北京大學(xué)保送數(shù)學(xué)試卷

北京大學(xué)保送數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系保送生的選拔考試中，下列哪個(gè)函數(shù)不屬于初等函數(shù)？

A.$y=x^2$

B.$y=e^x$

C.$y=\lnx$

D.$y=\sinx$

2.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，求函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)。

A.$x=-1$

B.$x=0$

C.$x=1$

D.$x=3$

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2^n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的通項(xiàng)公式為：

A.$S_n=2^{n+1}-n-2$

B.$S_n=2^{n+1}-2n$

C.$S_n=2^n-n-1$

D.$S_n=2^n-n$

4.若$a,b,c$是等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，且$a+b+c=12$，則$ab+bc+ca$的值為：

A.36

B.48

C.60

D.72

5.設(shè)矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$A$的行列式。

A.5

B.7

C.9

D.11

6.若$a,b,c$是等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，且$a+b+c=12$，則$ab+bc+ca$的值為：

A.36

B.48

C.60

D.72

7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值和最小值。

A.最大值為1，最小值為-1

B.最大值為3，最小值為-1

C.最大值為1，最小值為-3

D.最大值為3，最小值為-3

8.設(shè)矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$A$的逆矩陣。

A.$A^{-1}=\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$

B.$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\1&-4\end{bmatrix}$

C.$A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$

D.$A^{-1}=\begin{bmatrix}-1&2\\2&-1\end{bmatrix}$

9.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2^n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的通項(xiàng)公式為：

A.$S_n=2^{n+1}-n-2$

B.$S_n=2^{n+1}-2n$

C.$S_n=2^n-n-1$

D.$S_n=2^n-n$

10.若$a,b,c$是等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，且$a+b+c=12$，則$ab+bc+ca$的值為：

A.36

B.48

C.60

D.72

二、判斷題

1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)$f(x)=x^2$的圖像是一個(gè)開口向下的拋物線。（）

2.若一個(gè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=a_n^2$，則該數(shù)列一定是遞增數(shù)列。（）

3.兩個(gè)等差數(shù)列的和仍然是等差數(shù)列。（）

4.在二維空間中，兩個(gè)非零向量$\mathbf{a}$和$\mathbf$的點(diǎn)積$\mathbf{a}\cdot\mathbf=0$時(shí)，向量$\mathbf{a}$和$\mathbf$一定是垂直的。（）

5.歐幾里得空間中，任意兩個(gè)不同的平面要么相交，要么平行。（）

三、填空題

1.設(shè)函數(shù)$f(x)=3x^2-4x+1$，則函數(shù)$f(x)$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$\boxed{(\frac{2}{3},\frac{1}{3})}$。

2.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_5=10$，則該數(shù)列的公差$d=\boxed{4}$。

3.矩陣$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$的行列式值為$\boxed{2}$。

4.如果一個(gè)數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=1$，$q=\frac{1}{2}$，則該數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}=\boxed{\frac{1}{2^9}}$。

5.在直線$y=2x+1$上，若點(diǎn)$(x,y)$到原點(diǎn)$(0,0)$的距離最短，則該距離為$\boxed{\frac{1}{\sqrt{5}}}$。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$和$x<0$時(shí)的單調(diào)性，并說明原因。

2.設(shè)$\{a_n\}$是一個(gè)等差數(shù)列，已知$a_1=3$，$a_5=21$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并計(jì)算前10項(xiàng)的和。

3.給定矩陣$\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}$，求該矩陣的逆矩陣，并驗(yàn)證矩陣與其逆矩陣相乘的結(jié)果。

4.解釋如何通過點(diǎn)積判斷兩個(gè)向量在三維空間中的位置關(guān)系，并給出一個(gè)具體的例子。

5.簡(jiǎn)述求解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式$D=b^2-4ac$的意義，并說明它如何影響方程的解的情況。

9.若$\sin^2x+\cos^2x=1$，則$\tan^2x$的值為：

A.$\frac{1}{2}$

B.1

C.2

D.3

10.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2+2n$，求第$n$項(xiàng)$a_n$的值。

六、案例分析題

1.案例分析題：

某公司為了提高銷售額，決定推出一款新產(chǎn)品。已知該公司過去一年的銷售額數(shù)據(jù)如下表所示：

|月份|銷售額（萬(wàn)元）|

|------|--------------|

|1月|20|

|2月|25|

|3月|30|

|4月|35|

|5月|40|

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，分析并回答以下問題：

（1）判斷該公司銷售額是否呈等差數(shù)列，如果是，求出公差。

（2）預(yù)測(cè)該公司下一個(gè)月的銷售額，并說明預(yù)測(cè)的依據(jù)。

2.案例分析題：

某班級(jí)有30名學(xué)生，為了提高數(shù)學(xué)成績(jī)，班主任決定對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組輔導(dǎo)。根據(jù)學(xué)生的成績(jī)，將學(xué)生分為三個(gè)小組，每組10人。以下是三個(gè)小組的平均成績(jī)：

|小組|平均成績(jī)（分）|

|------|--------------|

|1組|80|

|2組|85|

|3組|90|

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，分析并回答以下問題：

（1）判斷三個(gè)小組的平均成績(jī)是否呈等比數(shù)列，如果是，求出公比。

（2）如果該班主任希望所有學(xué)生的平均成績(jī)至少達(dá)到85分，應(yīng)該如何調(diào)整分組策略？請(qǐng)說明理由。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要10分鐘，且每分鐘可以生產(chǎn)5件產(chǎn)品。如果工廠每天工作8小時(shí)，問：

（1）一天內(nèi)最多可以生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

（2）如果每天有4名工人同時(shí)工作，每天最多可以生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

2.應(yīng)用題：

一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2米、3米和4米，求：

（1）長(zhǎng)方體的體積是多少立方米？

（2）長(zhǎng)方體的表面積是多少平方米？

3.應(yīng)用題：

已知某數(shù)的平方是64，求這個(gè)數(shù)。

4.應(yīng)用題：

一個(gè)學(xué)校有1000名學(xué)生，其中男生占60%，女生占40%。如果從學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，問：

（1）抽取的10名學(xué)生中，男生和女生的人數(shù)大約各是多少？

（2）如果問卷調(diào)查顯示抽取的10名學(xué)生中有6名男生，那么實(shí)際男生比例是否高于60%？請(qǐng)說明原因。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.B

7.B

8.B

9.B

10.A

二、判斷題

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空題

1.$\frac{2}{3},\frac{1}{3}$

2.4

3.2

4.$\frac{1}{2^9}$

5.$\frac{1}{\sqrt{5}}$

四、簡(jiǎn)答題

1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$時(shí)單調(diào)遞減，在$x<0$時(shí)單調(diào)遞增。這是因?yàn)楫?dāng)$x>0$時(shí)，隨著$x$的增大，$\frac{1}{x}$的值會(huì)減小；而當(dāng)$x<0$時(shí)，隨著$x$的減?。ń^對(duì)值增大），$\frac{1}{x}$的值也會(huì)減小。

2.通項(xiàng)公式為$a_n=3+4(n-1)=4n-1$。前10項(xiàng)的和為$S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+(10-1)d)=5(6+36)=180$。

3.逆矩陣為$A^{-1}=\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$。驗(yàn)證：$AA^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$。

4.如果兩個(gè)向量$\mathbf{a}$和$\mathbf$的點(diǎn)積$\mathbf{a}\cdot\mathbf=0$，則這兩個(gè)向量是垂直的。例如，$\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$和$\mathbf=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$的點(diǎn)積為$1\cdot0+0\cdot1=0$，所以這兩個(gè)向量垂直。

5.判別式$D=b^2-4ac$用于判斷一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的情況。如果$D>0$，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；如果$D=0$，方程有一個(gè)重根；如果$D<0$，方程沒有實(shí)數(shù)解。

五、計(jì)算題

1.（1）一天內(nèi)最多可以生產(chǎn)$8\times60\times5=2400$件產(chǎn)品。

（2）如果每天有4名工人同時(shí)工作，每天最多可以生產(chǎn)$8\times60\times5\times4=9600$件產(chǎn)品。

2.（1）體積$V=長(zhǎng)\times寬\times高=2\times3\times4=24$立方米。

（2）表面積$A=2(長(zhǎng)\times寬+長(zhǎng)\times高+寬\times高)=2(2\times3+2\times4+3\times4)=52$平方米。

3.這個(gè)數(shù)是$8$或$-8$，因?yàn)?8^2=(-8)^2=64$。

4.（1）男生人數(shù)約為$10\times60\%=6$人，女生人數(shù)約為$10\times40\%=4$人。

（2）是的，實(shí)際男生比例高于60%。因?yàn)槿绻麑?shí)際男生比例低于60%，那么抽取的10名學(xué)生中男生人數(shù)應(yīng)該少于6人，這與實(shí)際情況不符。

題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

-選擇題：考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念和公式的掌握程度，如函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的通項(xiàng)公式、矩陣的行列式等。

-判斷題：