2024學年天津市南開區(qū)高二數(shù)學（上）期末考試卷附答案解析

學年天津市南開區(qū)高二數(shù)學（上）期末考試卷2025.01一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）已知數(shù)列{an}的前幾項為：﹣1，4，﹣7，10，…（）A．a(chǎn)n＝（﹣1）n﹣1（3n﹣2） B．a(chǎn)n＝（﹣1）n﹣1（3n+1） C．a(chǎn)n＝（﹣1）n（3n﹣2） D．a(chǎn)n＝（﹣1）n（3n+1）2．（3分）已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（）A．2 B．4 C． D．63．（3分）若方程表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（0，4） B．（﹣∞，0） C．（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，4）4．（3分）已知等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，若a2+a5+a8＝3，則S9＝（）A．3 B．6 C．9 D．275．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CD和A1B1的中點，則異面直線AF與D1E所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．6．（3分）數(shù)列{an}滿足a1＝2，，其前n項積為Tn，則T10等于（）A． B． C．6 D．﹣67．（3分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S2n＝6，則S4n＝（）A．8 B．12 C．14 D．208．（3分）與圓x2+（y﹣1）2＝1相切，且在坐標軸上截距相等的直線共有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．6條9．（3分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝10，，則的最小值為（）A．2﹣1 B． C． D．10．（3分）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓與PF1切于點M，過點Q（1，1）的直線l與C交于A，則下列結論中①|PF1|+|PQ|的最大值為5；②△PF1F2的內(nèi)切圓面積最大值為π；③|PM|為定值1；④若Q為AB中點，則l的方程為3x+4y﹣7＝0，正確結論的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共5個小題，每小題3分，共15分.請將答案填在題中橫線上。11．（3分）直線x+y﹣1＝0的傾斜角是．12．（3分）已知等比數(shù)列{an}的公比，則等于．13．（3分）若雙曲線經(jīng)過點，且漸近線方程是，則這條雙曲線的方程是．14．（3分）已知M為拋物線y2＝4x上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P（3，1），則|MP|+|MF|的最小值為．15．（3分）已知F是雙曲線的右焦點，直線，B兩點，O為坐標原點，P，BF的中點，且，則雙曲線E的離心率為．三、解答題：（本大題共5個小題，共55分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．17．（10分）曲線C上的每一點到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x＝﹣1的距離相等．（1）求曲線C的方程；（2）過點F的直線l與曲線C交于A，B兩點，若|AB|＝818．（10分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，滿足Sn＝2an﹣1，n∈N*．數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝﹣a1，b2+b4＝﹣10．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{an+bn}的前n項和．19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，O為棱AD的中點，PO⊥平面ABCD（1）求證：AC⊥PB；（2）求C到平面POB的距離；（3）求平面PAB與平面POB夾角的余弦值．20．（13分）已知A（，）為橢圓C：＝1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2為橢圓C的左、右焦點，點F（，0），直線AF將△AF1F2的面積分為3：1兩部分．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l：y＝kx+m（m＞0）與橢圓C相交于P，Q兩點，O為坐標原點，且|OM|＝1

2024-2025學年天津市南開區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案CDBCBDDACC一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）已知數(shù)列{an}的前幾項為：﹣1，4，﹣7，10，…（）A．a(chǎn)n＝（﹣1）n﹣1（3n﹣2） B．a(chǎn)n＝（﹣1）n﹣1（3n+1） C．a(chǎn)n＝（﹣1）n（3n﹣2） D．a(chǎn)n＝（﹣1）n（3n+1）【分析】根據(jù)題意，分析數(shù)列前4項的規(guī)律，用n表示即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前幾項為：﹣1，4，﹣7，…，即（﹣1）1（6×1﹣2），（﹣6）2（3×7﹣2），（﹣1）5（3×3﹣6），（﹣1）4（5×4﹣2），故數(shù)列的一個通項公式可以為（﹣2）n（3×n﹣2）．故選：C．【點評】本題考查數(shù)列的表示方法，涉及數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．2．（3分）已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（）A．2 B．4 C． D．6【分析】利用雙曲線方程求出a，b，然后求出c即可得到結果．【解答】解：雙曲線的方程為：，可得a＝，b＝2＝3，所以雙曲線的焦距長為：2c＝8．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，屬基礎題．3．（3分）若方程表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（0，4） B．（﹣∞，0） C．（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，4）【分析】變形為，利用橢圓性質即可求解．【解答】解：變形為，要表示橢圓需要滿足，解得m∈（﹣∞．故選：B．【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于基礎題．4．（3分）已知等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，若a2+a5+a8＝3，則S9＝（）A．3 B．6 C．9 D．27【分析】利用等差數(shù)列通項公式求出a5＝1，再由S9＝＝9a5，能求出結果．【解答】解：等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，a2+a5+a4＝3，∴a2+a6+a8＝3a7＝3，解得a5＝4，則S9＝＝3a5＝9．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CD和A1B1的中點，則異面直線AF與D1E所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．【分析】根據(jù)題意，以向量為基底，表示出向量與，從而利用向量的數(shù)量積與夾角公式算出答案．【解答】解：設正方體ABCD﹣A1B1C8D1的棱長為1，根據(jù)題意，可得，，且．所以＝，因為，同理，所以＝，可得異面直線AF與D1E所成角的余弦值等于||＝．故選：B．【點評】本題主要考查正方體的結構特征、異面直線所成角的求法及其應用等知識，屬于基礎題．6．（3分）數(shù)列{an}滿足a1＝2，，其前n項積為Tn，則T10等于（）A． B． C．6 D．﹣6【分析】通過計算數(shù)列的前幾項，發(fā)現(xiàn)周期性，進而求T10．【解答】解：由題意，得，a1＝2，a7＝﹣3，a3＝﹣，a4＝，a5＝4，由此可見數(shù)列{an}具有周期性，且周期為4，所以T10＝a1?a8?a3?a4?a2?a6?a7?a7?a9?a10＝（a1?a4?a3?a4）?（a8?a2?a3?a8）?a1?a2＝﹣8．故選：D．【點評】本題主要考查數(shù)列的周期性，通過列舉數(shù)列的前幾項找出周期性是解決本題的關鍵，屬中檔題．7．（3分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S2n＝6，則S4n＝（）A．8 B．12 C．14 D．20【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質，能求出結果．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2，S2n＝8，∴S2n﹣Sn＝6﹣2＝4，∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，S4n﹣S5n構成首項為2，公差為2的等差數(shù)列，∴S3n＝Sn+（S2n﹣Sn）+（S3n﹣S8n）+（S4n﹣S3n）＝5+4+6+8＝20．故選：D．【點評】本題考查等差數(shù)列的前4n項和的求法，考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．8．（3分）與圓x2+（y﹣1）2＝1相切，且在坐標軸上截距相等的直線共有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．6條【分析】由已知對直線的截距是否為0進行分類討論，然后結合直線與圓相切的性質即可求解．【解答】解：直線的方程的截距為0時，直線過原點；當截距不為0時，設所求直線的方程為x+y＝a（a≠3），1），則圓心到直線的距離，即（a﹣1）8＝2，解得：，滿足題意a的值有2個，所以滿足題意的直線有2條，綜上，滿足題意的直線有4條．故選：A．【點評】本試題主要考查了直線與圓相切的情況，以及截距相等的分類討論思想的運用，屬于基礎題．9．（3分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝10，，則的最小值為（）A．2﹣1 B． C． D．【分析】先由題設?an+1﹣an＝2n，然后利用疊加法求得an，進而求得，再利用單調性求得其最小值．【解答】解：∵a1＝10，，∴an+1﹣an＝2n，∴a6﹣a1＝2，a4﹣a2＝4，a2﹣a3＝6，…an﹣an﹣3＝2n﹣2，n≥2，將以上式子相加，可得：an﹣a1＝2+3+6+…+2n﹣3＝，n≥8n＝n（n﹣1）+10，n≥2，又當n＝8時，有a1＝10也適合上式，∴an＝n（n﹣1）+10，∴＝n+，易知：當n≤7時，單調遞減，單調遞增，又＝，＝，∴的最小值為．故選：C．【點評】本題主要考查疊加法在求數(shù)列通項公式中的應用及單調性在求數(shù)列的最小項中的應用，屬于中檔題．10．（3分）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓與PF1切于點M，過點Q（1，1）的直線l與C交于A，則下列結論中①|PF1|+|PQ|的最大值為5；②△PF1F2的內(nèi)切圓面積最大值為π；③|PM|為定值1；④若Q為AB中點，則l的方程為3x+4y﹣7＝0，正確結論的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)橢圓的定義及兩點之間線段最短結論判斷命題①，結合橢圓的定義及內(nèi)切圓的性質判斷命題②③，利用點差法求直線l的方程判斷命題④，由此可得結論．【解答】解：設橢圓C的長半軸為a，短半軸長為b，易知a＝2，，c＝3，此時F1（﹣1，2），F(xiàn)2（1，2），1），因為|PF1|+|PQ|＝8a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+|QF6|＝4+1＝7，當且僅當P，F(xiàn)2，Q三點共線時，等號成立，所以|PF1|+|PQ|的最大值為8，故①正確；設△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，易知，解得，當且僅當P為短軸頂點時，等號成立，所以△PF4F2的內(nèi)切圓面積最大值為，故②錯誤；根據(jù)△PF3F2的內(nèi)切圓的性質易得|PF1|+|PF3|﹣|F1F2|＝3|PM|，所以2a﹣2c＝4|PM|，解得|PM|＝a﹣c＝1，故③正確；若Q（1，5）為AB中點1，y1），B（x2，y2），因為A，B兩點均在橢圓上，所以，兩式相減得，所以，可得，解得，所以直線l的方程為，即3x+2y﹣7＝0，因為，所以點Q在橢圓C內(nèi)，所以直線3x+4y﹣3＝0與橢圓相交，則直線3x+2y﹣7＝0滿足條件，故④正確，綜上所述，命題正確的有①③④．故選：C．【點評】本題考查橢圓的性質的應用及三角形內(nèi)切圓的性質的應用，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共5個小題，每小題3分，共15分.請將答案填在題中橫線上。11．（3分）直線x+y﹣1＝0的傾斜角是．【分析】利用直線方程求出斜率，然后求出直線的傾斜角．【解答】解：因為直線的斜率為：﹣，所以tanα＝﹣，所以直線的傾斜角為：．故答案為：．【點評】本題考查直線的一般式方程與直線的傾斜角的求法，考查計算能力．12．（3分）已知等比數(shù)列{an}的公比，則等于﹣3．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算化簡即可求解．【解答】解：等比數(shù)列{an}的公比q＝﹣，則＝＝﹣3．故答案為：﹣4．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列通項公式的應用，屬于基礎題．13．（3分）若雙曲線經(jīng)過點，且漸近線方程是，則這條雙曲線的方程是．【分析】根據(jù)題意中所給的雙曲線的漸近線方，則可設雙曲線的標準方程為，（λ≠0）；將點代入方程，可得λ＝﹣1；即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程是，則可設雙曲線的標準方程為，（λ≠8）；又因為雙曲線經(jīng)過點，代入方程可得，λ＝﹣4；故這條雙曲線的方程是；故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，要求學生掌握由漸近線方程引入λ，進而設雙曲線方程的方法，注意標明λ≠0．14．（3分）已知M為拋物線y2＝4x上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P（3，1），則|MP|+|MF|的最小值為4．【分析】設點M在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|MD|，進而把問題轉化為求|MP|+|MD|取得最小，進而可推斷出當D，M，P三點共線時|MP|+|MD|最小，答案可得．【解答】解：設點M在準線上的射影為D，由拋物線的定義可知|MF|＝|MD|，則問題可轉化為求|MP|+|MD|的最小值，所以當D，M，P三點共線時|MP|+|MD|最?。蚀鸢笧椋?．【點評】本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，判斷當D，M，P三點共線時|PM|+|MD|最小，是解題的關鍵，屬于中檔題．15．（3分）已知F是雙曲線的右焦點，直線，B兩點，O為坐標原點，P，BF的中點，且，則雙曲線E的離心率為．．【分析】根據(jù)中位線的性質，利用直線垂直的條件，求出A的坐標，然后利用雙曲線的定義建立方程進行求解即可．【解答】解：根據(jù)對稱性設A在第一象限，設A（m，，∵點P，Q，O分別為三角形ABF的三邊的中點，∴OP∥BF，OQ∥AF，∵，∴OP⊥OQ，∴AF⊥BF，∵OF＝c，則OA＝OB＝c，則＝c，即，即m＝c，則A（c，，則左焦點（﹣c，3），0），則2a＝﹣＝c﹣c，則a＝c，即＝．即雙曲線的離心率e＝．故答案為：．【點評】本題主要考查雙曲線離心率的的計算，利用中位線的性質和雙曲線的定義建立方程關系進行求解是解決本題的關鍵，是中檔題．三、解答題：（本大題共5個小題，共55分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【分析】（1）根據(jù){an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn，S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．利用公式即可求解公差和首項，可得數(shù)列{an}的通項公式；（2）將an的代入求解bn的通項公式，利用“裂項求和”即可得出．【解答】解：（1）根據(jù){an}為等差數(shù)列，d≠0．前n項和為Sn，且S10＝110，即110＝10a1+45d，…①∵a7，a2，a4成等比數(shù)列．可得：a22＝a1?a2．∴（a1+d）2＝a4?（a1+3d）…②由①②解得：，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n（2）由bn＝，即bn＝＝．那么：數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝b1+b2+…+bn＝（6﹣+）＝（4﹣【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17．（10分）曲線C上的每一點到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x＝﹣1的距離相等．（1）求曲線C的方程；（2）過點F的直線l與曲線C交于A，B兩點，若|AB|＝8【分析】（1）由拋物線定義可知曲線類型，然后可得方程；（2）直線方程聯(lián)立拋物線方程消元，然后利用韋達定理，結合弦長求出直線方程．【解答】解：（1）∵曲線C上的點到F（1，0）的距離與到l：x＝﹣4的距離相等，∴軌跡為焦點在x軸上，以F（1，∴C的方程為y2＝5x．（2）設A（x1，y1），B（x7，y2），直線l的方程為x＝ty+1，聯(lián)立消去x整理得y4﹣4ty﹣4＝5，∴y1+y2＝8t，y1y2＝﹣7．∴|AB|＝|y3﹣y2|＝?＝，解得t＝±1，∴直線l的方程為x±y﹣6＝0．【點評】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．（10分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，滿足Sn＝2an﹣1，n∈N*．數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝﹣a1，b2+b4＝﹣10．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{an+bn}的前n項和．【分析】（Ⅰ）先由數(shù)列{an}的前n項和Sn和通項an的關系式求出相鄰項之間的關系，判斷出數(shù)列{an}的類型，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式即可求解；（Ⅱ）利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）當n＝1時，S1＝7a1﹣1＝a7得a1＝1，當n?3，n∈N*時，Sn﹣1＝2an﹣8﹣1①，由已知Sn＝2an﹣2②，②﹣①得an＝2an﹣2an﹣2，所以an＝2an﹣1，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比為q＝4，因為a1＝1，所以，設數(shù)列{bn}公差為d，b1＝﹣1，b7+b4＝（b1+d）+（b7+3d）＝2b6+4d＝﹣10，由得d＝﹣2，所以；（Ⅱ）設，前n項和＝＝2n﹣n5﹣1．【點評】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用，屬于中檔題．19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，O為棱AD的中點，PO⊥平面ABCD（1）求證：AC⊥PB；（2）求C到平面POB的距離；（3）求平面PAB與平面POB夾角的余弦值．【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法證明線線垂直；（2）用空間向量的方法求點到面的距離；（3）用空間向量的方法求面面角的余弦值．【解答】（1）證明：由題可知OP，AD，所以以O