2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.7簡單幾何體的再認(rèn)識1.7.2.2棱臺與圓臺的體積課時作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGEPAGE7課時作業(yè)12棱臺與圓臺的體積時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．圓臺上、下底面面積分別為π、4π，側(cè)面積為6π，則這個圓臺的體積為(A)A．eq\f(7\r(3),3)π B．eq\f(2\r(3),3)πC．2eq\r(3)π D．eq\f(7\r(3),6)π解析：設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r′、r，則πr′2＝π，πr2＝4π，∴r′＝1，r＝2，設(shè)母線長為l，π(1＋2)l＝6π，∴l(xiāng)＝2，∴高h＝eq\r(22－2－12)＝eq\r(3).∴V臺＝eq\f(π,3)(1＋22＋1×2)eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)π.2．某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是(B)A．4 B．eq\f(14,3)C．eq\f(16,3) D．6解析：本題考查三視圖與幾何體的體積計算，由三視圖的關(guān)系可知，底面面積S1＝1，S2＝4，高h＝2，∴V＝eq\f(1,3)(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).3．已知正四棱臺ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，A′B′＝6，體積V＝126，則該正四棱臺的高為(C)A．18 B．9C．6 D．12解析：設(shè)正四棱臺的高為h，則有eq\f(1,3)(32＋62＋eq\r(32×62))h＝126，解得h＝6，即該正四棱臺的高為6，故選C．4．若幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為(A)A．144 B．112C．114 D．122解析：由三視圖知幾何體的上部是底面為正方形的正四棱柱，下部是正四棱臺．上部的體積為4×4×2＝32，下部的體積為eq\f(1,3)×(16＋eq\r(16×64)＋64)×3＝112，則幾何體的體積為144，故選A．5．正四棱柱底面積為P，過相對側(cè)棱截面面積為Q，則它的體積是(D)A．eq\r(2P)Q B．eq\f(\r(P),2)QC．eq\f(1,2)eq\r(2PQ) D．eq\f(\r(2P),2)Q解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長、高分別為a、h，則P＝a2，Q＝eq\r(2)a·h.∴V＝a2·h＝a·ah＝eq\r(P)·eq\f(Q,\r(2))＝eq\f(\r(2P),2)Q.故選D．6.如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是(D)A．eq\f(9,2)π B．eq\f(7,2)πC．eq\f(5,2)π D．eq\f(3,2)π解析：如圖，作AD⊥BC，垂足為D，則解Rt△ABD知，DB＝1，AD＝eq\r(3).∴所求幾何體的體積為eq\f(1,3)π·AD2·CD－eq\f(1,3)π·AD2·BD＝eq\f(1,3)π·AD2·BC＝eq\f(1,3)·π·(eq\r(3))2·eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)π.故選D．7．一圓錐的底面半徑為4，用平行于底面的截面去截底面半徑為1的小圓錐后得到的圓臺是原來圓錐體積的(A)A．eq\f(63,64) B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,64)解析：軸截面如圖，由題意eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1D,OB)＝eq\f(1,4)，V圓錐PO1＝eq\f(π,3)·PO1，V圓錐PO＝eq\f(16,3)π·PO，∴V圓臺O1O＝V圓錐PO－V圓錐PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·eq\f(1,4)·PO＝eq\f(63,12)π·PO，∴eq\f(V圓臺OO1,V圓錐PO)＝eq\f(\f(63,12)π·PO,\f(16,3)π·PO)＝eq\f(63,64).(或截得小圓錐底面半徑為1，原來底面半徑為4，∴相像比為14，故小圓錐與原來大圓錐體積比為164，∴截得圓臺與原來大圓錐的體積比為6364.)故選A．8．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2(V1>V2)的兩部分，則V1V2等于(C)A．65 B．43C．75 D．21解析：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh.因為E、F分別為AB、AC的中點，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1V2＝75.二、填空題9．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為3.解析：該空間幾何體是一個底面為梯形的四棱柱，其底面面積是eq\f(1＋2,2)×2＝3，高為1，故其體積為3.10．一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為30m3.解析：本題考查三視圖及柱體體積公式．由三視圖知該幾何體由一個棱長為3,4,2的長方體和一個底面是直角梯形且高為4的直棱柱組成，則體積V＝3×4×2＋eq\f(2＋1,2)×1×4＝30，解決三視圖問題應(yīng)弄清圖中各量與原幾何體的量的關(guān)系．11．若一個圓臺的軸截面是腰長為a的等腰梯形，下底邊長為2a，對角線長為eq\r(3)a，則這個圓臺的體積為eq\f(7\r(3),24)πa3.解析：圓臺的軸截面如圖，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，可知∠ADB＝90°.分別過D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝eq\f(\r(3),2)a，AH＝eq\f(a,2)，所以HB＝eq\r(BD2－DH2)＝eq\r(3a2－\f(3,4)a2)＝eq\f(3,2)a，所以DC＝HG＝a，所以圓臺的體積為V＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2))·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(7\r(3),24)πa3.三、解答題12．棱臺的體積為76cm3，高6cm，一個底面的面積為18cm2，求另一個底面的面積．解：設(shè)另一個底面面積為xcm2，則由V＝eq\f(1,3)h(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))，得76＝eq\f(1,3)×6×(18＋x＋eq\r(18x))，解得x＝8，∴另一個底面面積是8cm2.13.設(shè)圓臺的高為3，其軸截面(過圓臺軸的截面)如圖所示，母線A1A與底面圓的直徑AB的夾角為60°，在軸截面中A1B⊥A1A，求圓臺的體積V.解：如圖，設(shè)AB的中點為O，連接A1O，作A1D⊥AB，易知A1D＝3，因A1B⊥A1A，則在Rt△A1AB中，A1O＝eq\f(1,2)AB＝AO.又因為∠A1AB＝60°，所以△A1AO為等邊三角形．所以在△A1AO中，A1D＝eq\f(\r(3),2)AO＝3，得AO＝2eq\r(3).設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r，R.所以R＝AO＝2eq\r(3)，r＝eq\f(1,2)A1B1＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)AO＝DO＝eq\r(3).則V＝eq\f(1,3)π×3×(12＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋3)＝π×(12＋6＋3)＝21π.故圓臺體積為21π.——實力提升類——14．如圖是一個幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為eq\r(2)的等腰梯形，則該幾何體的體積是eq\f(7π,3).解析：由三視圖可知此幾何體為一圓臺，上底半徑為2，下底半徑為1，不難求出此圓臺的高，如圖，h＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，故體積V＝eq\f(1,3)π·(22＋2×1＋12)×1＝eq\f(7π,3).15．四邊形ABCD，A(0,0)，B(1,0)，C