2024秋新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用分層演練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

基本不等式的應(yīng)用分層演練綜合提升A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2xx2+1A.12 B.1 C.2答案:B2.若x>0,則函數(shù)y=-x-1x (A.有最大值-2 B.有最小值-2C.有最大值2 D.有最小值2答案:A3.用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短的籬笆長(zhǎng)度是 ()A.30m B.36m C.40m D.50m答案:C4.若實(shí)數(shù)x,y滿意xy=1,則x2+2y2的最小值為22.5.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值;(2)設(shè)x>-1,求函數(shù)y=x+4x+1解:(1)因?yàn)閤>0,y>0,所以x+2y≥22xy即8≥22xy兩邊平方整理,得xy≤8,當(dāng)且僅當(dāng)x=4,y=2時(shí),xy取得最大值8.(2)因?yàn)閤>-1,所以x+1>0.所以y=x+4x+1+6=x+1+2(x當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1,即所以當(dāng)x=1時(shí),原函數(shù)有最小值9.B級(jí)實(shí)力提升6.若正實(shí)數(shù)x,y滿意1x+4y=1,且x+y4>a-3恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析:由題意,知x+y4=(x+y4)(1x+4xy+因?yàn)閤>0,y>0,所以4xy>0,所以4xy+y4x≥24x4x=y時(shí)取等號(hào),所以x+y4≥4,所以a-3<4,解得a<77.設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),且1a+1b=2(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.解:(1)由22=1a+1b≥21ab,得ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)取等號(hào)故a2+b2≥2ab≥1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)取等號(hào)所以a2+b2的最小值是1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22取得最小值(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得(1a-即(1a+1b)2-4ab又因?yàn)閍b+1ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)ab所以ab+1ab=2,所以ab=18.某市打算建一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng),其示意圖如圖所示.已知矩形廣場(chǎng)的總面積為2000m2,其中陰影部分為通道,通道的寬均為1m,中間的兩個(gè)小矩形完全相同.(1)用矩形的寬x(單位:m)表示中間的三個(gè)矩形的總面積S(單位:m2)的函數(shù)解析式,并給出定義域;(2)當(dāng)矩形的寬x為何值時(shí),S取得最大值,并求出最大值.解:(1)因?yàn)榫匦螐V場(chǎng)的總面積為2000m2,所以xy=2000,即y=2因?yàn)?a+2=y,所以2a=y-2=2所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(1000x2005-(5000x+2x),3<(2)S=2005-(5000x+2x)≤2005-2當(dāng)且僅當(dāng)2x=5000x,即x=50時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)SC級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多選題一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為l,面積為S,其中可作為(l,S)的取值的實(shí)數(shù)對(duì)是 ()A.(4,1) B.(8,6) C.(10,8) D.3,12解析:依題意設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為a,b,則有a+b=12l,ab=S,所以lS≥4.對(duì)于選項(xiàng)A,41=4;對(duì)于選項(xiàng)B,86<84=4;對(duì)于選項(xiàng)C,108=532>4.因此,其中可作為(l,S)的取值的實(shí)數(shù)對(duì)是選項(xiàng)A和D.答案:AD10.多空題已知a>0,b>0,假如ab=1,那么a+b的最小值為2;假如a+b=1,那么ab的最大值為14解析:因?yàn)閍>0,b>0,所