【壓軸專練】專題04 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系（解析版）-2021-2022學(xué)年九上壓軸題攻略

專題04二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間關(guān)系類型一、判斷圖像例1.一次函數(shù)圖象如圖所示，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C． D．【解析】一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，，二次函數(shù)的開口向下，故選項C、D均錯誤，不符合題意；當拋物線與y軸交于正半軸時，c＞0，反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，故選項A正確，符合題意，選項B錯誤，不符合題意，故選：A．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過（﹣1，0）和（0，﹣1）兩點，則拋物線y＝cx2＋bx＋a的圖象大致為（）B．C．D．【解析】∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過（-1，0）和（0，-1）兩點，∴開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，∴a-b+c=0，a＞0，b＜0，c=-1＜0，∴拋物線y=cx2+bx+a的開口向下，對稱軸直線，交y軸正半軸，當x=-1時，y=c-b+a=0，∴拋物線y=cx2+bx+a經(jīng)過點（-1，0），觀察圖象，選項B符合題意，故選：B．【變式訓(xùn)練2】二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對稱軸是直線x＝1，則函數(shù)y＝ax＋b和y＝的大致圖像是（）A．B．C． D．【解析】的開口向下，對稱軸是直線x＝1，與軸交于正半軸，＜＞＞即的圖像過一，二，四象限，且過的圖像在一，三象限，選項：的圖像過一，二，四象限，且過的圖像在一，三象限，符合題意，選項：的圖像過一，二，四象限，但不過過的圖像在一，三象限，不符合題意，選項：的圖像過一，二，三象限，但不過過的圖像在一，三象限，不符合題意，選項：的圖像過一，二，四象限，過的圖像在二，四象限，不合題意，選：類型二、根據(jù)圖像判斷a，b，c之間關(guān)系例1.如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在和之間，其部分圖象如圖所示．則下列結(jié)論：①點，，是該拋物線上的點，則﹔②；③；④；⑤（t為實數(shù)），其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤【答案】B【解析】拋物線的開口向下，且對稱軸為直線，拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數(shù)值越大，，故①錯誤；拋物線的對稱軸為直線，，故②正確；與軸的一個交點在和之間，由拋物線的對稱性知，另一個交點在和之間，拋物線與軸的交點在軸的負半軸，即，故③正確；由③知，時，且，即，故④正確；由函數(shù)圖象知當時，函數(shù)取得最大值，，即為實數(shù)），故⑤錯誤；故選：B．【變式訓(xùn)練1】如圖，二次函數(shù)圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1；④若點，，均在二次函數(shù)圖象上，則；⑤（m為任意實數(shù)）．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】∵二次函數(shù)圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為，∴當x=1時，，故結(jié)論①正確；根據(jù)函數(shù)圖像可知，當，即，對稱軸為，即，根據(jù)拋物線開口向上，得，∴，∴，即，故結(jié)論②正確；根據(jù)拋物線與x軸的一個交點為，對稱軸為可知：拋物線與x軸的另一個交點為(-3，0)，∴關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1，故結(jié)論③正確；根據(jù)函數(shù)圖像可知：，故結(jié)論④錯誤；當時，，∴當時，，即，故結(jié)論⑤錯誤，綜上：①②③正確，故選：C．【變式訓(xùn)練3】二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過點，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，5，上述結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】①由圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正確；②∵對稱軸為直線x==1，且圖象與x軸交于點（﹣1，0），∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（3，0），b=﹣2a，∴根據(jù)圖象，當x=2時，y=4a+2b+c＞0，故②錯誤；③根據(jù)圖象，當x=﹣2時，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正確；④∵拋物線經(jīng)過點，∴根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線也經(jīng)過點，∴拋物線與直線y=n的交點坐標為（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的兩根分別為，5，故④正確，綜上，上述結(jié)論中正確結(jié)論有①③④，故選：C．【變式訓(xùn)練4】如圖，已知拋物線（，，為常數(shù)，）經(jīng)過點，且對稱軸為直線，有下列結(jié)論：①；②；③；④無論，，取何值，拋物線一定經(jīng)過；⑤．其中正確結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】①圖像開口朝上，故，根據(jù)對稱軸“左同右異”可知，圖像與y軸交點位于x軸下方，可知c<0故①正確；②得，，故②錯誤；③經(jīng)過，，又由①得c<0，故③正確；④根據(jù)拋物線的對稱性，得到與時的函數(shù)值相等當時，即，即經(jīng)過，即經(jīng)過故④正確；⑤當時,,當時,，函數(shù)有最小值，化簡得，故⑤正確．綜上所述：①③④⑤正確．故選D．【變式訓(xùn)練5】已知拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過點，當時，與其對應(yīng)的函數(shù)值．有下列結(jié)論：①；②關(guān)于x的方程有兩個不等的實數(shù)根；③．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過點，當時，與其對應(yīng)的函數(shù)值．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵,∴△==＞0,∴有兩個不等的實數(shù)根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故選D．課后作業(yè)1．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤若此函數(shù)的最大值為，二次函數(shù)的最大值為，則．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】∵二次函數(shù)的圖象開口向下，∴a<0，∵拋物線的對稱軸在x軸的左側(cè)，∴b<0，∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c>0，∴，故①正確；由圖象可知，拋物線的對稱軸為x=-1，即，∴b=2a，由圖象可知，當x=1時，y=a+b+c<0，∴，故②錯誤；由圖象可知，當x=0時，y>0，∵拋物線的對稱軸為x=-1，∴當x=-2時，y>0，即，故③錯誤；∵b=2a，∴，即，∴，∵a<0，，∴④正確；由圖象可知，當x=-1時，函數(shù)的最大值為=a-b+c=a-2a+c=-a+c，二次函數(shù)與x軸的交點坐標為（-3，0），（1，0），∴二次函數(shù)的對稱軸為x=-1，∴二次函數(shù)的最大值=-4a=-a-3a，∵，∴，∴-a+c<-a-3a，即，故⑤錯誤；綜上，正確的結(jié)論為①④．故選B．2．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】D【解析】∵從圖像上看出,直線x=1與拋物線的交點位于第四象限，∴，故①正確；∵從圖像上看出,直線x=-1時，函數(shù)有最大值，y=a-b+c，當x=0時，函數(shù)值為y=c=1，∴，故②正確；∵-＜0，∴ab＞0，∵c=1,∴，故③正確；∵，b=2a，∴，故④正確；∵，b=2a，∴，故⑤正確．故選D．3．已知拋物線（為常數(shù)，）的對稱軸是直線，且與軸、軸分別交于兩點，其中點在點的右側(cè)，直線經(jīng)過兩點．有下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】D【解析】由題可得函數(shù)圖像如下圖所示：根據(jù)圖像可知當x=3時，一次函數(shù)y值大于0，∴，∴，故①正確，∵拋物線（為常數(shù)，）的對稱軸是直線，∴即，∴根據(jù)圖像可知：，∴，故②正確，根據(jù)圖像可知當x=3時，二次函數(shù)圖像位于一次函數(shù)圖像上方，∴即，∴，∴，故③正確．故選：D4．如圖是二次函數(shù)（，，是常數(shù)，）圖象的一部分，與軸的交點在點和之間，對稱軸是直線，對于下列說法：①；②；③3；④當時，；⑤（為實數(shù)）．其中正確的是（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【解析】∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸x1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；∵拋物線與x軸的交點A在點（2，0）（3，0）之間，對稱軸為x＝1，∴拋物線x軸的另一個交點在（﹣1，0）和（0，0）之間，∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正確，④錯誤；拋物線與x軸的交點A在點（2，0）（3，0）之間，∴9a+3b+c＜0，又b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③錯誤；由圖可知，當x＝1時，函數(shù)有最大值，∴對于任意實數(shù)m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正確．綜上，正確的有①②⑤．故選：B．5．如圖是拋物線，其頂點坐標為，且與x軸的一個交點在點和之間，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤關(guān)于x的方程的另一個解在和之間，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】∵拋物線開口向下，∴，∵對稱軸直線，∴，∴，故①②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴點與關(guān)于直線對稱，∵時，，∴時，，即，故③正確；∵拋物線，其頂點坐標為，∴，故④正確；∵拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點在和之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在和之間，∴關(guān)于x的方程的另一個解在和之間，故⑤錯誤；∴正確結(jié)論的有①②③④共4個，故選：D．6．二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）中的與的部分對應(yīng)值如表：下列結(jié)論：其中正確的是（）A． B．當時，的值隨值的增大而減小C． D．拋物線與坐標軸有兩個交點【答案】C【解析】由圖表中數(shù)據(jù)可知，x=0和x=3時，函數(shù)值相同，都是3，∴對稱軸為直線x=，當x=1時，y=5＞3，∴函數(shù)開口向下，則拋物線與x軸有兩個交點，與y軸有一個交點，且不不過原點，即拋物線與坐標軸有三個交點，故D錯誤，則a＜0，即，∴b＞0，當x=0時，y=3，則c=3，∴abc＜0，故A錯誤；當x＞時，y的值隨x值的增大而減小，故B錯誤，當x=-1時，y=-2，-1和4關(guān)于對稱，∴當x=4時，y=-2，則16a+4b+c=-2＜0，故C正確；故選C．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，分析下列四個結(jié)論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤2a﹣b＜c．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，與y軸交于正半軸，∴a＜0，＜0，c＞0，∴b＜0，∴abc＞0，結(jié)論①錯誤；②∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸有兩個交點，∴△＝b2﹣4ac＞0，結(jié)論②正確；③∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∵＞﹣1，a＜0，∴b＞2a，∴a+b＜3a，∴3a+c＜0，結(jié)論③錯誤；④∵當x＝﹣1時，y＞0，當x＝1時，y＜0，∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，結(jié)論④正確；⑤∵＞﹣1，a＜0，∴2a﹣b＜0，∵c＞0，∴2a﹣b＜c，結(jié)論⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有②④⑤共3個．故選：C．8．如圖，二次函數(shù)的函數(shù)圖像經(jīng)過點（1，2），且與軸交點的橫坐標分別為、，其中－1＜＜0，1＜＜2，下列結(jié)論：①；②；③；④當時，；⑤，其中正確的有___________．（填寫正確的序號）【答案】②④⑤【解析】拋物線開口向下，a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，a、b異號，因此b＞0，與y軸的交點在正半軸，c＞0，所以abc＜0，故①錯誤；

對稱軸在0～1之間，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正確；

當x=-2時，y=4a-b+c＜0，故③錯誤；

當x=m（1＜m＜2）時，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正確；

當x=-1時，y=a-b+c＜0，當x=1時，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：②④⑤，

故答案為：②④⑤．9．如圖為二次函數(shù)的圖象，則下列說法：①；②；③；④當時，．其中正確的是________（填寫序號）．【答案】②③④【解析】①圖象開口向下，能得到a＜0，①錯誤；

②對稱軸在y軸右側(cè)，x==1，則有-=1，即2a+b=0，②正確；

③當x=1時，y＞0，則a+b+c＞0，③正確；

④由圖可知，當-1＜x＜3時，y＞0，④正確．

故答案為：②③④．10．如