2024秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.2.1橢圓的簡單幾何性質(zhì)課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE7-其次章2.22.2.2第1課時請同學(xué)們仔細(xì)完成練案[12]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為(C)A．eq\f(1,2) B．2C．eq\f(1,4) D．42．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則橢圓C的方程是(D)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]由橢圓的右焦點為F(1,0)知，橢圓的焦點在x軸上，且c＝1.又離心率為eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選D．3．橢圓的一個頂點與兩焦點組成等邊三角形，則它的離心率e為(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)[解析]由題意，得a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).4．橢圓C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1和橢圓C2：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)有(B)A．等長的長軸 B．相等的焦距C．相等的離心率 D．等長的短軸[解析]依題意知橢圓C2的焦點在y軸上，對于橢圓C1：焦距＝2eq\r(25－9)＝8，對于橢圓C2：焦距＝2eq\r(25－k－9－k)＝8，故選B．5．短軸長為eq\r(5)，離心率為eq\f(2,3)的橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為(C)A．24 B．12C．6 D．3[解析]由題意b＝eq\f(\r(5),2)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，a2＝b2＋c2，從而得a＝eq\f(3,2)，4a＝6，故選C．6．已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),2)[解析]依題意橢圓的焦距和短軸長相等，故b＝c，a2－c2＝c2，∴e＝eq\f(\r(2),2).二、填空題7．已知橢圓的焦點在y軸上，其上隨意一點到兩焦點的距離和為8，焦距為2eq\r(15)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__eq\f(y2,16)＋x2＝1__.[解析]由已知，2a＝8,2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15)，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)＋x2＝1.8．已知A(2，eq\r(2))是橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1上一點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，設(shè)點F到直線x＝4的距離為d，則m＝__8__，eq\f(|AF|,d)＝__eq\f(\r(2),2)__.[解析]A(2，eq\r(2))是橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1上一點，代入可得：eq\f(4,m)＋eq\f(2,4)＝1，解得m＝8.∴c＝eq\r(a2－b2)＝2.∴F(2,0)．∴|AF|＝eq\r(2－22＋\r(2)－02)＝eq\r(2).點F到直線x＝4的距離為d＝2，eq\f(|AF|,d)＝eq\f(\r(2),2).故答案為8，eq\f(\r(2),2).三、解答題9．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)．[解析]橢圓方程可化為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，∴m>eq\f(m,m＋3).即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)得，eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴橢圓的長軸長為2，短軸長為1；兩焦點坐標(biāo)分別為F1(－eq\f(\r(3),2)，0)、F2(eq\f(\r(3),2)，0)；四個頂點分別為A1(－1,0)、A2(1,0)、B1(0，－eq\f(1,2))、B2(0，eq\f(1,2))．10．已知橢圓上橫坐標(biāo)等于焦點橫坐標(biāo)的點，它到x軸的距離等于短半軸長的eq\f(2,3)，求橢圓的離心率．[解析]解法一：設(shè)焦點坐標(biāo)為F1(－c，0)、F2(c,0)，M是橢圓上一點，依題意設(shè)M點坐標(biāo)為(c，eq\f(2,3)b)．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2又c2＝a2－b2,3b＝2a.∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).解法二：設(shè)M(c，eq\f(2,3)b)，代入橢圓方程，得eq\f(c2,a2)＋eq\f(4b2,9b2)＝1，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，即e＝eq\f(\r(5),3).B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．過橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為(B)A．8、6 B．4、3C．2、eq\r(3) D．4、2eq\r(3)[解析]橢圓過焦點的弦中最長的是長軸，最短的為垂直于長軸的弦(通徑)是eq\f(2b2,a).∴最長的弦為2a＝4，最短的弦為eq\f(2b2,a)＝eq\f(2×3,2)＝3，故選B．2．設(shè)F1、F2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|：|PF2|＝2：1，則△F1PF2的面積等于(B)A．5 B．4C．3 D．1[解析]由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|：|PF2|＝2：1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2eq\r(5))2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×4×2＝4，故選B．3．焦點在y軸上的橢圓mx2＋y2＝1的離心率為eq\f(\r(3),2)，則m的值為(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]橢圓的方程mx2＋y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(1,m))＋y2＝1，由題意得，a2＝1，b2＝eq\f(1,m)，∴c2＝a2－b2＝1－eq\f(1,m)，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(1,m))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝4.4．(多選題)已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍可以是(AD)A．m<－1 B．m<2C．1<m<2 D．1<m<eq\f(3,2)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,2－m>|m|－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,m<2，,m<\f(3,2).))∴1<m<eq\f(3,2)或m<－1，故選AD．5．(多選題)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上的一點P到橢圓焦點的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時，點P的坐標(biāo)不行能為(BD)A．(4,0) B．(0,5)C．(－4,0) D．(0，－5)[解析]記橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|＋|PF2|＝2a則知m＝|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25，∴點P的坐標(biāo)為(－4,0)或(4,0)，故選BD．二、填空題6．(2024·安徽屯溪一中高二期中)如圖，點F，B分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>eq\r(3))的右焦點和上頂點，O為坐標(biāo)原點，且△OFB的周長為3＋eq\r(3)，則實數(shù)a的值為__2__.[解析]依據(jù)題意可知△OFB的周長為a＋b＋c＝3＋eq\r(3)，又b＝eq\r(3)，可知a＋c＝3，結(jié)合a2－c2＝b2＝3，可以解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝1))，故實數(shù)a的值為2.7．橢圓eq\f(x2,5a)＋eq\f(y2,4a2＋1)＝1的焦點在x軸上，則它的離心率e的最大值為__eq\f(\r(5),5)__，此時a的值為__eq\f(1,2)__.[解析]由題意知5a>4a2＋1，∴eq\f(1,4)<a<1，∴e＝eq\f(\r(5a－4a2＋1),\r(5a))＝eq\f(1,\r(5))eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a＋\f(1,a))))≤eq\f(1,\r(5))eq\r(5－4)＝eq\f(\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝\f(1,2)時，取“＝”)).三、解答題8．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1和F2，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為4eq\r(2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A、B是直線l：x＝2eq\r(2)上的不同兩點，若eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0，求|AB|的最小值．[解析](1)由題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2),a2＝b2＋c2,S＝\f(1,2)×2a×2b＝4\r(2)))，解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝\r(2),c＝\r(2))).所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)知，F(xiàn)1、F2的坐標(biāo)分別為F1(－eq\r(2)，0)、F2(eq\r(2)，0)，設(shè)直線l：x＝2eq\r(2)上的不同兩點A、B的坐標(biāo)分別為A(2eq\r(2)，y1)、B(2eq\r(2)，y2)，則eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(－3eq\r(2)，－y1)、eq\o(BF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，－y2)，由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－eq\f(6,y1)，不妨設(shè)y1>0，則|AB|＝|y1－y2|＝y(tǒng)1＋eq\f(6,y1)≥2eq\r(6)，當(dāng)y1＝eq\r(6)、y2＝－eq\r(6)時取等號，所以|AB|的最小值是2eq\r(6).9．設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))到橢圓的最遠(yuǎn)距離是eq\r(7)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解析]依題意可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b.設(shè)橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d，則d2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq\f(9,4