期望、方差公式是解決此類問題的關鍵，屬基礎題【解析】【答案】A二、填空題(共5題，共10分)8、略

【分析】【分析】根據(jù)球的體積公式算出球的半徑R=，從而得到正方體的對角線長為2，可得正方體的棱長為2．再由球心O是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心，得到點O到正方體的一個面的距離等于正方體棱長的一半，從而算出答案．【解析】【解答】解設球O的半徑為R，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a；

∵正方體ABCD-A1B1C1D1內接于球O；

∴正方體的對角線長等于球O的直徑，可得2R=a．

又∵球O的體積為4π；

∴V=?R3=4π，解得R=；

由此可得a=2R=2；解得a=2．

∵球O是正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球；

∴點O是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心；

可得點O到正方體的一個面的距離等于正方體棱長的一半，即d=a=1．

因此；球心O到正方體的一個面ABCD的距離等于1．

故答案為：1．9、略

【分析】【分析】由已知條件推導出f（x）=1-，f（）+f（）=1，由此能求出結果．【解析】【解答】解：在R上的函數(shù)；

∴f（x）=1-；

∴f（）+f（）=1；當n為奇數(shù)時，即總共有n-1項，項數(shù)為偶數(shù)；

則sn=；

而當n為偶數(shù)時；即項數(shù)為奇數(shù)；

那么我們知道兩邊相加共可以產生個1．

中間項是f（）=f（）；

∴Sn=1?+=．

綜上所述，即無論n為奇數(shù)還是偶數(shù)，．

故答案為：．10、略

【分析】

平面上；若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4；

類似地；由平面圖形面積類比立體圖形的體積，得出：

在空間內；若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為1：8

故答案為：1：8．

【解析】【答案】根據(jù)平面與空間之間的類比推理；由點類比點或直線，由直線類比直線或平面，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合三角形的面積比的方法類比求四面體的體積比即可．

11、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）由若是質數(shù)，則是完全數(shù)可知，是質數(shù)，所以是完全數(shù)。（2）因為所以的所有正約數(shù)之和可表示為

考點：合情推理。【解析】【答案】12、略

【分析】解：由題意可知：拋物線C：y2=8x；焦點坐標為F（2，0）；

由△OAB的重心為拋物線C的焦點F；

則丨OD丨=3，丨DF丨=1，A點縱坐標y=2

則丨AF丨===5；

故答案為：5．

由三角形的重心公式及拋物線的焦點坐標；求得丨OF丨及丨DF丨，代入拋物線方程求得丨AD丨，利用勾股定理即可求得|AF|．

本題考查拋物線的性質及三角形重心的應用，考查計算能力，屬于基礎題．【解析】5三、判斷題(共9題，共18分)13、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．14、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù)；

故答案為：×15、√【分析】【分析】已知函數(shù)f（x）=ax-1+4，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√16、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．17、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù)；

故答案為：×18、×【分析】【分析】判斷5與集合A的關系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5?Z；所以5∈A錯誤．

故答案為：×19、×【分析】【分析】根據(jù)空集的性質，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根據(jù)題意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；則原命題錯誤；

故答案為：×．20、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集，故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個子集，故錯誤．

故答案為：×．21、√【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可作出判斷．【解析】【解答】解：當b=0時；f（x）=（2k+1）x；

定義域為R關于原點對稱；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)．

故答案為：√．四、解答題(共1題，共6分)22、略

【分析】【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線面平行和二面角的求解以及點面距離的求解運算。

證明：(Ⅰ)連結與交于

則為的中點，為的中點，為的中位線，//又平面平面//平面

（Ⅱ）(解法1)過作于由正三棱柱的性質可知；

平面連結在正中，

在直角三角形中，

由三垂線定理的逆定理可得則為二面角的平面角；

又得

∴故所求二面角的大小為【解析】【答案】（1）見解析；（2）五、證明題(共3題，共6分)23、略

【分析】【分析】（Ⅰ）求出當a=b=2時；f（x）的解析式，求出對稱軸，求得端點的函數(shù)值，可得f（x）的最大值；

（Ⅱ）求出對稱軸；討論區(qū)間和對稱軸的關系，結合單調性，可得最大值；

（Ⅲ）要證f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立，只需證f（x）min+|2a-b|+a≥0，設f（x）的最小值為m，最大值為M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a，求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關系，可得最值，即可證明M+m＞0．【解析】【解答】解：（Ⅰ）當a=b=2時，f（x）=8x2-4x；x∈[0，1]．

對稱軸為x=；f（0）=0，f（1）=4；

可得f（x）的最大值為4；

（Ⅱ）證明：f（x）的對稱軸為x=；

當＞1時；區(qū)間[0，1]為減區(qū)間；

可得f（x）的最大值為f（0）=b-a；

由b＞4a＞2a，可得|2a-b|+a=b-2a+a=b-a；

則f（0）=|2a-b|+a；

當＜0時；區(qū)間[0，1]為增區(qū)間；

可得最大值為f（1）=3a-b；

由b＜0，可得|2a-b|+a=2a-b+a=3a-b=f（1）；

當0≤≤1時，區(qū)間[0，]為減區(qū)間，[；1]為增區(qū)間；

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值為f（1）=3a-b=|2a-b|+a；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值為f（0）=b-a=|2a-b|+a．

綜上可得函數(shù)f（x）的最大值|2a-b|+a；

（Ⅲ）證明：要證f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立；

只需證f（x）min+|2a-b|+a≥0；

設f（x）的最小值為m，最大值為M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a；

由f（x）的對稱軸為x=；

當＞1時，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，可得m=f（1）=3a-b；

則M+m=b-2a+a+3a-b=2a＞0；

當＜0時，區(qū)間[0，1]為增區(qū)間，可得m=f（0）=b-a；

M=f（1）=3a-b；則M+m=2a＞0；

當0≤≤1時，區(qū)間[0，]為減區(qū)間，[