第24講 進(jìn)位制（教師版）

第24講進(jìn)位制（教師版）一、第24講進(jìn)位制1.化(5326)8為十進(jìn)制．【答案】解：(5326)8=5×83+3×82+2×8+

=2774．反過(guò)來(lái)，十進(jìn)制化g進(jìn)制，用除法．【解析】【分析】一般地，g進(jìn)制化十進(jìn)制可以寫(xiě)成（a0a1……an）g=a0×gn+a1×gn-1+……+an×g，將g=8代入，計(jì)算即可.2.將2774化為八進(jìn)制中的數(shù)．【答案】解：作除法(這種寫(xiě)法常稱(chēng)為短除法)：由此可見(jiàn)2774=5×83+3×82+2×8+6=(5326)8．也就是將余數(shù)從下往上寫(xiě)(5可以看作再除一次8，所得的余數(shù))，便得出八進(jìn)制中的數(shù)5326．二進(jìn)制由于只有兩個(gè)數(shù)字，可以用兩種狀態(tài)(例如電路的開(kāi)關(guān))模擬．二進(jìn)制的運(yùn)算也十分簡(jiǎn)單，因而應(yīng)用十分廣泛，尤其在計(jì)算機(jī)中，基本上都用二進(jìn)制與八進(jìn)制．二進(jìn)制的四則運(yùn)算與十進(jìn)制基本相同，只是在加減運(yùn)算中，“逢十進(jìn)一”改為“逢二進(jìn)一”．在乘除運(yùn)算中，乘法口訣只剩一句：“一一得一”．完全不需要背乘法表．當(dāng)然，0乘任何數(shù)，積為0．【解析】【分析】用短除法將2774除以8所得的余數(shù)，也就是將余數(shù)從下往上寫(xiě)便得出八進(jìn)制中的數(shù)．3.

計(jì)算：（1）(111)2×(101)2；（2）(100011)2÷(101)2．【答案】（1）解：采用豎式(為簡(jiǎn)便計(jì)，略去(

)2)：∴(111)2×(101)2=(100011)2．

（2）解:

∴(100011)2÷(101)2=(111)2．不僅十進(jìn)制與g進(jìn)制可以互化，任意兩種進(jìn)位制都可以互化.【解析】【分析】（1）先將111×101用豎式計(jì)算，根據(jù)二進(jìn)制“逢二進(jìn)一”，計(jì)算即可得出答案.

（2）先將100011÷101用豎式計(jì)算，根據(jù)二進(jìn)制“逢二進(jìn)一”，反之，“借一當(dāng)二”，計(jì)算即可得出答案.4.化八進(jìn)制數(shù)(1532)8為四進(jìn)制。【答案】解：解法一(1532)8=1×83+5×82+3×8+2

=512+320+24+2

=858，

所以(1532)8=(31122)4，解法二也可以將8的冪直接換成4的冪．(1532)8=83+5×82+3×8+2

=2×44+(1+4)×43+(2+4)×4+2

=2×44+(44+43)+(42+2×4)+2

=3×44+43+42+2×4+2

=(31122)4解法三8與4都是2的冪，可以借助二進(jìn)制．(1532)8=(1000000000)2+(101)2×(1000000)2+(11)2×(1000)2+(10)2=(1101011010)2=(31122)4．最后一步二進(jìn)制化四進(jìn)制的辦法是先將二進(jìn)制的數(shù)從右到左每?jī)晌蛔鳛橐还?jié)：

11，01，01，10，10，每一節(jié)變?yōu)樗倪M(jìn)制的一個(gè)數(shù)字：102，011，111×2+1=3．n位的二進(jìn)制數(shù)，共有2n個(gè)，最小的為0，最大的為2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．所以，位數(shù)不超過(guò)n的二進(jìn)制數(shù)恰好是十進(jìn)制中的0到2n-1的2n個(gè)整數(shù)．如果用1克，2克，22克，…，2n-1克這n個(gè)砝碼來(lái)稱(chēng)物體，而砝碼只允許放在天平的一邊，那么根據(jù)上面所說(shuō)，可以稱(chēng)出不超過(guò)2n-1克的所有整數(shù)重量．【解析】【分析】分析可先將八進(jìn)制化為十進(jìn)制，再由十進(jìn)制化為四進(jìn)制．5.用一架天平，要稱(chēng)出1克至100克之間的所有整數(shù)克的重量，至少需要多少砝碼(砝碼可以放在天平的任一邊)?【答案】解：用重量為a、b、c、d克的四個(gè)砝碼，可以稱(chēng)出的重量為|ax+by+cz+du|

②克，

其中x可取0(即不用砝碼盤(pán)a)、1(砝碼a放在右盤(pán))、-1(砝碼a放在左盤(pán))這3個(gè)值．

y、z、u也是如此，因此，②至多有3×3×3×3個(gè)不同的值．由于其中有一個(gè)為0(x=y=z=u=0)，并且在x、y、z、u同時(shí)變號(hào)時(shí)，②的值不變，實(shí)際上②只有(3×3×3×3+1)=41個(gè)值，即至多稱(chēng)出41種重量．要稱(chēng)出1～100克這100種重量，至少要5個(gè)砝碼．另一方面，不難驗(yàn)證用重量為1、3、9、27的砝碼可以稱(chēng)出1～40克的重量(例如37=27+9+3-2)．

再加1個(gè)60克的砝碼就可以稱(chēng)出1～100克的重量(例如56=60-(3+1))．當(dāng)然，1、3、9、27、60并不是唯一的解，用重為1、3、9、27、81克的5個(gè)砝碼也能稱(chēng)出1～100克的整數(shù)重量．【解析】【分析】首先說(shuō)明4個(gè)砝碼不夠．然后舉出5個(gè)砝碼可以稱(chēng)出1～100克的例子