第22講 加法原理和乘法原理

第22講加法原理和乘法原理一、第22講加法原理和乘法原理（練習題部分）1.書架上有三排書．第一排共有12本書．第二排共有20本書，第三排共有15本書．小明從中取一本書來閱讀．問他有幾種不同的取法?

2.某班有男生18人，女生15人．從中選出一人去參加夏令營，問有多少種不同的選法?

3.第一個口袋中裝2個球，第二個口袋中裝4個球，第三個口袋中裝5個球，球各不相同．

（1）從口袋中任取一個小球，有多少種不同的取法?

（2）從三個口袋中各取一個球，問有多少種不同的取法?

4.如圖，從甲地到乙地有兩條路．從乙地到丙地有三條路．從甲地到丙地有四條路．問從甲地到丙地共有多少種不同的走法?

5.把多項式(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2)展開，展開式中有多少種不同的項?

6.求2000的正約數(shù)的個數(shù)．

7.用1、2、3、4這四個數(shù)字可組成多少個不同的三位數(shù)?

8.將6個人分成甲、乙兩組，每組至少1人．有多少種不同的分法?

9.從南京到上海的某次快車，中途要停靠六個大站．鐵路局要為這次快車準備多少種不同的車票?這些車票中最多有多少種不同的票價?

10.4個人站成一排合影，共有多少種不同的排法?

11.用2、3、4這三個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．（1）求這些三位數(shù)的數(shù)字和的和；

（2）求這些三位數(shù)的和．

12.

2000的正約數(shù)中，有多少個偶數(shù)?13.用數(shù)字0、1、2、3、4可以組成多少個

（1）四位數(shù)?（2）四位偶數(shù)?（3）沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?

（4）沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?（5）沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)?14.三封信，隨機地投入四個信箱中．有多少種不同的投信方法?

15.

5人站成一排照相，其中一人必須站在中間．有多少種站法?

16.有多少個被3整除并且含有數(shù)字9的三位數(shù)?

17.如圖，對地圖中的A、B、C、D、E這五個部分用四種不同的顏色染色．相鄰的部分不能用相同的顏色，不相鄰的部分可以用相同的顏色．有多少種不同的染色方法?

答案解析部分一、第22講加法原理和乘法原理（練習題部分）1.【答案】解：小明從中取一本，共有三種方法：一種是從第一排取，共12種不同的取法；一種是從第二排取，共20種不同的取法；一種是從第三排取，共15種不同的取法；

∴12+20+15=47（種），

答：他有47種不同的取法.

【解析】【分析】做一件事情，完成它有n類辦法；在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第三類辦法中有m3種不同的方法，……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1+m2+m3+……+mn.根據(jù)加法原理計算即可.2.【答案】解：從中選一人，共有兩種選法：一種是從男生選，共有18種選法；一種是從女生選，共有15種選法；

∴18+15=33（種），

答：有33種不同的選法.

【解析】【分析】做一件事情，完成它有n類辦法；在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第三類辦法中有m3種不同的方法，……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1+m2+m3+……+mn.根據(jù)加法原理計算即可.3.【答案】（1）解：從口袋中任取一個小球有三種辦法：第一種是從第一個口袋中取球，共有2種不同的方法；第二種是從第二個口袋中取球，共有4種不同的方法；第三種是從第三個口袋中取球，共有5種不同的方法；

∴2+4+5=11（種）．

答：有1種不同的取法.

（2）解：從三個口袋中各取一個球，可分三步進行：第一步是從第一個口袋中取一球，有2種不同的方法；第二步是從第二個口袋中取一球，有4種不同的取法；第三步是從第三個口袋中取一球，有5種不同的方法；

∴2×4×5=40（種）.

答：有40種不同的取法.

【解析】【分析】使用乘法原理與加法原理的不同之處在于：用加法原理時，完成一件事情有n類辦法，不論用哪一類辦法，都能完成這件事．而用乘法原理時，完成一件事情可分為n步，但不論哪一步，都只是完成這件事情的一部分，只有每一步都完成了；這件事情才得以完成．因此，這n步缺一不可．這就是使用乘法原理還是使用加法原理的主要區(qū)別．4.【答案】解：從甲地到丙地有兩種不同的走法：第一種是從甲地到丙地，有4條路；第二種是從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，故共有2×3=6條路；

∴4+2×3=10（種）.

答：從甲地到丙地共有10種不同的走法.【解析】【分析】從甲地到丙地有兩種不同的走法：第一種是從甲地到丙地，有4條路；第二種需要分成兩步：先從甲地到乙地有2條路，再從乙地到丙地有3條路，根據(jù)加法原理和乘法原理計算即可.5.【答案】解：多項式含a的有3項，含b的有4項，含c的有2項，

∴展開式中不同的項有：3×4×2=24（種）.

【解析】【分析】這個多項式的乘積是有三個部分組成：第一部分含a的有3項，第二部分含b的有4項，第三部分含c的有2項，根據(jù)乘法原理計算即可.6.【答案】解：∵2000=24×53，

∴2000的正約數(shù)個數(shù)是：（4+1）×（3+1）=20（個）.【解析】【分析】對于一個大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個；所以先將2000分解質(zhì)因數(shù)，再依此計算即可.7.【答案】解：百位數(shù)字有4種選法，十位數(shù)字有4種選法，個位數(shù)字有4種選法，

∴4×4×4=64.

∴可組成64個不同的三位數(shù).

【解析】【分析】三位數(shù)分成三步：第一步選百位數(shù)字有4種選法，第二步選十位數(shù)字有4種選法，第三步選個位數(shù)字有4種選法，根據(jù)乘法原理計算即可.8.【答案】解：∵每個人都可分在甲組，也可分在乙組，即有2種分法，根據(jù)乘法原理可得：

2×2×2×2×2×2=64（種），

又∵這64種方法種，有1種是6個人全在甲組，有1種是6個人全在乙組，

∴64-1-1=62（種）.

答：有62種不同的分法.

【解析】【分析】每個人都可以分在甲組或乙組，即有2種分法，根據(jù)乘法原理算出所有分法；然后去掉一些不符題意的；這種做法常常有很好的效果．9.【答案】解：∵中途有6個大站，

∴一共有6+2=8（站），

∴7+6+5+4+3+2+1=28（種），

∴兩個車站的往返車票各一種，即兩種，

∴28×2=56（種），

答：鐵路局要為這次快車準備56種不同的車票；這些車票中最多有28種不同的票價.

【解析】【分析】根據(jù)題意可知從南京到上海一共8個站，從第一站到其他各站有7種，從第二站到下邊各站有6種，從第三站到下邊各站有5種，……，從第七站到下邊各站有1種，根據(jù)加法原理計算單程車票的種類，即可計算往返車票的種類和票價.10.【答案】解：第一個人有4種不同站法，第二個人有3種不同的站法，第三個人有2種不同的站法，第四個人有1種不同的站法，

∴4×3×2=24（種）.

答：共有24種不同的排法.

【解析】【分析】根據(jù)題意可知第一個人有4種不同站法，第二個人有3種不同的站法，第三個人有2種不同的站法，第四個人有1種不同的站法，根據(jù)乘法原理計算即可得出答案.11.【答案】（1）解：百位數(shù)字有3種方法，十位數(shù)字與百位數(shù)字不同，有2種方法，個位數(shù)字與百位、十位數(shù)字不同，有1種方法，

∴3×2×1=6（種），

∴這些三位數(shù)的數(shù)字和的和為：（2+3+4）×6=54.

答：這些三位數(shù)的數(shù)字和的和為54.

（2）解：依題可得三位數(shù)為：432，423，324，342，234，243，

∴這些三位數(shù)的和為：432+423+324+342+234+243=1998.

答：這些三位數(shù)的和為1998.

【解析】【分析】（1）選三位數(shù)分成三步：第一步百位數(shù)字有3種方法，第二步十位數(shù)字與百位數(shù)字不同，有2種方法，第三步個位數(shù)字與百位、十位數(shù)字不同，有1種方法，根據(jù)乘法原理計算即可.

（2）根據(jù)題意寫出所有的三位數(shù)，再將這些數(shù)字加起來即可得出答案.12.【答案】解：∵2000=24×53，

∴2000的正約數(shù)個數(shù)是：（4+1）×（3+1）=20（個），

∴奇約數(shù)有：3+1=4（個），

∴偶約數(shù)有：20-4=16（個）.【解析】【分析】對于一個大于1的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正約數(shù)有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）個；所以先將2000分解質(zhì)因數(shù)，再依此計算即可.13.【答案】（1）解：千位數(shù)字有4種不同的選法，百位數(shù)字有5種不同的選法，十位數(shù)字有5種不同的選法，個位數(shù)字有5種不同的選法，

∴4×5×5×5=500（個）.

答：可以組成500個四位數(shù).

（2）解：個位數(shù)字從0、2、4數(shù)字中選有3種不同的選法，則十位數(shù)字有5種不同的選法，百位數(shù)字有5種不同的選法，千位數(shù)字有4種不同的選法，

∴3×5×5×4=300（種）.

答：可以組成300個四位偶數(shù).

（3）解：∵數(shù)字不能重復(fù)，

∴千位數(shù)字有4種不同的選法，百位數(shù)字與千位數(shù)字不同，則有4種不同的選法，十位數(shù)字與千位、百位數(shù)字不同，則有3種不同的選法，個位數(shù)字與千位、百位、十位數(shù)字不同，則有2種不同的選法，

∴4×4×3×2=96（種）.

答：沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96種.

（4）解：∵數(shù)字不能重復(fù)且為偶數(shù)，

∴①若個數(shù)數(shù)字為0時，則十位數(shù)字與個位數(shù)字不同，則有4種不同的選法；百位數(shù)字與個位、十位數(shù)字不同，則有3種不同的選法；千位數(shù)字與個位、十位、百位數(shù)字不同，則有2種不同的選法，

∴4×3×2=24（種），

②個位數(shù)字從2、4數(shù)字中選有2種不同的選法，則千位數(shù)字與個位數(shù)字不同，則有3種不同的選法，百位數(shù)字與個位、千位數(shù)字不同，則有3種不同的選法；十位數(shù)字與個位、百位、千位數(shù)字不同，則有2種不同的選法，

∴2×3×3×2=36（種），

∴24+36=60（種）.

答：沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有60種.

（5）解：①一位數(shù)有4個；

②兩位數(shù)有4×4=16（個）；

③三位數(shù)有4×4×3=48（個）；

④四位數(shù)有4×4×3×2=96（個）；

⑤五位數(shù)有4×4×3×2×1=96（個）；

∴沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)有：4+16+48+96+96=260（個）.

答：沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)有260.

【解析】【分析】（1）千位數(shù)字有4種不同的選法，百位數(shù)字有5種不同的選法，十位數(shù)字有5種不同的選法，個位數(shù)字有5種不同的選法，根據(jù)乘法原理計算即可.

（2）個位數(shù)字從0、2、4數(shù)字中選有3種不同的選法，則十位數(shù)字有5種不同的選法，百位數(shù)字有5種不同的選法，千位數(shù)字有4種不同的選法，根據(jù)乘法原理計算即可.

（3）由于數(shù)字不能重復(fù)，從而千位數(shù)字有4種不同的選法，百位數(shù)字與千位數(shù)字不同，則有4種不同的選法，十位數(shù)字與千位、百位數(shù)字不同，則有3種不同的選法，個位數(shù)字與千位、百位、十位數(shù)字不同，則有2種不同的選法，根據(jù)乘法原理計算即可.

（4）根據(jù)題意分情況分析：①若個數(shù)數(shù)字為0時，分別寫出十位、百位、千位數(shù)字的不同選法，根據(jù)乘法原理計算即可；

②個位數(shù)字從2、4數(shù)字中選有2種不同的選法，分別寫出十位、百位、千位數(shù)字的不同選法，根據(jù)乘法原理計算即可；再將兩種選法加起來即可.

（5）根據(jù)題意分情況討論：①一位數(shù)；②兩位數(shù)；③三位數(shù)；④四位數(shù)；⑤五位數(shù)；

再分別求出個數(shù)，求和即可.14.【答案】解：每封信都有4種投法，依題可得：

4×4×4=64（種）.

答：有64種不同的投信方法.

【解析】【分析】根據(jù)題意可知每封信都有4種投法，根據(jù)乘法原理計算即可.15.【答案】解：∵一人必須站在中間，

∴第一個人有4種不同的排法，第二個人有3種不同的排法，第四個人有2種不同的排法，第五個人有1種不同的排法，

∴4×3×2=24（種）.

答：有24種站法.

【解析】【分析】根據(jù)題意可知一個人的位置已經(jīng)固定，再將剩余的4人排列，根據(jù)乘法原理計算即可.16.【答案】解：依題可分類討論：

①9在個位：由于需被3整除且個位是9，根據(jù)被3整除的數(shù)，其各位數(shù)字之和也能被3整除的定理，百位和十位數(shù)字之和能被3整除；所以百位和十位組成的兩位數(shù)也能被3整除.百位和十位從10到99，共有90個數(shù)，每3個數(shù)一組，必有一個被3整除，共30個.

②9在十位：同上分析，有30個.

③9在百位：與上面不同的是，個位和十位組成的兩位數(shù)應(yīng)該從00到99，共100個數(shù)，能被3整除的有34個.

以上三種情況有重復(fù)的，那就是9不止一個的時候.

④□99，有3個.

⑤9□9，有4個.

⑥99□，有4個.

⑦999，有1個.

∴共有30+30+34-3-4-4+1=84（個）.

【解析】【分析】根據(jù)題意分情況討論：①9在個位；②9在十位；③9在百位，根據(jù)被3整除的數(shù)的特征分析得出各部