第10講 角（教師版）

第10講角（教師版）一、解答題1.如圖，圖中共有多少個角?【答案】解:從圖中可以看出，最大的角么∠A1OA7，被五條射線OA2，OA3，OA4，OA5，OA6分成6個部分．在數(shù)角的個數(shù)時，要注意不重復(fù)不遺漏．我們可以從左至右，先數(shù)以O(shè)A1，為左邊的角，有∠A1OA2，∠A1OA3，∠A1OA4，∠A1OA5，∠A1OA6，∠A1OA7，共6個．再數(shù)以O(shè)A2為左邊的角，有∠A2OA3，∠A2OA4，∠A2OA5，∠A2OA6，∠A2OA7，共5個．依此類推，以O(shè)A3，OA4，OA5，OA6為左邊的角，分別有4，3，2，1個．所以圖中共有角6+5+4+3+2+1=21(個)．【解析】【分析】數(shù)圖中角的個數(shù)，和數(shù)線段一樣，要不重不漏．因此，必須按照一定的規(guī)律去數(shù)，我們可以從左至右，先數(shù)以O(shè)A為左邊的角，再數(shù)以O(shè)A2為左邊的角，依此類推數(shù)出，以O(shè)A3，OA4，OA5，OA6為左邊的角，再求和即可得出答案。2.一個角，它的余角的2倍，與它的補角的互補．求這個角的度數(shù)?！敬鸢浮拷?設(shè)這個角為x°，則它的余角為90°-x°，補角為180°-x°。，由題意，得

解得X=36

所以，這個角是36°．【解析】【分析】設(shè)這個角為x°，則它的余角為90°-x°，補角為180°-x°，根據(jù)它的余角的2倍，與它的補角的

互補即可列出方程，求解得出答案。3.如圖，從點O引出6條射線OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB=100°，OF平分∠BOC，∠AOE=∠DOE，∠EOF=140°．求∠COD的度數(shù)．【答案】解:∠EOF+∠BOF+∠AOE+∠AOB=360°，而∠EOF=140°，∠AOB=100°，因此∠BOF+∠AOE=360°-140°-100°=120°．由已知條件，∠BOF=∠COF，∠AOE=∠DOE，所以∠EOD+∠COF=∠BOF+∠AOE=120°．從而∠COD=140°-(∠EOD+∠COF)=140°-120°=20°．答：∠COD的度數(shù)為20°．【解析】【分析】本題把∠EOD+∠COF作為一個整體來看，它的值可求，從而問題得到解決（注意：∠EOD和∠COF的度數(shù)是無法求出的），在求解時，注意利用隱含的條件：∠EOF，∠BOF，∠AOE，∠AOB的和恰好為一個周角，即360°。4.已知∠AOB=40°,自O(shè)點引射線OC，∠AOC：∠COB=2：3．求OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)．【答案】解:分OC在∠AOB的內(nèi)部和外部兩種情形(如圖所示，其中OD是∠AOB的平分線)討論．(1)OC在∠AOB內(nèi)部．如圖（1）因為∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，所以∠AOC=40°因為OD平分∠AOB，所以∠AOD=×40°=20°．∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．(2)OC在∠AOB外部．如圖（2）因為∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，所以∠COA=40°÷(3-2)×2=80°．因為∠AOD=20°，所以∠COD=∠COA+∠AOD=80°+20°=100°．【解析】【分析】分OC在∠AOB的內(nèi)部和外部兩種情形(如圖所示，其中OD是么AOB的平分線)討論，(1)OC在∠AOB內(nèi)部．如圖（1），由∠AOC：∠COB=2：3即可得出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得出∠AOD，然后由∠COD=∠AOD-∠AOC即可算出答案；(2)OC在∠AOB外部．如圖（2），由∠AOC：∠COB=2：3即可得出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得出∠AOD，然后由∠COD=∠AOD+∠AOC即可算出答案。5.已知都是鈍角．甲、乙、丙、丁四人計算的結(jié)果依次為28°、48°、88°、60°，其中只有一個結(jié)果是正確的·請你想一想到底誰的結(jié)果是正確的．【答案】解：因為a、β都是鈍角，所以

90°<<180°，90°<<180°，

從而

180°<<360°，30°<<60°·

的值應(yīng)在30°與60°之間(不包括30°和60°)對照甲、乙、丙、丁四人的結(jié)果，只有乙的結(jié)果在此范圍之間，從而只有乙的結(jié)果才是正確的·【解析】【分析】根據(jù)鈍角的定義知：90°<α<180°，90°<β<180°，根據(jù)不等式的性質(zhì)得出：

180°<α+β<360°，30°<(α+β)<60°，對照甲、乙、丙、丁四人的結(jié)果即可得出答案。6.如圖，∠A1OA11是一個平角，射線OA2，OA3，…，OA10都在這個平角內(nèi)(依順時針順序)，并且∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10一∠A10OA9=2°，求∠A10OA11的大?。敬鸢浮拷猓涸O(shè)∠A1OA2：∠A2OA3，…，∠A10OA11的度數(shù)分別為則

①并且……將它們代入①得即∠A10OA11=27°【解析】【分析】本題的∠A1OA2：∠A2OA3，…，∠A10OA11的度數(shù)的數(shù)值構(gòu)成等差數(shù)列，公差為2．設(shè)∠A1OA2：∠A2OA3，…，∠A10OA11的度數(shù)分別為α1，α2?α10,則α1+α2+?+α10=180°,并且α9=α10?2°,，利用整體代入即可得到關(guān)于a10的方程，求解得到答案。7.兩個角成對頂角，它們的平分線在一條直線上嗎?為什么?【答案】解：在一條直線上．如圖，直線AB、CD相交于O，∠AOC與∠BOD成對頂角．設(shè)OE、OF分別為∠AOC和∠BOD的平分線．下面證明OE、OF在一條直線上．因為∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，且∠AOC=∠BOD，所以∠AOE=∠BOF．又因為

∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°，所以

∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°．即

∠EOF=180°．所以O(shè)E和OF在同一直線上．【解析】【分析】證明端點相同的兩條射線OE、OF形成一條直線，方法是證明∠EOF=180°，且∠EOF是平角，這一點需要經(jīng)過計算與論證來完成，不能單憑眼睛看，根據(jù)角平分線的定義及對頂角相等得出∠AOE=∠BOF．根據(jù)鄰補角的定義得出∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°，由等量代換得出∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°，即∠EOF=180°，根據(jù)平角的定義即可得出結(jié)論：OE和OF在同一直線上。8.鐘面上從2點到4點有幾次時針與分針夾成60°的角?分別是幾點幾分?【答案】解：共有四次時針與分針?biāo)鶌A的角為60°．(1)第一次正好是兩點整．顯然，這時時針與分針成60°角．(因為鐘面上每兩個相鄰的字之間的度數(shù)是30°，即5個小格相當(dāng)于30°)．(2)第二次時針與分針的夾角為60°，如圖．

設(shè)為2點x分．這時分針行x分，即x小格．而時針行小格(分針行1周，即60個小格，時針只行5個小格，所以時針?biāo)俣仁欠昼姷?．分針不但超過時針，而且在時針前10個小格(形成60°)，所以解得，即2點分時，時針與分針的夾角為60°．(3)第三次時針與分針的夾角為60°，如圖．

設(shè)為3點y分．則解得，即3點分時，時針與分針的夾角為60°．(4)第四次時針與分針的夾角為60°，如圖．

設(shè)為3點z分，則解得，即3點分時，時針與分針的夾角為60°．【解析】【分析】因為鐘面上每兩個相鄰的字之間的度數(shù)是30°，即5個小格相當(dāng)于30°,分針行1周，即60個小格，時針只行5個小格，所以時針?biāo)俣仁欠昼姷?此題有4中情況：)第一次