2024-2025學年高中數(shù)學第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.2復數(shù)的運算3.2.1復數(shù)的加法和減法學案新人教B版選修1-2

PAGEPAGE13．2.1復數(shù)的加法和減法1.理解復數(shù)加、減法運算法則及其幾何意義．2.能運用加、減運算法則及其幾何意義解題．復數(shù)的加法與減法(1)相反數(shù)：a＋bi的相反數(shù)為－a－bi；(2)復數(shù)的加法與減法①復數(shù)的加法與減法運算法則兩個復數(shù)相加(減)，就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減)．即(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．(其中a，b，c，d∈R)②復數(shù)加法的運算律(i)交換律：z1＋z2＝z2＋z1；(ii)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)復數(shù)加減法的幾何意義設(shè)復數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，則復數(shù)z1＋z2是以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形的對角線OZ所對應(yīng)的復數(shù)，z2－z1是連接向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))和eq\o(OZ2,\s\up6(→))的終點并指向向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))所對應(yīng)的復數(shù)，如右圖所示．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個虛數(shù)的和或差可能是實數(shù)．()(2)若復數(shù)z1，z2滿意z1－z2＞0，則z1＞z2.()(3)在進行復數(shù)的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部．()(4)復數(shù)的加法不行以推廣到多個復數(shù)相加的情形．()(5)復數(shù)的減法不滿意結(jié)合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2．已知復數(shù)z1＝3＋4i，復數(shù)z2＝3－4i，那么z1＋z2等于()A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i答案：B3．若復數(shù)z滿意z＋i－3＝3－i，則z等于()A．0 B．2iC．6 D．6－2i答案：D復數(shù)的加法和減法運算計算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．【解】(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.eq\a\vs4\al()解決復數(shù)加減運算的思路兩個復數(shù)相加(減)，就是把兩個復數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減)．復數(shù)的減法是加法的逆運算，兩個復數(shù)相減，也可以看成是加上這個復數(shù)的相反數(shù)．當多個復數(shù)相加(減)時，可將這些復數(shù)的全部實部相加(減)，全部虛部相加(減)．已知復數(shù)z1＝(3－10i)y，z2＝(－2＋i)x(x、y∈R)，且z1＋z2＝1－9i，求z1－z2.解：z1＋z2＝(3－10i)y＋(－2＋i)x＝(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3y－2x＝1,x－10y＝－9))，解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).所以z1＝3－10i，z2＝－2＋i，所以z1－z2＝(3－10i)－(－2＋i)＝[3－(－2)]＋(－10－1)i＝5－11i.復數(shù)加減運算的幾何意義已知平行四邊形OABC的三個頂點O，A，C對應(yīng)的復數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i.(1)求eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復數(shù)；(2)求eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復數(shù)．【解】(1)因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復數(shù)為－(3＋2i)，即－3－2i.(2)因為eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．若本例條件不變，試求點B所對應(yīng)的復數(shù)．解：因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))表示的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以點B所對應(yīng)的復數(shù)為1＋6i.2．若本例條件不變，求對角線AC，BO的交點M對應(yīng)的復數(shù)．解：由題意知，點M為OB的中點，則eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，由互動探究1中點B坐標為(1，6)得點M坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，所以點M對應(yīng)的復數(shù)為eq\f(1,2)＋3i.eq\a\vs4\al()復數(shù)加減法幾何意義的應(yīng)用技巧(1)復數(shù)的加減運算可以轉(zhuǎn)化為點的坐標或向量運算．(2)復數(shù)的加減運算轉(zhuǎn)化為向量運算時，同樣滿意平行四邊形法則和三角形法則．1.在復平面內(nèi)，復數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O為坐標原點，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝()A．eq\r(2) B．2C．eq\r(10) D．4解析：選B．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))對應(yīng)的復數(shù)為(1＋3i)－(1＋i)＝2i，故|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.2．復數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，如圖，它們在復平面上對應(yīng)的點分別是正方形的三個頂點A，B，C，求這個正方形的第四個頂點所對應(yīng)的復數(shù)．解：如題圖，設(shè)正方形的第四個頂點D對應(yīng)的復數(shù)為x＋yi(x，y∈R)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的復數(shù)是(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復數(shù)是(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))故點D對應(yīng)的復數(shù)為2－i.復數(shù)加減法的綜合應(yīng)用已知復數(shù)z滿意z＋|z|＝2＋8i，求復數(shù)z.【解】法一：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－15,b＝8))，所以z＝－15＋8i.法二：原式可化為z＝2－|z|＋8i，因為|z|∈R，所以2－|z|是z的實部，于是|z|＝eq\r((2－|z|)2＋82).即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，所以|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.eq\a\vs4\al()法一是復數(shù)方程的一般解法，即轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程(組)求解，一般運算量較大；法二是由復數(shù)模的定義及性質(zhì)來求，要求復數(shù)z，只需求出|z|.設(shè)z1、z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.解：法一：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由題設(shè)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，所以2ac＋2bd＝0.因為|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，所以|z1－z2|＝eq\r(2).法二：作出z1、z2對應(yīng)的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))1、eq\o(OZ,\s\up6(→))2，使eq\o(OZ,\s\up6(→))1＋eq\o(OZ,\s\up6(→))2＝eq\o(OZ,\s\up6(→))，因為|z1|＝|z2|＝1，又eq\o(OZ,\s\up6(→))1、eq\o(OZ,\s\up6(→))2不共線(若eq\o(OZ,\s\up6(→))1、eq\o(OZ,\s\up6(→))2共線，則|z1＋z2|＝2或0與題設(shè)沖突)，所以平行四邊形OZ1ZZ2為菱形．又|z1＋z2|＝eq\r(2)，所以∠Z1OZ2＝90°，即OZ1ZZ2為正方形，故|z1－z2|＝eq\r(2).1．復數(shù)的加法的規(guī)定：實部與實部相加，虛部與虛部相加．兩個復數(shù)的和仍舊是一個復數(shù)，這一法則可以推廣到多個復數(shù)相加．2．復數(shù)的減法可依據(jù)復數(shù)的相反數(shù)，轉(zhuǎn)化為復數(shù)的加法來運算，這與實數(shù)中減法的理解相像．3．復數(shù)z1，z2對應(yīng)的點分別為P1，P2，則|z1－z2|＝|eq\o(P2P1,\s\up6(→))|；同理eq\o(OP1,\s\up6(→))，eq\o(OP2,\s\up6(→))對應(yīng)復數(shù)為z1，z2，則eq\o(P1P2,\s\up6(→))對應(yīng)復數(shù)為z2－z1.1．算式中若出現(xiàn)字母，首先要確定其是否為實數(shù)，再確定復數(shù)的實部與虛部，最終把實部與實部、虛部與虛部分別相加減．2．不要錯用復數(shù)減法的幾何意義．如|z＋1＋2i|表示復數(shù)z對應(yīng)的點與(－1，－2)的距離，而不是與(1，2)的距離．1．計算(3＋i)－(2＋i)的結(jié)果為()A．1 B．－iC．5＋2i D．1－i解析：選A．(3＋i)－(2＋i)＝1.2．若z－(1＋i)＝1＋i，則z＝__________．解析：由z－(1＋i)＝1＋i得z＝(1＋i)＋(1＋i)＝2＋2i.答案：2＋2i3．已知z1＝a＋i，z2＝2－ai(a∈R)，且z1－z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y＝2x＋1上，則a＝__________．解析：將z1－z2＝(a－2)＋(1＋a)i所對應(yīng)的點(a－2，1＋a)代入直線方程y＝2x＋1即可．答案：4[A基礎(chǔ)達標]1．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，則復數(shù)z＝z2－z1對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C．z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z對應(yīng)的點為(－1，－3)，位于第三象限．2．設(shè)a，b∈R，z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當z1＋z2＝0時，復數(shù)a＋bi為()A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i解析：選D．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋a＝0，,b＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))所以a＋bi＝－2－i.3．在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為()A．eq\r(5) B．5C．2eq\r(5) D．10解析：選B．依題意，對角線AC對應(yīng)的復數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度即為|－3－4i|＝5.4．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復數(shù)分別是3＋i，－1＋3i，則eq\o(CD,\s\up6(→))對應(yīng)的復數(shù)是()A．2＋4i B．－2＋4iC．－4＋2i D．4－2i解析：選D．依題意有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即eq\o(CD,\s\up6(→))對應(yīng)的復數(shù)為4－2i.5．復數(shù)z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它們的和z1＋z2為實數(shù)，差z1－z2為純虛數(shù)，則a，b的值為()A．a(chǎn)＝－3，b＝－4 B．a(chǎn)＝－3，b＝4C．a(chǎn)＝3，b＝－4 D．a(chǎn)＝3，b＝4解析：選A．因為z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i為實數(shù)，所以4＋b＝0，b＝－4.因為z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i為純虛數(shù)，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.6．設(shè)z＝3－4i，則復數(shù)z－|z|＋(1－i)在復平面內(nèi)的對應(yīng)點在第________象限．解析：因為z＝3－4i，所以|z|＝5，所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.答案：三7．已知|z|＝4，且z＋2i是實數(shù)，則復數(shù)z＝________．解析：因為z＋2i是實數(shù)，可設(shè)z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2eq\r(3)，所以z＝±2eq\r(3)－2i.答案：±2eq\r(3)－2i8.如圖所示，在復平面內(nèi)的四個點O，A，B，C恰好構(gòu)成平行四邊形，其中O為原點，A，B，C所對應(yīng)的復數(shù)分別是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，則zA－zC＝________.解析：因為eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.因為a，b∈R，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋a＝6，,a＋b＝8，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6.))所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.答案：2－4i9．計算：(1)(eq\r(2)－eq\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)＋\f(\r(3),2)i))＋1；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(i,2)－\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,3)－\f(1,2)))＋i；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解：(1)原式＝(eq\r(2)－eq\r(2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)＋\f(\r(3),2)))i＋1＝1－eq\f(\r(3),2)i.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,3)＋1))i＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.10．在復平面內(nèi)，A，B，C三點對應(yīng)的復數(shù)為1，2＋i，－1＋2i.(1)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復數(shù)；(2)判定△ABC的形態(tài)．解：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－1，2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，對應(yīng)的復數(shù)為1＋i，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，2)，對應(yīng)的復數(shù)為－2＋2i，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，1)，對應(yīng)的復數(shù)為－3＋i.(2)因為|AB|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，|AC|＝eq\r((－2)2＋22)＝eq\r(8)，|BC|＝eq\r((－3)2＋1)＝eq\r(10)，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．[B實力提升]11．復數(shù)z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，則|z1－z2|的最大值為()A．3－2eq\r(2) B．eq\r(2)－1C．3＋2eq\r(2) D．eq\r(2)＋1解析：選D．|z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|＝eq\r((1－sinθ)2＋(1＋cosθ)2)＝eq\r(3－2(sinθ－cosθ))＝eq\r(3－2\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))≤eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.12．復數(shù)z1，z2分別對應(yīng)復平面內(nèi)的點M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，線段M1M2的中點M對應(yīng)的復數(shù)為4＋3i，則|z1|2＋|z2|2＝________．解析：依據(jù)復數(shù)加減法的幾何意義，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以eq\o(OM1,\s\up6(→))，eq\o(OM2,\s\up6(→))為鄰邊的平行四邊形是矩