第24講 進位制（教師版）

第24講進位制（教師版）一、第24講進位制1.化(5326)8為十進制．【答案】解：(5326)8=5×83+3×82+2×8+

=2774．反過來，十進制化g進制，用除法．【解析】【分析】一般地，g進制化十進制可以寫成（a0a1……an）g=a0×gn+a1×gn-1+……+an×g，將g=8代入，計算即可.2.將2774化為八進制中的數(shù)．【答案】解：作除法(這種寫法常稱為短除法)：由此可見2774=5×83+3×82+2×8+6=(5326)8．也就是將余數(shù)從下往上寫(5可以看作再除一次8，所得的余數(shù))，便得出八進制中的數(shù)5326．二進制由于只有兩個數(shù)字，可以用兩種狀態(tài)(例如電路的開關(guān))模擬．二進制的運算也十分簡單，因而應(yīng)用十分廣泛，尤其在計算機中，基本上都用二進制與八進制．二進制的四則運算與十進制基本相同，只是在加減運算中，“逢十進一”改為“逢二進一”．在乘除運算中，乘法口訣只剩一句：“一一得一”．完全不需要背乘法表．當(dāng)然，0乘任何數(shù)，積為0．【解析】【分析】用短除法將2774除以8所得的余數(shù)，也就是將余數(shù)從下往上寫便得出八進制中的數(shù)．3.

計算：（1）(111)2×(101)2；（2）(100011)2÷(101)2．【答案】（1）解：采用豎式(為簡便計，略去(

)2)：∴(111)2×(101)2=(100011)2．

（2）解:

∴(100011)2÷(101)2=(111)2．不僅十進制與g進制可以互化，任意兩種進位制都可以互化.【解析】【分析】（1）先將111×101用豎式計算，根據(jù)二進制“逢二進一”，計算即可得出答案.

（2）先將100011÷101用豎式計算，根據(jù)二進制“逢二進一”，反之，“借一當(dāng)二”，計算即可得出答案.4.化八進制數(shù)(1532)8為四進制?！敬鸢浮拷猓航夥ㄒ?1532)8=1×83+5×82+3×8+2

=512+320+24+2

=858，

所以(1532)8=(31122)4，解法二也可以將8的冪直接換成4的冪．(1532)8=83+5×82+3×8+2

=2×44+(1+4)×43+(2+4)×4+2

=2×44+(44+43)+(42+2×4)+2

=3×44+43+42+2×4+2

=(31122)4解法三8與4都是2的冪，可以借助二進制．(1532)8=(1000000000)2+(101)2×(1000000)2+(11)2×(1000)2+(10)2=(1101011010)2=(31122)4．最后一步二進制化四進制的辦法是先將二進制的數(shù)從右到左每兩位作為一節(jié)：

11，01，01，10，10，每一節(jié)變?yōu)樗倪M制的一個數(shù)字：102，011，111×2+1=3．n位的二進制數(shù)，共有2n個，最小的為0，最大的為2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．所以，位數(shù)不超過n的二進制數(shù)恰好是十進制中的0到2n-1的2n個整數(shù)．如果用1克，2克，22克，…，2n-1克這n個砝碼來稱物體，而砝碼只允許放在天平的一邊，那么根據(jù)上面所說，可以稱出不超過2n-1克的所有整數(shù)重量．【解析】【分析】分析可先將八進制化為十進制，再由十進制化為四進制．5.用一架天平，要稱出1克至100克之間的所有整數(shù)克的重量，至少需要多少砝碼(砝碼可以放在天平的任一邊)?【答案】解：用重量為a、b、c、d克的四個砝碼，可以稱出的重量為|ax+by+cz+du|

②克，

其中x可取0(即不用砝碼盤a)、1(砝碼a放在右盤)、-1(砝碼a放在左盤)這3個值．

y、z、u也是如此，因此，②至多有3×3×3×3個不同的值．由于其中有一個為0(x=y=z=u=0)，并且在x、y、z、u同時變號時，②的值不變，實際上②只有(3×3×3×3+1)=41個值，即至多稱出41種重量．要稱出1～100克這100種重量，至少要5個砝碼．另一方面，不難驗證用重量為1、3、9、27的砝碼可以稱出1～40克的重量(例如37=27+9+3-2)．

再加1個60克的砝碼就可以稱出1～100克的重量(例如56=60-(3+1))．當(dāng)然，1、3、9、27、60并不是唯一的解，用重為1、3、9、27、81克的5個砝碼也能稱出1～100克的整數(shù)重量．【解析】【分析】首先說明4個砝碼不夠．然后舉出5個砝碼可以稱出1～100克的例子