2024秋高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布2.1離散型隨機變量及其分布列2.1.2第1課時離散型隨機變量的分布列達標練習含解析新人教A版選修2-3

PAGE5-其次章隨機變量及其分布2.1離散型隨機變量及其分布列2.1.2離散型隨機變量的分布列第1課時離散型隨機變量的分布列A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知隨機變量X的分布列如表所示(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的是()A．P(X<2)＝0.7 B．P(X≥2)＝0.6C．P(X≥3)＝0.3 D．P(X≤1)＝0.2解析：由分布列性質(zhì)，易知a＝0.1，所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3.答案：C2．若隨機變量X的分布列為：X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[1，2]C．(1，2] D．(1，2)解析：由隨機變量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，則當P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1，2]．答案：C3．已知隨機變量X的分布列為：P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1，2，…，則P(2＜X≤4)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,16) D.eq\f(5,16)解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).答案：A4．隨機變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點時ξ取值的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3).因為f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點，所以Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).答案：B5．已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1，2，3)，則P(X＝2)等于()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：因為eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＝1，所以a＝3，P(X＝2)＝eq\f(2,2×3)＝eq\f(1,3).答案：C二、填空題6．已知隨機變量ξ的分布列為ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)若η＝ξ2，若P(η＝4)＝________．解析：由η＝ξ2，且η＝4，得ξ2＝4，所以ξ＝±2，所以P(η＝4)＝P(ξ＝－2)＋P(ξ＝2)＝eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)7．設(shè)隨機變量ξ的可能取值為5，6，7，…，16這12個值，且取每個值的概率均相同，則P(ξ＞8)＝________．解析：依題意有P(ξ＞8)＝eq\f(1,12)×8＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球．已知從袋中隨意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是eq\f(7,9).從袋中隨意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，則P(X＝2)＝________．解析：設(shè)10個球中有白球m個，則eq\f(Ceq\o\al(2,10－m),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(7,9)，解得m＝5.P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)三、解答題9．從4張已編號(1～4號)的卡片中隨意取出2張，取出的卡片號碼數(shù)之和為X.求隨機變量X的分布列．解：X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分別標有1，2的2張卡片，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)；X＝4表示取出分別標有1，3的2張卡片，P(X＝4)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)；X＝5表示取出分別標有1，4或2，3的2張卡片，P(X＝5)＝eq\f(2,Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,3)；X＝6表示取出分別標有2，4的2張卡片，P(X＝6)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)；X＝7表示取出分別標有3，4的2張卡片，P(X＝7)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).所以變量X的分布列為：X34567Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)10.拋擲一顆正方體骰子，用隨機變量ξ表示出現(xiàn)的點數(shù)，求：(1)ξ的分布列；(2)P(ξ>4)及P(2≤ξ<5)．解：(1)ξ全部可能的取值為1，2，3，4，5，6.因為骰子是勻稱的，所以出現(xiàn)每一點數(shù)的概率均為eq\f(1,6)，故ξ的分布列為：ξ123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)(2)P(ξ>4)＝P(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＝eq\f(1,3).P(2≤ξ<5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).B級實力提升1．若隨機變量X的分布列如表所示，則a2＋b2的最小值為()X＝i0123P(X＝i)eq\f(1,4)aeq\f(1,4)bA.eq\f(1,24) B.eq\f(1,16) C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)解析：由分布列的性質(zhì)，知a＋b＝eq\f(1,2)，則a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝eq\f(1,8)(僅當a＝b＝eq\f(1,4)時等號成立)．答案：C2．設(shè)隨機變量ξ等可能取值1，2，3，…，n，假如P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3時，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝eq\f(3,n)，解得n＝10.答案：103．將3個小球隨意放入4個大的玻璃杯中，杯子中球的最多個數(shù)記為X，求X的分布列．解：依題意可知，杯子中球的最多個數(shù)X的全部可能值為1，2，3.當X＝1時，對應(yīng)于4個杯子中恰有3個杯子各放一個球的情形；當X＝2時，對應(yīng)于4個杯子中恰有1個杯子放兩個球的情形；當X＝3時，對應(yīng)于4個杯子中恰有1個杯子放三個球的情形．所以當X＝1時，P(X)＝eq\f(Aeq\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8)；當X＝2時，P(X)＝eq