第06講-第六章-數(shù)列(綜合測試)(解析版)

第六章數(shù)列（綜合測試）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列，，，，…，，…中，是它的（

）A．第8項 B．第9項 C．第10項 D．第11項【答案】C【詳解】令，化簡得，解得n=10.故選：C.2．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實驗中學(xué)校聯(lián)考期中）數(shù)列中，，，，則（

）A． B．9 C． D．13【答案】A【詳解】由，，，可得，故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，故選A．4．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，，都有，若數(shù)列的前n項和為，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則，所以數(shù)列是以公比，首項為的等比數(shù)列，所以，故選：C．5．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．105【答案】C【詳解】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，故為的倍數(shù)，所以首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，令，可得，又解得，且，故獲得精品足球的人數(shù)為.故選：C.6．（2023春·高二課時練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：，，，，，，，，.該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)都是，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把由這樣一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記是數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，，則，故當(dāng)時，，此時，又∵，因此，.故選：C.7．（2023春·山東德州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】數(shù)列滿足，①當(dāng)時，，②①②得，，故，則，則，由于恒成立，故，整理得：，因隨的增加而減小，所以當(dāng)時，最大，且為，即.故選：D8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列由首項及遞推關(guān)系確定．若為有窮數(shù)列，則稱為“壞數(shù)”．將所有“壞數(shù)”從小到大排成數(shù)列，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】注意到：是有窮數(shù)列的條件是，即，這是第一個壞數(shù)，再由：，這是第二個壞數(shù)，依此類推，滿足：，即：，注意到：，則，且有：，，一方面：，，則，，則，另一方面：，故，則，，則，則，，故正確，同理，我們有：，，綜上所述，故均錯．故選．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023秋·廣東廣州·高二西關(guān)外國語學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列的通項公式為：C．?dāng)?shù)列的前n項和為： D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列【答案】ACD【詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得，所以，又因為當(dāng)時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為：，故A正確，B錯誤，，所以，故C正確；因為，隨著的增大，在減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選:ACD.10．（2023春·山東青島·高二山東省青島第十九中學(xué)校考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項和，則（

）A． B．C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列【答案】BCD【詳解】由已知得，A選項，，，，所以，A選項錯誤；B選項，，B選項正確；C選項，，，，，，則，C選項正確；D選項，，，，則，D選項正確；故選：BCD.11．（2023秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，（，），其中，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列 B．當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列C．當(dāng)時， D．?dāng)?shù)列總存在最大值【答案】ACD【詳解】對選項A，當(dāng)時，，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，故A正確；對選項B，當(dāng)時，，，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B錯誤；對選項C，當(dāng)時，，，所以是等差數(shù)列，又，所以，所以，故C正確；對選項D，當(dāng)時最大值是；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，所以數(shù)列最大值為；當(dāng)時，，，所以最大值是，故D正確．故選：ACD．12．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)?？级＃┢矫媛菪且砸粋€固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）．它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F(xiàn)，G，H作第二個正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q作第三個正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．則（

）

A．?dāng)?shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列B．從正方形開始，連續(xù)個正方形的面積之和為32C．使得不等式成立的的最大值為3D．?dāng)?shù)列的前項和【答案】ACD【詳解】對于A選項，由題意知，且，所以，又因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故A正確；對于B選項，由上知，，，，，所以，故B錯誤；對于C選項，，易知是單調(diào)遞減數(shù)列，且，，故使得不等式成立的的最大值為，故C正確；對于D選項，因為，且，所以，所以，故D正確；故選：ACD．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知無窮數(shù)列滿足，，，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數(shù)列的形式）【答案】（答案不唯一）【詳解】由，，，猜想.故答案為：.（答案不唯一）14．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已約是一組平面向量，記，若，則滿足的的值為______.【答案】5或6【詳解】記的前項和為，則，因為，所以，又，所以，整理得，解得或或，因為，所以或.故答案為：或15．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中攝出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31天計算，記此人第n日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前n項和為．若關(guān)于n的不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為____．【答案】【詳解】由題意可知，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故．所以．由，得，整理得對任意，且恒成立．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以t＜15，即實數(shù)t的取值范圍是故答案為：16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列進行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列；依次構(gòu)造﹐第次得到數(shù)列.記，則___________，設(shè)數(shù)列的前項和為，則___________.【答案】【詳解】∵，，···，通過規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，∴，即，∴.故答案為：；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)?？级＃┮阎獌蓚€正項數(shù)列，滿足，．(1)求，的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的前項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由，得，由，得，，因為是正項數(shù)列，，；（2）因為，所以，所以當(dāng)時，當(dāng)時滿足，所以.18．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當(dāng)時，有，當(dāng)時，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．19．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項不為，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由第（1）問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項和為.20．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，_______.請在（1）;（2）成等比數(shù)列;（3），這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和.注:如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，即，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列.若選（1）:由，得，即，所以，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.若選（2）:因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.若選（3）:由，得，即，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，令，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，綜上所述，21．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，整理得，即，又時，也適合上式，故.（2）若不等式對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，令，則，則為遞增數(shù)列，所以當(dāng)時，取得最小值，所以.22．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列的前項和為，在①，且；②；③，，這三個條件中任選一個，解答下列問題：(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的最小值.注：若選擇不同的條件分