2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.3第2課時(shí)半角公式學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE第2課時(shí)半角公式學(xué)問點(diǎn)半角公式[填一填](1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).留意：(1)半角的正弦、余弦、正切公式通常是用單角的余弦(或正弦和余弦)來表示，是二倍角公式的推論．(2)留意taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))的適用范圍．[答一答]求半角的正切值常用什么方法？提示：依據(jù)閱歷，解決半角的正切值問題有三種方法：(1)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))；(2)taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)；(3)taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα).對(duì)半角公式的四點(diǎn)相識(shí)(1)半角公式的正弦、余弦公式事實(shí)上是由二倍角公式變形得到的．(2)半角公式給出了求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切的另一種方式，即只需知道cosα的值及相應(yīng)α的條件，便可求出sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2).(3)由于taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)及taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)不含被開方數(shù)，且不涉及符號(hào)問題，所以求解關(guān)于taneq\f(α,2)的題目時(shí)，運(yùn)用相對(duì)便利，但須要留意該公式成立的條件．(4)涉及函數(shù)的升降冪及角的二倍關(guān)系的題目，常用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)求解.類型一用半角公式求值【例1】已知sinα＝－eq\f(8,17)且π<α<eq\f(3π,2)，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)的值．【思路探究】半角公式是用單角的余弦值求半角的三角函數(shù)值，因此要先依據(jù)條件求出cosα，再代入半角公式求值．【解】∵sinα＝－eq\f(8,17)，π<α<eq\f(3π,2)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－－\f(8,17)2)＝－eq\f(15,17).又eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<eq\f(3π,4)，∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(\f(1＋\f(15,17),2))＝eq\f(4\r(17),17)，coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\r(\f(1－\f(15,17),2))＝－eq\f(\r(17),17)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝－4.規(guī)律方法已知角α的某三角函數(shù)值，用半角公式可求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切值，思路是先由已知利用同角公式求出該角的余弦值，再用半角公式求解，在解題過程中要留意依據(jù)eq\f(α,2)的范圍確定正負(fù)號(hào)．(1)已知θ∈(eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2))，|cos2θ|＝eq\f(1,5)，則sinθ的值為(C)A．－eq\f(\r(10),5) B.eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(15),5)解析：因?yàn)棣取?eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2))，所以2θ∈(eq\f(5π,2)，3π)，所以|cos2θ|＝－cos2θ＝eq\f(1,5)，即cos2θ＝－eq\f(1,5)，所以sinθ＝－eq\r(\f(1－cos2θ,2))＝－eq\r(\f(1－－\f(1,5),2))＝－eq\f(\r(15),5).(2)已知sinα＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5)，α，β均為銳角，求coseq\f(β,2)的值．解：因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(12,13)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(5,13)，又因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π.若0<α＋β<eq\f(π,2)，因?yàn)閑q\f(12,13)>eq\f(4,5)，即sinα>sin(α＋β)，所以α＋β<α，這不行能，所以eq\f(π,2)<α＋β<π.又因?yàn)閟in(α＋β)＝eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(3,5)，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(33,65).而0<β<eq\f(π,2)，0<eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，所以coseq\f(β,2)＝eq\r(\f(1＋cosβ,2))＝eq\f(7\r(65),65).類型二利用公式化簡(jiǎn)【例2】化簡(jiǎn)：eq\f(1＋sinθ＋cosθsin\f(θ,2)－cos\f(θ,2),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)．【思路探究】式子中含有根式，先化單角為半角去根號(hào)，再利用有關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解】原式＝eq\f(2sin\f(θ,2)·cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2),\r(2×2cos2\f(θ,2)))＝eq\f(2cos\f(θ,2)sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2),2cos\f(θ,2))，∵0<θ<π，∴0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴原式＝sin2eq\f(θ,2)－cos2eq\f(θ,2)＝－cosθ.規(guī)律方法三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法與技巧(1)應(yīng)用公式：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，明確對(duì)公式是正用、逆用，還是通過拼湊變形用．(2)統(tǒng)一函數(shù)名稱和角：常采納異名化同名，異角化同角等方式削減三角函數(shù)的名稱和角的種類．(3)特殊值與特殊角的三角函數(shù)的互化：如eq\r(3)＝tan60°.(4)留意“1”的代換，如sin2α＋cos2α＝1，tan45°＝1.已知eq\f(3π,2)<θ<2π，試化簡(jiǎn)：eq\r(1＋sinθ)－eq\r(1－sinθ).解：原式＝|sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)|sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2)|，因?yàn)棣取?eq\f(3,2)π，2π)，所以eq\f(θ,2)∈(eq\f(3π,4)，π)，從而sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)<0，sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2)>0，則原式＝－(sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2))－(sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2))＝－2sineq\f(θ,2).類型三利用公式解決三角函數(shù)綜合問題【例3】在△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，f(B)＝4cosB·sin2(eq\f(π,4)＋eq\f(B,2))＋eq\r(3)cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m>2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【思路探究】本題主要考查倍角公式，兩角和、差公式及已知三角函數(shù)值求角、求最值．化簡(jiǎn)f(B)，并考慮0<B<π即可解題．【解】(1)f(B)＝4cosB·eq\f(1－cos\f(π,2)＋B,2)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋eq\r(3)cos2B＝sin2B＋eq\r(3)cos2B＝2sin(2B＋eq\f(π,3))．∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))＝2，∴2B＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴B＝eq\f(π,12)＋kπ，k∈Z.∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,12).(2)f(B)－m>2恒成立，即2sin(2B＋eq\f(π,3))>2＋m恒成立．∵0<B<π，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))∈[－2,2]，∴2＋m<－2，∴m<－4.規(guī)律方法倍角公式在三角形問題中的應(yīng)用的解題方法先逆用倍角公式對(duì)三角函數(shù)式降冪，然后通過引入?yún)f(xié)助角化成一個(gè)三角函數(shù)，最終結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍求出三角函數(shù)的值域或最值．已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)求f(eq\f(2π,3))的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．解：(1)由sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，得f(eq\f(2π,3))＝(eq\f(\r(3),2))2－(－eq\f(1,2))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(1,2))＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x與sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－eq\r(3)sin2x＝－2sin(2x＋eq\f(π,6))，所以f(x)的最小正周期是π.令eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[eq\f(π,6)＋kπ，eq\f(2π,3)＋kπ](k∈Z)．——易錯(cuò)警示——應(yīng)用半角公式求值時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)【例4】設(shè)3π<α<4π，coseq\f(α,2)＝m，那么coseq\f(α,4)等于()A.eq\r(\f(m＋1,2)) B．－eq\r(\f(m＋1,2))C．－eq\r(\f(1－m,2)) D.eq\r(\f(1－m,2))【錯(cuò)解】C或A【正解】由于coseq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,4)－1，可得cos2eq\f(α,4)＝eq\f(cos\f(α,2)＋1,2)①，又3π<α<4π，所以eq\f(3π,4)<eq\f(α,4)<π②.所以coseq\f(α,4)<0，所以coseq\f(α,4)＝－eq\r(\f(m＋1,2)).【錯(cuò)解分析】選C.將①處的余弦降冪公式錯(cuò)記為正弦降冪公式導(dǎo)致錯(cuò)選C；選A.忽視對(duì)②處角的探討導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤，錯(cuò)選A.【答案】B【防范措施】1.熟記三角函數(shù)公式嫻熟記憶并能敏捷運(yùn)用三角函數(shù)公式是正確解題的前提，如本例①處對(duì)公式的變形應(yīng)用．2．明確三角函數(shù)值的符號(hào)應(yīng)用半角公式求值時(shí)，要特殊留意半角的三角函數(shù)值符號(hào)的確定，否則會(huì)出現(xiàn)符號(hào)的失誤，如本例②處對(duì)角的范圍的計(jì)算，是明確coseq\f(α,4)值的符號(hào)的關(guān)鍵．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))等于(A)A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．2D．－2解析：因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵琧osα＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5).所以eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(1＋\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))×eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).一、選擇題1．在taneq\f(x,2)的定義域內(nèi)，下列各式中恒成立的一個(gè)是(C)A．taneq\f(x,2)＝eq\r(\f(1－cosx,1＋cosx)) B．taneq\f(x,2)＝－eq\r(\f(1－cosx,1＋cosx))C．taneq\f(x,2)＝eq\f(1－cosx,sinx) D．taneq\f(x,2)＝eq\f(sinx,1－cosx)2．若cosα＝eq\f(2,3)，且α∈(0,2π)，則sineq\f(α,2)等于(A)A.eq\f(\r(6),6) B．－eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(30),6) D．－eq\f(\r(30),6)解析：∵α∈(0,2π)，∴eq\f(α,2)∈(0，π)．∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(\f(1－\f(2,3),2))＝eq\r(\f(1,6))＝eq\f(\r(6),6).3．已知sineq\f(α,2)＝eq\f(4,5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(3,5)，則α所在的象限是(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2×eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))＝－eq\f(2