2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1.2四種命題學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-1.1.2四種命題自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入阿凡提之《金幣與毛驢的故事》中，有一天，財(cái)主想要阿凡提的毛驢但又不想給金幣，就對(duì)阿凡提說：“你給我毛驢，我就給你金幣”．阿凡提回答到：“你給我金幣，我就給你毛驢”．狡猾的財(cái)主說：“你不給我毛驢，我就不給你金幣”，阿凡提想了想說：“你不給我金幣，我就不給你毛驢”．想想故事的結(jié)局如何呢？新知導(dǎo)學(xué)1．互逆命題一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的__結(jié)論__和__條件__，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做__原命題__，另一個(gè)命題叫做原命題的__逆命題__.若原命題是“若p，則q”，則其逆命題為“__若q，則p__”．2．互否命題對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的__條件的否定__和__結(jié)論的否定__.我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，假如把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做原命題的__否命題__.若原命題為“若p，則q”，則其否命題為“__若?p，則?q__”．3．互為逆否命題對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的__結(jié)論的否定__和__條件的否定__，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，假如把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做原命題的__逆否命題__.若原命題為“若p，則q”，則其逆否命題為“__若?q，則?p__”．預(yù)習(xí)自測1．命題“兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對(duì)角線相等的四邊形”的(A)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．無關(guān)命題2．已知a，b∈R，則命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否命題是(A)A．若a＋b≠1，則a2＋b2<eq\f(1,2)B．若a＋b＝1，則a2＋b2<eq\f(1,2)C．若a2＋b2<eq\f(1,2)，則a＋b≠1D．若a2＋b2≥eq\f(1,2)，則a＋b＝1[解析]命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥eq\f(1,2)”的逆命題是“若a＋b≠1，則a2＋b2<eq\f(1,2)”，故選A．3．命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是(C)A．若α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1 B．若α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4) D．若tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)[解析]本題主要考查命題的四種形式．寫逆否命題時(shí)，將原命題的題設(shè)和結(jié)論分別否定再交換．故選C．4．命題“若a>3，則a>5”的逆命題是__若a>5，則a>3__.[解析]將原命題的條件改為結(jié)論，結(jié)論改為條件，即得原命題的逆命題．5．命題“若x≥0，則x2≥0”的否命題是__若x<0，則x2<0__.[解析]原命題的否命題既否定條件又否定結(jié)論，故命題“若x≥0，則x2≥0”的否命題是“若x<0，則x2<0”．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?四種命題的概念典例1寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題．(1)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形；(2)當(dāng)x＝2時(shí)，x2＋x－6＝0；(3)若a>b，則ac2>bc2.[思路分析]本題中第(1)(2)小題不是“若p，則q”的形式，首先應(yīng)化為這種形式，再寫其他命題，第(3)小題具備“若p，則q”的形式，可干脆寫其他三種命題．[規(guī)范解答](1)原命題：若兩個(gè)三角形等底等高，則這兩個(gè)三角形全等；逆命題：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形等底等高；否命題：若兩個(gè)三角形不等底或不等高，則這兩個(gè)三角形不全等；逆否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形不等底或不等高．(2)原命題：若x＝2，則x2＋x－6＝0；逆命題：若x2＋x－6＝0，則x＝2；否命題：若x≠2，則x2＋x－6≠0；逆否命題：若x2＋x－6≠0，則x≠2.(3)原命題：若a>b，則ac2>bc2；逆命題：若ac2>bc2，則a>b；否命題：若a≤b，則ac2≤bc2；逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b.『規(guī)律總結(jié)』寫出四種命題的方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題．(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題．(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題．┃┃跟蹤練習(xí)1__■寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題．(1)若x2＋y2＝0，則x、y全為0；(2)若a＋b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)．[解析](1)逆命題：若x、y全為0，則x2＋y2＝0；否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為0；逆否命題：若x、y不全為0，則x2＋y2≠0.(2)逆命題：若a、b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)；否命題：若a＋b不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)；逆否命題：若a、b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)．命題方向?四種命題真假的推斷典例2推斷下列命題的真假，寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷其真假．(1)若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；(2)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac<0，則該函數(shù)圖象與x[規(guī)范解答](1)該命題為真．逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，為真．否命題：若四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真．逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，為真．(2)該命題為假．逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則b2－4ac否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函數(shù)圖象與x逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸無公共點(diǎn)，則b2－4ac『規(guī)律總結(jié)』推斷四種命題真假的方法(1)要正確理解四種命題間的相互關(guān)系．(2)正確利用相關(guān)學(xué)問進(jìn)行推斷推理．(3)若由“p經(jīng)邏輯推理得出q”，則命題“若p，則q”為真；確定“若p，則q”為假時(shí)，則只需舉一個(gè)反例說明．┃┃跟蹤練習(xí)2__■寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并推斷命題的真假．(1)若m·n<0，則方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根；(2)相等的兩個(gè)角的正弦值相等．[解析](1)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則m·n<0，假命題．否命題：若m·n≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根，假命題．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根，則m·n≥0，真命題．(2)逆命題：若兩個(gè)角的正弦值相等，則這兩個(gè)角相等，假命題．否命題：若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角的正弦值也不相等，假命題．逆否命題：若兩個(gè)角的正弦值不相等，則這兩個(gè)角不相等，真命題．學(xué)科核心素養(yǎng)由命題的真假求參數(shù)范圍典例3給出下列兩個(gè)命題：命題甲：關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?；命題乙：函數(shù)y＝(2a2－a)x(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題；(2)甲、乙有且只有一個(gè)是真命題．分別求出符合(1)(2)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路分析]第(1)問可以利用集合的觀點(diǎn)取甲、乙成立的并集，也可以求出問題的反面后，再寫出其補(bǔ)集；第(2)問須要對(duì)甲、乙中哪一個(gè)為真進(jìn)行分類探討．[規(guī)范解答]甲為真時(shí)，Δ＝(a－1)2－4a2即A＝{a|a>eq\f(1,3)或a<－1}；乙為真時(shí)，2a2－a>1，即B＝{a|a>1或a<－eq\f(1,2)}．(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題時(shí)，解集為A，B的并集，這時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>eq\f(1,3)或a<－eq\f(1,2)}．(2)甲、乙有且只有一個(gè)是真命題時(shí)，有兩種狀況：當(dāng)甲真乙假時(shí)，eq\f(1,3)<a≤1；當(dāng)甲假乙真時(shí)，－1≤a<－eq\f(1,2).所以甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|eq\f(1,3)<a≤1或－1≤a<－eq\f(1,2)}．┃┃跟蹤練習(xí)3__■已知命題“若m－1<x<m＋1，則1<x<2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍為__[1,2]__.[解析]逆命題為“若1<x<2，則m－1<x<m＋1”．∵逆命題為真命題，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1，,m＋1≥2，))∴1≤m≤2.∴m的取值范圍為[1,2]．易混易錯(cuò)警示典例4寫出命題“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，假如a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”的逆命題、否命題，并推斷它們的真假．[錯(cuò)解]逆命題：假如a＋c＝b＋d，則a、b、c