2024秋高中數(shù)學第二章推理與證明章末整合提升學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE3-第2章章末整合提升網(wǎng)絡構建·理脈絡推理與證明專題突破·啟智能專題合情推理與演繹推理1．合情推理分為歸納推理和類比推理，是基本的分析和解決問題的方法．合情推理是合乎情理的推理，通過歸納、揣測發(fā)覺結論，為解決問題供應了思路和方向．歸納推理和類比推理的特點與區(qū)分：類比推理和歸納推理的結論都是有待于證明的．歸納推理是由特別到一般的推理，類比推理是由特別到特別的推理．2．演繹推理演繹推理是數(shù)學證明中的基本推理形式，“三段論”是演繹推理的一般模式．3．近幾年高考對推理的考查：(1)以選擇題、填空題的形式考查合情推理；(2)以選擇題或解答題的形式考查演繹推理；(3)題目難度不大，多以中低檔題為主．典例1古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形態(tài)來探討數(shù)．比如：他們探討過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(C)A．289 B．1024C．1225 D．1378[解析]圖1中滿意a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，圖2中滿意bn＝n2，一個數(shù)若滿意三角形數(shù)，其必能分解成兩個相鄰自然數(shù)乘積的一半；一個數(shù)若滿意正方形數(shù)，其必為某個自然數(shù)的平方．∵1225＝352＝eq\f(49×50,2)，∴選C．『規(guī)律方法』解決此類題目時，須要細心視察圖形，找尋每一項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系相關的學問，留意抽象出的是數(shù)列的哪類公式．典例2在平面上，我們用始終線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按如圖所標邊長，由勾股定理有c2＝a2＋b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O－LMN，假如用S1、S2、S3表示三個側面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結論是__S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)__.[解析]類比如下：正方形?正方體；截下直角三角形?截下三側面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方?三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和?三棱錐三個側面面積的平方和，結論S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).證明如下：如圖，作OE⊥平面LMN，垂足為E，連接LE并延長交MN于F，連接OF，∵LO⊥OM，LO⊥ON，OM∩ON＝0，∴LO⊥平面MON，∵MN?平面MON，∴LO⊥MN，∵OE⊥MN，OE∩LO＝0，∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝eq\f(1,2)MN·OF，S△MNE＝eq\f(1,2)MN·FE，S△MNL＝eq\f(1,2)MN·LF，OF2＝FE·FL，∴Seq\o\al(2,△OMN)＝(eq\f(1,2)MN·OF)2＝(eq\f(1,2)MN·FE)·(eq\f(1,2)MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理Seq\o\al(2,△OML)＝S△MLE·S△MNL，Seq\o\al(2,△ONL)＝S△NLE·S△MNL，∴Seq\o\al(2,△OMN)＋Seq\o\al(2,△OML)＋Seq\o\al(2,△ONL)＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝Seq\o\al(2,△MNL)，即Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝S2.『規(guī)律方法』類比推理應從詳細問題動身，通過視察、分析、類比、歸納而得出結論．通常狀況下，平面圖形的邊長、面積往往類比空間幾何體的面積、體積．專題干脆證明綜合法與分析法是證明命題的兩種最基本、最常用的干脆證明方法．綜合法常用于由已知推論較易找到思路時；分析法常用于條件困難、思索方向不明確且用綜合法較難證明時．單純應用分析法證明并不多見，常常是用分析法找尋思路，用綜合法表述過程．因此在實際應用中，常常要把綜合法與分析法結合起來運用．本考點在高考中每年都要涉及，主要以考查干脆證明中的綜合法為主．典例3設a，b，c為三角形三邊，面積S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，且S2＝2ab，試證：S<2a.[解析](分析法)要證S<2a，由于S2＝2ab，即2a＝eq\f(S2,b)，所以只需證S<eq\f(S2,b)，即證b<S，因為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，所以只需證b<eq\f(1,2)(a＋b＋c)，即證b<a＋c，由于a，b，c為三角形三邊，所以上式明顯成立，于是原命題成立．(綜合法)因為a，b，c為三角形三邊，所以a＋c>b，所以a＋b＋c>2b，又因為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，即a＋b＋c＝2S，所以2S>2b，所以S·S>b·S，由于S2＝2ab，所以2ab>bS，即2a>S，所以原命題得證．(反證法)假設S<2a不成立，即S≥2a成立，所以S2≥2aS，因為S2＝2ab，所以2ab≥2aS，所以2b≥2S，而S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，即2S＝a＋b＋c，所以2b≥a＋b＋c，所以b≥a＋c，因為a，b，c為三角形三邊，上式與三角形性質定理沖突，所以假設不成立，原命題成立．專題用反證法證題反證法是間接證明的一種基本方法，它不去干脆證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上，運用正確的推理，導出沖突，從而確定結論的真實性．在證明一些否定性命題、唯一性命題或含有“至多”“至少”等字樣的命題時，正面證明往往較難，此時可考慮反證法，即“正難則反”．典例4設{an}是公比為q的等比數(shù)列．(1)推導{an}的前n項和公式．(2)設q≠1，證明：數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．[解析](1)分兩種狀況探討．①當q＝1時，數(shù)列{an}是首項為a1的常數(shù)數(shù)列，所以Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.②當q≠1時，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an?qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan.上面兩式錯位相減：(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan＝a1－qan?Sn＝eq\f(a1－qan,1－q)＝eq\f(a11－qn,1－q).綜上，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))(2)運用反證法．設{an}是公比q≠1的等比數(shù)列，假設數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，則(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即(a1q＋1)2＝(a1＋1)(a1q2＋1)，整理得a1(q－1)2＝0得a1＝0或q＝1均與題設沖突，故數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．『規(guī)律方法』用反證法證明問題時要留意以下三點(1)必需否定結論，即確定結論的反面，當結論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必需排列出各種可能結論，缺少任何一種可能，都不是反證法．(2)反證法必需從否定結論進行推證，即應把結論的反面作為條件，且必需依據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面動身進行推理，就不是反證法．(3)推導出的沖突可能多種多樣，有的與已知沖突，有的與假設沖突，有的與事實沖突等，但是推導出的沖突必需是明顯的．專題用數(shù)學歸納法解題數(shù)學歸納法是一種證明方法，可以證明與正整數(shù)有關的命題，如恒等式、不等式、幾何問題以及整除問題等．高考數(shù)學歸納法的考查，一般以數(shù)列為背景，涉及等式、不等式等問題，歸納—猜想—證明是解決此問題的通法．典例5已知點的序列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An是線段An－2An－1(1)寫出xn與xn－1、xn－2之間的關系式(n≥3)；(2)設an＝xn＋1－xn.計算a1，a2，a3，由此推想數(shù)列{an}的通項公式，并加以證明．[解析](1)當n≥3時，xn＝eq\f(xn－1＋xn－2,2).(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝eq\f(x2＋x1,2)－x2＝－eq\f(1,2)(x2－x1)＝－eq\f(1,2)a，a3＝x4－x3＝eq\f(x3＋x2,2)－x3＝－eq\f(1,2)(x3－x2)＝eq\f(1,4)a，由此推想an＝(－eq\f(1,2))n－1a(n∈N*)．用數(shù)學歸納法證明如下：①當n＝1時，a1＝x2－x1＝a＝(－eq\f(1,2))0a，猜想成立．②假設當n＝k時，猜想成立，即ak＝(－eq\f(1,2))k－1a成立．那么當n＝k＋1時，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝eq\f(xk＋1＋xk,2)－xk＋1＝－eq\f(1,2)(xk＋1－xk)＝－eq\f(1,2)ak＝－eq\f(1,2)(－eq\f(1,2))k－1a＝(－eq\f(1,2))(k＋1)－1a，猜想仍成立，依據(jù)①和②可知，對隨意n∈N*，通項公式an＝(－eq\f(1,2))n－1a成立．『規(guī)律方法』由已知求出數(shù)列的前n項，提出猜想，然后再用數(shù)學歸納法證明，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法相結合的一種重要的解決數(shù)列通項公式的方法，證明的關鍵是依據(jù)已知條件和假設找尋ak與ak＋1或Sk與Sk＋1之間的關系，從而為數(shù)學歸納法的實施做了必要的打算．專題轉化與化歸思想轉化與化歸的思想方法是數(shù)學最基本的思想方法，數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸．轉化與化歸是數(shù)學思想方法的靈魂．在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特別的轉化；數(shù)學歸納法體現(xiàn)的是一般與特別、有限與無限的轉化；反證法體現(xiàn)的是對立與統(tǒng)一的轉化．典例6設f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)，其中a>0且a≠1.(1)請你推想g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示；(2)從(1)中的解能獲得什么結論？能否將其推廣？[思路分析]先將g(5)用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)表示出來，再推廣到一般狀況．[解析](1)因為f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2＋a－2,2)＝eq\f(a5－a－5,2)，g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)，所以g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，推廣g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．證明如下：因為f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)，所以g(y)＝eq\f(ay－a－y,2)，f(y)＝eq\f(ay＋a－y,2)，g(x＋y)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)，所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝eq\f(ax＋a－x,2)·eq\f(ay－a－y,2)＋eq\f(ax－a－x,2)·eq\f(ay＋a－y,2)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)＝g(x＋y)．『規(guī)律方法』(1)歸納推理是從特別到一般，從部分到整體的推理，在歸納、猜想階段體現(xiàn)的是一般與特別的相互轉化關系．(2)歸納推理得到的結論未必正確，還需檢驗和證明，有時要用到三段論．專題分類探討思想分類探討思想在本章的證明問題中，無論是干脆法還是間接法，都有所體現(xiàn)．如用反證法證明命題時，若結論的反面狀況不唯一時，則必需采納分類探討的方法對反面狀況逐一否定，才能使問題得以證明．典例7已知平面上有四個點A，B，C，D，任何三點都不共線，求證：以每三個點為頂點的三角形不行能都是銳角三角形．[思路分析]分別對第四個頂點在前三個頂點確定的三角形內、外兩種情形進行探討．[解析]假設以每三個點為頂點的三角形都是銳角三角形，考慮點D在△ABC內、外兩種情形．①如圖(1)所示，點D在△ABC內．依據(jù)假設，圍繞點D的三個角都是銳角，從而得∠ADC＋∠ADB＋∠BDC<270°.這與一個周角等于360°沖突．②如圖(2)所示，點D在△ABC外．依據(jù)假設，在△ABD中，∠BAD<90°，在△ABC中，∠ABC<90°，在△BCD中，∠BCD<90°，在△ADC中，∠ADC<90°，從而有∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB<360°.這與四邊形ABCD的內角和為360°沖突．綜合①②可知，假設不成立，故原結論成立．『規(guī)律方法』利用反證法證明時，若否定結論后出現(xiàn)多種狀況，則須要分類探討，記得最終下結論時，說明上述狀況均沖突，故假設不成立，原結論成立．即時鞏固一、選擇題1．異面直線在同一平面內的射影不行能是(D)A．兩條平行直線 B．兩條相交直線C．一點與始終線 D．同一條直線[解析]若兩條直線在同一平面的射影是同始終線，則這兩條直線的位置關系為平行或相交或重合，這均與異面沖突，故異面直線在同一平面內的射影不行能為同一條直線．故應選D．2．證明命題：“f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函數(shù)”．現(xiàn)給出的證明如下：因為f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)，所以f′(x)＝ex－eq\f(1,ex).因為x>0，所以ex>1,0<eq\f(1,ex)<1.所以ex－eq\f(1,ex)>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，運用的證明方法是(A)A．綜合法 B．分析法C．反證法 D．以上都不是[解析]由題意知，證明過程是執(zhí)因索果，是綜合法．3．(2024·南昌一模)平面內直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則斜邊長為eq\r(a2＋b2)，直角頂點到斜邊的距離為eq\f(ab,\r(a2＋b2))，空間中三棱錐的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為eq\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))，則三棱錐頂點究竟面的距離為(C)A．eq\r(3,\f(S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))) B．eq\r(\f(S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))C．eq\r(\f(2S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))) D．eq\r(\f(3S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))[解析]如圖三棱錐P－ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，P在底面的射影為H，設PA＝a，PB＝b，PC＝c，可得S1＝eq\f(1,2)ab，S2＝eq\f(1,2)bc，S3＝eq\f(1,2)ca，可得abc＝2eq\r(2S1S2S3)，由題意可得底面積為eq\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))，由等積法可得eq\f(1,3)×eq\f(1,2)abc＝eq\f(1,3)PH·eq\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3))，可得PH＝eq\f(abc,2\r(S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))＝eq\r(\f(2S1S2S3,S\o\al(2,1)＋S\o\al(2,2)＋S\o\al(2,3)))，故選C．二、填空題4．依據(jù)下面一組等式S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝__n4__.[解析]依據(jù)所給等式組，不難看出：S1＝1＝14；S1＋S3＝1＋15＝16＝24；S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34，S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.5．(2024·紅旗區(qū)校級月考)比較大?。篹q\r(3)＋eq\r(5)__＞__eq\r(2)＋eq\r(6).(用“＞”或“＜”填空)[解析]∵(eq\r(3)＋eq\r(5))2＝3＋5＋2eq\r(15)＝8＋2eq\r(15)，(eq\r(2)＋eq\r(