2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1.1命題課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-第一章1.11.1.1請同學(xué)們仔細(xì)完成練案[1]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列語句是命題的個數(shù)為(C)①{0}∈N；②他長得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1C．2 D．3[解析]①④是命題，②③不是命題．地球上的四大洋是不完整的句子．2．語句“若a>1，則函數(shù)f(x)＝ax是增函數(shù)”(B)A．不是命題B．是真命題C．是假命題D．是命題，但真假與x的取值有關(guān)[解析]當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax是增函數(shù)，故“若a>1，則函數(shù)f(x)＝ax是增函數(shù)”是真命題．3．給定下列命題：①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實(shí)數(shù)根；②若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；③對角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x、y中至少有一個為0.其中是真命題的是(B)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①為真命題；②由不等式的乘法性質(zhì)知命題正確，所以②為真命題；③如等腰梯形對角線相等，不是矩形，所以③是假命題；④由等式性質(zhì)知命題正確，所以④是真命題，故選B．4．(2024·山東濰坊高二期末)已知a，b，m∈R，則下列說法正確的是(D)A．若a>b，則eq\r(a)>eq\r(b)B．若a<b，則am2<bm2C．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則a>bD．若a3>b3，則a>b[解析]選項(xiàng)A中，a>b得不出eq\r(a)>eq\r(b)，比如，a＝4，b＝－2時；選項(xiàng)B中，m＝0時，a<b得不出am2<bm2；選項(xiàng)C中，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)得不出a>b，比如，a＝－2，b＝4；選項(xiàng)D中，∵y＝x3是增函數(shù)，∴a3>b3得出a>b.故選D．二、填空題5．(1)三角形的三個內(nèi)角的和等于180°.(2)2024年奧運(yùn)會的舉辦城市是英國倫敦．(3)這是一棵大樹呀！(4)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)．(5)能被4整除的數(shù)肯定能被2整除．上述語句中是命題的序號是__(1)(2)(4)(5)__.[解析](3)是感嘆句不是命題，(1)(2)(4)(5)是命題．6．設(shè)a、b、c是空間的三條直線，下面給出四個命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線；③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．其中真命題的個數(shù)是__0__.[解析]∵垂直于同始終線的兩條直線不肯定平行，∴命題①不正確；∵與同始終線均異面的兩條直線的位置關(guān)系可以共面，也可以異面，∴命題②不正確；∵與同始終線均相交的兩條直線在空間中可以相交，也可以平行或異面，∴命題③不正確；∵當(dāng)兩平面的相交直線為直線b時，兩平面內(nèi)分別可以作出直線a與c，即直線a與c不肯定共面，∴命題④不正確．綜上所述，真命題的個數(shù)為0.三、解答題7．推斷下列語句中哪些是命題，是命題的并推斷真假．(1)末位是0的整數(shù)能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，則sinA＝sinB；(3)余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？(4)求證：當(dāng)x∈R時，方程x2＋x＋2＝0無實(shí)根．[解析](1)是命題，真命題．(2)是命題，真命題．(3)、(4)不是命題．8．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并推斷真假．(1)對角線相等的四棱柱是長方體；(2)整數(shù)的平方是非負(fù)整數(shù)；(3)能被10整除的數(shù)既能被2整除，也能被5整除．[解析](1)可寫為：“若四棱柱的對角線相等，則它是長方體”，這個命題是假命題，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可寫為：“若一個數(shù)是整數(shù)，則它的平方是非負(fù)整數(shù)”，真命題．(3)可寫為：“若一個數(shù)能被10整除，則它既能被2整除，也能被5整除”，真命題．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．“若x2－2x－8<0，則p”為真命題，那么p是(A)A．{x|－2<x<4} B．{x|2<x<4}C．{x|x>4或x<－2} D．{x|x>4或x<2}[解析]x2－2x－8<0解得－2<x<4，∴p是{x|－2<x<4}，故選A．2．(2024－2024學(xué)年南康中學(xué)平川中學(xué)信豐中學(xué)聯(lián)考)設(shè)α，β，γ為兩兩不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：(1)若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；(2)若m?a，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；(3)m⊥β，n⊥α，m⊥n?α⊥β；(4)若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中正確的命題是(D)A．(1)(3) B．(2)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)[解析](1)若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能相交，也可能平行，所以不正確．(2)若m?a，n?α，m∥β，n∥β，當(dāng)直線m，n相交時，才能得出α∥β，所以不正確．(3)若m?α(或n?β)時明顯有α⊥β成立．當(dāng)m?α且n?β時，明顯α，β相交，設(shè)α∩β＝CD，過直線m上一點(diǎn)N作n′∥n，則n′⊥α.因?yàn)閙⊥β，所以m⊥CD，同理n′⊥CD.設(shè)m和β的交點(diǎn)是A，n′和α的交點(diǎn)是β，則CD⊥平面NAB.將平面NAB延展與直線CD相交于點(diǎn)E，連接AE，BE，則有BE⊥CD，AE⊥CD，所以∠BEA為二面角α－CD－β的平面角．明顯有∠BEA＝90°，即α⊥β；所以正確．(4)因?yàn)棣痢搔拢絣，l?α，l?β，又l∥γ，β∩γ＝m，依據(jù)線面平行的性質(zhì)有l(wèi)∥m.同理再由γ∩α＝n，得l∥n.所以m∥n，所以正確．故選D．3．(多選題)下面的命題中是假命題的是(ACD)A．y＝sin2x的最小正周期為2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根同號，則eq\f(c,a)>0C．假如M?N，那么M∪N＝MD．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，則△ABC為銳角三角形[解析]y＝sin2x＝eq\f(1－cos2x,2)，T＝eq\f(2π,2)＝π，故A為假命題；當(dāng)M?N時，M∪N＝N，故C為假命題；當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0時，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為銳角，B為鈍角，故D為假命題．二、填空題4．給出下列四個命題：①若a>b>0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；②若a>b>0，則a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；③若a>b>0，則eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)；④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為9.其中正確命題的序號是__②④__.(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)[解析]①在a>b>0兩端同乘以eq\f(1,ab)可得eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，故①錯；②由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,b)))＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))>0，故②正確；③由于eq\f(2a＋b,a＋2b)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,a＋2bb)<0，即eq\f(2a＋b,a＋2b)<eq\f(a,b)，故③錯；④由eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝b＝eq\f(1,3)時取得等號，故④正確．5．(2024·北京文改編)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：條件為__②③__，結(jié)論為__①__.[解析]②③?①.證明如下：∵m∥α，∴依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知存在n?α，使得m∥n.又∵l⊥α，∴l(xiāng)⊥n，∴l(xiāng)⊥m.①③?②.證明略．三、解答題6．設(shè)p：關(guān)于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域?yàn)镽，假如p和q有且僅有一個正確，求a的取值范圍．[解析]若p真，則0<a<1，若p假，則a≥1或a≤0.又若q真，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a2<0))?a>eq\f(1,2).若q假，a≤eq\f(1,2)，又p和q有且僅有一個正確，當(dāng)p真q假時，0<a≤eq\f(1,2).當(dāng)p假q真時，a≥1，故綜上所述得a∈(0，eq\f(1,2)]∪[1，＋∞)．7．已知命題p：lg(x2－2x－2)≥0；命題q：0<x<4，若命題p是真命題，命題