九年級數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專項突破11解直角三角形之“疊合式”模型（解析版）

重難點(diǎn)專項突破11解直角三角形之“疊合式”模型【知識梳理】【考點(diǎn)剖析】一、單選題1．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，根據(jù)正切的定義用表示出、，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，在中，，在中，，由題意得，，解得，（米，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·重慶綦江·九年級重慶市綦江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場測量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點(diǎn)處再測得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37°（身高忽略不計）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿AB所在旗臺高度EF為1.4米，旗臺底部、臺階底部、操場在同一水平面上．則請問旗桿自身高度AB為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8【答案】B【分析】如圖，作交的延長線于，延長交的延長線于，作于．設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)造方程解決問題即可．【詳解】解：如圖，作DH⊥FC交FC的延長線于H，延長AB交CF的延長線于T，作DJ⊥AT于J．由題意四邊形EFTB、四邊形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，設(shè)AT=TC=x．則DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，∴=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用測量高度問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，要熟練掌握仰角，坡度等概念，為中考常見題型．二、填空題3．（2021春·浙江杭州·九年級期末）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測量人員在C處測得A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°．若飛機(jī)離地面的高度CO為900m，且點(diǎn)O，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為_______．（結(jié)果保留根號）【答案】（900﹣300）米【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AO和OB，即可求出結(jié)論．【詳解】解：由于CD∥OB，∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°在RtACO中，∠CAO＝60°∴AO＝＝300米，在RtOCB，∠B＝45°∴OB＝=900（米）．∴AB＝OB﹣OA＝（900﹣300）（米）故答案為：（900﹣300）米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題，題目難度不大，解決本題的關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)求出AO和OB．4．（2020·山西太原·統(tǒng)考二模）圭表是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表兩個部件組成，垂直于地面的直桿叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以測量影長的標(biāo)尺叫“圭”如圖是小彬根據(jù)學(xué)校所在地理位置設(shè)計的圭表示意圖，其中冬至?xí)r正午陽光入射角，夏至?xí)r正午陽光入射角．已知“表”高，則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離約為_______．（精確到；參考數(shù)據(jù)：）【答案】10【分析】分別在與中，運(yùn)用正切函數(shù)解題，分別計算DC，BC的長，再求二者的差即可解題．【詳解】根據(jù)題意，在中，，即在中，，即即故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，其中涉及銳角三角函數(shù)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2020秋·九年級課時練習(xí)）如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩個點(diǎn)B、C，測得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長為200米，則河的寬度為_________．（結(jié)果保留根號）【答案】（+1）m【分析】直接過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用tan30°==，進(jìn)而得出答案．【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，設(shè)AD=DC=xm，則tan30°=，解得：x=100（+1），答：河的寬度為100（+1）m．故答案是：100（+1）m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、特殊角的的三角函數(shù)值，正確得出AD=CD是解題關(guān)鍵．三、解答題6．（2021秋·湖南永州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，王剛想測量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，王剛只能在圍墻外測量，他無法測得觀測點(diǎn)到樓底的距離，于是王剛在A處仰望樓頂，測得仰角為37°，再往樓的方向前進(jìn)30米至B處，測得樓頂?shù)难鼋菫?3°（A，B，C三點(diǎn)在一條直線上），求樓CD的高度（，，結(jié)果精確到1米，王剛的身高忽略不計）．【答案】樓CD的高度為52米【分析】設(shè)CD=xm，根據(jù)AC=BC-AB，構(gòu)建方程即可解決問題；【詳解】解：設(shè)CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC—BC=AB，∴﹣=30，解得x=52，答：樓CD的高度為52米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．7．（2020·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）科技改變生活，時代將對我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變．某數(shù)學(xué)興趣小組要測量信號塔的高度，如圖，在起點(diǎn)處用高米(米)的測量儀測得信號塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達(dá)處，測得頂端的仰角為，求信號塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數(shù)據(jù)：)【答案】該信號塔的高度約為米【分析】本題首先假設(shè)AB的長度為x，繼而表示BE的長度，利用正切三角函數(shù)表示DE，進(jìn)一步表示CE，最后再次利用正切三角函數(shù)列式求解．【詳解】由已知得：，，設(shè)為米，則米，在中，，，，在中，．，求解得：（米）．故該信號塔的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于對各種三角函數(shù)概念的理解，并結(jié)合具體圖形情況，適時選取合適的三角函數(shù)以提升解題效率．8．（2020·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機(jī)在點(diǎn)發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺在俯角為21°方向上.飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)點(diǎn).此時測得點(diǎn)在點(diǎn)俯角為45°的方向上.請你計算當(dāng)飛機(jī)飛到點(diǎn)的正上方點(diǎn)時（點(diǎn)、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：，，）【答案】豎直高度約為490米．【分析】根據(jù)題意直接利用解直角三角形的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖：∴∵∴∵∴∴．答：豎直高度約為490米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．9．（2020秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知信號塔高AC＝16米，在山腳下點(diǎn)B處測得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】分別解和，得到、，根據(jù)即可求解．【詳解】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2020秋·四川涼山·九年級階段練習(xí)）四川省委書記杜青林、國家旅游局副局長張希欽2006年12月16日向獲得“中國優(yōu)秀旅游城市”稱號的西昌市授牌，并修建了標(biāo)志性建筑——馬踏飛燕，如圖．某學(xué)習(xí)小組把測量“馬踏飛燕”雕塑的最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動，制定了測量方案，并完成了實(shí)地測量，測得結(jié)果如下表：課題測量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)B到地面的高度為，在測點(diǎn)C用儀器測得點(diǎn)B的仰角為α，前進(jìn)一段距離到達(dá)測點(diǎn)E，再用該儀器測得點(diǎn)B的仰角為β，且點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上．測量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長度儀器（）的高31°42°3米1.65米請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留到十分位）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】米【分析】在兩個直角三角形中，用BG表示DG、FG，進(jìn)而用DG?FG＝DF＝3列方程求出BG即可．【詳解】如圖，延長DF與AB交于點(diǎn)G，設(shè)BG＝x米，在Rt△BFG中，F(xiàn)G＝，在Rt△BDG中，，由DG?FG＝DF得，，即，解得，x＝5.4，∴AB＝AG＋BG＝1.65＋5.4＝7.057.1（米），答：這座“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度為7.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用BG表示DG、FG是列方程求解的關(guān)鍵．11．（2020春·新疆·九年級?？计谀┤鐖D，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，如果標(biāo)桿BE長1.2m，測得AB=1.6m，BC=8.4m，樓高CD是多少？【答案】樓高CD是7.5m【分析】先根據(jù)題意得出△ABE∽△ACD，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CD的值．【詳解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，，∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，∴AC=10，∴CD=7.5．答：樓高CD是7.5m．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用．12．（2019·安徽·九年級專題練習(xí)）某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組欲利用所學(xué)知識測量白塔的高度，測量過程如下：如圖，先在點(diǎn)處用測角儀測得塔頂仰角為，然后沿方向前行12米到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處用測角儀測得塔頂仰角為，已知測角儀高為1米，、、三點(diǎn)在一條直線上，求塔的高度.（結(jié)果保留根號）【答案】塔的高度為米.【分析】記EF的延長線交CD于G，首先證明FG＝DG，在Rt△DEG中，求出x即可解決問題．【詳解】解：如解圖，延長交于點(diǎn)，則.根據(jù)題意得：米，米，設(shè)米，∵在中，，∴米，在中，，∵，∴，解得，∴米，答：塔的高度為米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2020·河南商丘·?？寄M預(yù)測）炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．?dāng)?shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點(diǎn)和，且點(diǎn)，及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部與點(diǎn)，在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的測傾儀在處測得像頂?shù)难鼋菫?，在處測得像頂?shù)难鼋菫?，且．根?jù)測量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，．）【答案】該塑像的高度約為．【分析】延長CD交MN于E，則CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的長，即可得出答案．【詳解】延長交于，如圖所示：由題意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴；答：該塑像的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角問題；通過作輔助線得出直角三角形，正確求解是解題的關(guān)鍵．14．（2021·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，一艘漁船以40海里/小時的速度由西向東追趕魚群，在處測得小島在漁船的北偏東方向；半小時后，漁船到達(dá)處，此時測得小島在漁船的北偏東方向．已知以小島為中心，周圍18海里以內(nèi)為軍事演習(xí)著彈危險區(qū)．如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有著彈危險？【答案】如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險，詳見解析【分析】根據(jù)題意可知，實(shí)質(zhì)是比較C點(diǎn)到AB的距離與18的大小．因此作CD⊥AB于D點(diǎn)，求CD的長．【詳解】有著彈危險．理由如下：作于，根據(jù)題意，，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，答：如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角問題，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，掌握方位角的概念、熟記含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2020春·河南新鄉(xiāng)·九年級河南師大附中?？茧A段練習(xí)）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的活動課題是“測量物體高度”．小組成員小明與小紅分別采用不同的方案測量同一個底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報告的部分記錄內(nèi)容：課題：測量古塔的高度小明的研究報告小紅的研究報告圖示測量方案與測量數(shù)據(jù)

用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為35°，再用皮尺測得測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離為30m．在點(diǎn)A用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向走58.8m到達(dá)點(diǎn)B，測出古塔頂端的仰角為45°．參考數(shù)據(jù)sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41計算古塔高度（結(jié)果精確到0.1m）30×tan35°+1.6≈22.6（m）（1）寫出小紅研究報告中“計算古塔高度”的解答過程；（2）數(shù)學(xué)老師說小紅的結(jié)果較準(zhǔn)確，而小明的結(jié)果與古塔的實(shí)際高度偏差較大．針對小明的測量方案分析測量發(fā)生偏差的原因；（3）利用小明與小紅的測量數(shù)據(jù)，估算該古塔底面圓直徑的長度為m．【答案】（1）見解析；（2）小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離；（3）12．【分析】（1）設(shè)CH＝x，在Rt△CHF中根據(jù)∠CFH＝∠FCH＝45°，可知CH＝FH＝x，在Rt△CHE中根據(jù)tan∠CEH＝可得出x的值，由CD＝CH+DH即可得出結(jié)論；（2）小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離；（3）根據(jù)小明與小紅的計算結(jié)果得出古塔底面的半徑，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)CH＝x，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝x，在Rt△CHE中，∵tan∠CEH＝，∴＝tan17°＝0.30，∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），答：古塔CD的高度為26.8m；（2）原因：小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離．（3）如圖，在EH上取一點(diǎn)P使∠CPH＝35°，則PG＝30，在Rt△CHP中，CH＝25.2，∴PH＝＝＝36，∴GH＝PH﹣PG＝6，∴該古塔底面圓直徑的長度＝2×6＝12（m）．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、填空題1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．

【答案】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答案．【詳解】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

根據(jù)題意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC?sin60°()∴船C到海岸線的距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用－方向角問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義．2．（2023·湖北黃石·?？家荒＃┯蓝ㄋ潜本﹫@博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測得∠CAD＝30°，在B處測得∠CBD＝45°，并測得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】74【分析】首先證明BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】如圖，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案為74，【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．二、解答題3．（2023秋·九年級單元測試）如圖所示，在一個坡度的山坡的頂端處豎直立著一個電視發(fā)射塔．為測得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地處測得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°，若測得斜坡長為米，點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離米，求電視發(fā)射塔的高度．（參考數(shù)值：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】85米【分析】如圖，根據(jù)坡比設(shè)BE=x，EC=2x，在RtBEC中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求出BE和CE；在中，利用正切的定義求出AE問題得解．【詳解】解：如圖，作交DC的延長線于點(diǎn)，在中，∵，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得，解得，∴（米），（米），∴（米），在中，∵，∴，∴（米），答：電視發(fā)射塔的高度約為85米．【點(diǎn)睛】本題考查了坡比的概念、仰角概念及銳角三角函數(shù)定義，要求學(xué)生能借助仰角、坡比構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．4．（2022春·北京東城·八年級?？茧A段練習(xí)）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長．【答案】15﹣5【分析】過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC?tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC?sin30°＝10×＝5，CM＝BC?cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．關(guān)鍵是能通過解直角三角形求出線段CM，MD的長．5．（2022春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測得，之間的距離為100米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號）．【答案】米【分析】設(shè)，由題意可知，，CD=100米，即可得，，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高為米．【詳解】解：設(shè)，由題意可知：，，∴∴，在中，∴，∴解得：，∴山高為米．【點(diǎn)睛】本考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．6．（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考三模）如圖，小明去觀賞一棵千年古銀杏樹，當(dāng)走到點(diǎn)A處時，測得銀杏樹CD的仰角為30°，當(dāng)向樹前進(jìn)40米到B處時，又測得樹頂端C的仰角為75°．請求出這棵千年古銀杏樹的高．（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：tan75°＝2+，＝1.732，＝1.414）【答案】27.3米【分析】通過解直角△ACD得到：AD=CD；通過解直角△BCD得到BD=【詳解】設(shè)CD=x米．在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD=x，∴BD=AD-AB=x-40，在Rt△BCD中，tan75°=，∴2+=，解得x≈27.3，答：這棵千年古銀杏樹的高為27.3米．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．7．（2021秋·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，這時小島在船的北偏東方向海里處．（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時間輪船才恰好位于小島的東南方向？【答案】（1）海里/小時．（2）小時．【分析】（1）過作，利用特殊三角函數(shù)解直角三角形，分別求得OC、BC、AC的長，進(jìn)而可求得AB的長，再根據(jù)速度=路程÷時間解答即可；（2）如圖，根據(jù)題意可判斷△OCD為等腰直角三角形，則CD=OC，進(jìn)而可得BD的長，再由時間=路程除速度求解即可．【詳解】（1）過作，由題意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小時）．（2）如圖，由題意，，點(diǎn)在的東南方向，∴△OCD為等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小時），經(jīng)過小時后到達(dá)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，理解方位角的概念，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．8．（2023春·重慶渝北·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】宣傳牌的高度為2米．【分析】過E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C，則CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【詳解】解：過分別作、的垂線，設(shè)垂足為、，則，，在中，斜坡的坡度，米，設(shè)米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣傳牌的高度為2米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題，正確作出輔助線、構(gòu)建直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．9．（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)?？萍夹〗M計劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點(diǎn)B，測得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，你能計算出塔的高度DE嗎？寫出計算過程．【答案】出塔的高度DE為131.6m．過程見解析．【分析】先根據(jù)等腰三角形的判定可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】解：由題意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，線段和差等知識點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．10．（2022·河南周口·周口市第一初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）（如圖所示，城關(guān)幼兒園為加強(qiáng)安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°降為30°，已知原滑滑板AB的長為4米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板會加長多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，以上結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）【答案】（1）1.66米；（2）這樣改造能行．【分析】（1）滑滑板增加的長度實(shí)際是（AD﹣AB）的長．在Rt△ABC中，通過解直角三角形求出AC的長，進(jìn)而在Rt△ACD中求出AD的長得解；（2）分別在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的長，即可求出BD的長，進(jìn)而可求出改造后滑滑板前方的空地長．若此距離大于等于3米則這樣改造安全，反之則不安全．【詳解】（1）在Rt△ABC中，，∴，Rt△ACD中，，，（米）答：改善后滑滑板會加長1.66米；（2）Rt△ACD中，，，∵．∴這樣改造能行．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在直角三角形中正確利用三角函數(shù)，特別是特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇南京·九年級南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1是某商場從一樓到二樓的自動扶梯，圖2是側(cè)面示意圖，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，點(diǎn)C在MN上，且位于自動扶梯頂端B點(diǎn)的正上方，BC⊥MN．測得AB＝10米，在自動扶梯底端A處測得點(diǎn)C的仰角為50°，點(diǎn)B的仰角為30°，求二樓的層高BC（結(jié)果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）【答案】米【分析】延長CB交PQ于點(diǎn)D，在Rt△ADB中，求出BD，AD的長，然后在直角△CDA中利用三角函數(shù)即可求得CD的長，則BC即可得到．【詳解】解：延長CB交PQ于點(diǎn)D．∵M(jìn)N∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，∴（米），（米），在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，∴（米），∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查仰角和坡度的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．12．（2023·廣東·模擬預(yù)測）某校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中，如圖所示，測得樹底部中心到斜坡底的水平距離為.在陽光下某一時刻測得米的標(biāo)桿影長為，樹影落在斜坡上的部分.已知斜坡的坡比i=1：，求樹高.