2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)第一零一中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)考三數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)第一○一中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)考三數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題p:?x∈R,x2?x+1<0，則?p為A.?x∈R,x2?x+1≥0 B.?x?R,x2?x+1≥02.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=x12 B.y=1x 3.不等式x?2x>x?2xA.(0,2) B.(?∞,0)

C.(2,+∞) D.(?∞,0)∪(0,+∞)4.在?ABC中，若a=2,∠A=π6A.33 B.23 C.85.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第三天走的路程為(

)A.12里 B.24里 C.48里 D.96里6.十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱枓交疊而成的幾何體(圖2).這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BEC=120°，則該幾何體的體積為(

)

A.272 B.2732 C.7.已知A(?1,0),B(1,0)，若點(diǎn)P滿足PA⊥PB，則點(diǎn)P到直線l:m(x?3)+n(y?1)=0的距離的最大值為A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)，“存在m,n∈0,π2，函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于直線x=mA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件：9.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，c是雙曲線C的半焦距，點(diǎn)A是圓x2+y2=c2上一點(diǎn)，線段FA與雙曲線A.72 B.332 10.函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且它的最小正周期是T，已知fx=(1)對(duì)于給定的正整數(shù)n，存在a∈R，使得n(2)當(dāng)a=T4時(shí)，對(duì)于給定的正整數(shù)n，存在：k∈R(k≠1)，使得(3)當(dāng)a=kT4(k∈Z)(4)當(dāng)a=kT4(k∈Z)時(shí)，g(x)+f(x)的值只有0其中正確判斷的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=2+i.則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

．12.若x?2xn的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中x3的系數(shù)為13.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為5%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為4%，加工出來的零件混放在一起；已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.現(xiàn)任取一個(gè)零件，則該零件是次品的概率為

．14.已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,0，則PA15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)((1)平面A1DF⊥平面(2)存在E，F(xiàn)，使直線A1F,C(3)存在唯一的點(diǎn)E，使三棱錐E?A1BF(4)二面角D?EF?D1正切值的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=3sinx+2cos2x(1)求∠C的大??；(2)若c=5，且?ABC的面積為23，求?ABC17.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，Q為棱PD的中點(diǎn)．

(1)求證：PB/?/平面ACQ；(2)若BA⊥PD，再?gòu)臈l件①?條件②?條件③中選擇若干個(gè)作為已知，使四棱錐P?ABCD唯一確定，并求：(i)直線PC與平面ACQ所成角的正弦值；(ii)點(diǎn)P到平面ACQ的距離．條件①：二面角P?CD?A的大小為45條件②：PD=條件③：AQ⊥PC．18.(本小題12分)某學(xué)校有初中部和高中部?jī)蓚€(gè)學(xué)部，其中初中部有1800名學(xué)生．為了解全校學(xué)生兩個(gè)月以來的課外閱讀時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))各分為5組：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]，得到初中生組的頻率分布直方圖(圖1)和高中生組的頻數(shù)分布表(表1)．表1高中生組分組區(qū)間頻數(shù)0,10210,201020,301430,401240,502(1)求高中部的學(xué)生人數(shù)并估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在30,40小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)；(2)從課外閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記ξ為3人中初中生的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該校高中部抽取10名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有k名學(xué)生的閱讀時(shí)間在30,40的概率為Pk(k=0,1,2,?,10)，請(qǐng)直接寫出k為何值時(shí)Pk取得最大值．(19.(本小題12分)已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l是圓x2+y2=1的一條切線，且直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，若平行四邊形OMPN的頂點(diǎn)P恰好在橢圓20.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=aln(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若?1<a<2ln2?1，求證：函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x0(3)當(dāng)a=?45時(shí)，記函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x0，若對(duì)任意x1,x2∈[0,x0]21.(本小題12分)已知Q:a1,a2,?,ak為有窮正整數(shù)數(shù)列，且a1≤a2≤?≤ak(1)若k=10,ai=2i?1,i=1,2,?,k，判定(2)若1,2,?,n?T，證明：n≤(3)設(shè)ai=3i?1,i=1,2,?,k，若1,2,?,2024參考答案1.C

2.D

3.A

4.D

5.C

6.C

7.C

8.B

9.A

10.C

11.1,3

12.?10

13.4.25%

/0.0425

14.[1,5]

15.(1)(3)(4)

16.解：(1)解：由函數(shù)f(x)=因?yàn)閒(A)=f(B)，可得sin(A+在?ABC中，因?yàn)锳,B∈(0,π)，所以A+π又因?yàn)閍≠b，所以A≠B，所以(A+π6)+(B+因?yàn)锳+B+C=π，所以C=π(2)解：由(1)知C=π3，因?yàn)?ABC的面積為S?ABC在?ABC中，由余弦定理得c2=a整理得a2+b即(a+b)2=25+3ab=49所以?ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=12．

17.(1)

(1)連接BD，交AC于O，連接OQ，底面ABCD是正方形，故O是BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镼為棱PD的中點(diǎn)，所以，在?PBD中OQ//PB，而OQ?平面ACQ,PB?平面ACQ，所以PB/?/平面ACQ．(2)選①②：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因?yàn)锽A⊥PD，所以CD⊥PD，因?yàn)槎娼荘?CD?A的大小為45°，平面PAD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,PD⊥CD，所以在?PAD中，PA所以PA故PA⊥AD，又因?yàn)锽A⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D,AD?PD?平面PAD，所以BA⊥平面PAD，選①③：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因?yàn)锽A⊥PD，所以CD⊥PD，因?yàn)槎娼荘?CD?A的大小為45°，平面PAD∩平面所以∠ADP=45因?yàn)镃D⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD?PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因?yàn)锳Q?平面PAD，所以CD⊥AQ，又因?yàn)锳Q⊥PC,PC∩CD=C,PC?CD?平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因?yàn)镻D?平面PCD，所以AQ⊥PD，又因?yàn)镼為PD中點(diǎn)，所以PA=AD，所以∠APD=∠ADP=45所以∠PAD=90°，即因?yàn)锽A//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，選②③：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD⊥CD,BA//CD，因?yàn)镃D⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD?PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因?yàn)锳Q?平面PAD，所以CD⊥AQ，又因?yàn)锳Q⊥PC,PC∩CD=C,PC?CD?平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因?yàn)镻D?平面PCD，所以AQ⊥PD，又因?yàn)镼為PD中點(diǎn)，所以PA=AD=1，在?PAD中，PA故PA⊥AD，因?yàn)锽A//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，選①②③同上．以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0故AQ=令m=x,y,z為面ACQ令x=1，則m=(i)因?yàn)閏osm所以直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為13(ii)由(i)知點(diǎn)P到平面ACQ的距離13

18.(1)100名學(xué)生中高中生有2+10+14+12+2=40人，初中生有100?40=60人，設(shè)高中部的學(xué)生人數(shù)為x，則有x1800設(shè)100名學(xué)生中初中生在30,40小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為y，則有0.005×10+0.03×10+0.04×10+y100名學(xué)生中高中生在30,40小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為12人，因此全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在30,40小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)估計(jì)為：1200×12(2)課外閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本中，初中學(xué)生人數(shù)為0.005×10×60=3人，高中學(xué)生人數(shù)為2人，所以ξ=1,2,3，因此有P(ξ=1)=C31?C所以ξ的分布列如下：P123ξ331ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ(3)由(1)高中部的學(xué)生人數(shù)為1200，其中閱讀時(shí)間在30,40的人數(shù)為1200×12所以每個(gè)人被抽到30,40內(nèi)的概率為3601200因此Pk假設(shè)Pk為最大項(xiàng)，則有解得：2.3≤k≤3.3，因?yàn)閗=0,1,2,?,10，所以當(dāng)k=3時(shí)，Pk

19.解：(1)由題意可得

2b=23ca=所以橢圓

C

的方程為

x26(2)當(dāng)圓的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為

x=±1

，當(dāng)切線方程為

x=1

時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可得

P2,0

因?yàn)?/p>

46+03=2當(dāng)切線方程為

x=?1

時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可得

P?2,0

因?yàn)?/p>

46+03=2所以切線的斜率存在，設(shè)切線方程為

y=kx+m

，

則

mk2+1=1

，所以聯(lián)立

y=kx+mx26+y23=1

，整理得故設(shè)

Mx1,y1,Nx2故

y1+所以線段

MN

的中點(diǎn)坐標(biāo)為

?2km2因?yàn)樗倪呅?/p>

OMPN

為平行四邊形，

所以

P?4km又因?yàn)辄c(diǎn)

P在橢圓

C上，所以

16k2m將①代入②得

8k2k2+132k所以

m=±6所以

|MN|=1+=32?所以

S?OMPN=2

20.(1)函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,+∞，f′x令f′x=0，則x=0或當(dāng)a+1=0，即a=?1時(shí)，f′x=?所以函數(shù)fx在?1,+∞當(dāng)a+1>0，即?1<a<0時(shí)，a<x<0或x>a+1時(shí)，f’(x)<0，所以函數(shù)fx在a,0,a+1,+∞當(dāng)a+1<0，即a<?1時(shí)，a<x<a+1或x>0時(shí)，f’(x)<0，所以函數(shù)fx在a,a+1,0,+∞綜上所述，當(dāng)a=?1時(shí)，函數(shù)fx的增區(qū)間為?1,+∞當(dāng)?1<a<0時(shí)，函數(shù)fx的減區(qū)間為a,0,a+1,+∞當(dāng)a<?1時(shí)，函數(shù)fx的減區(qū)間為a,a+1,0,+∞(2)證明：當(dāng)?1<a<2ln2?1時(shí)，因?yàn)樗杂?1)知，f(x)的極小值為f(0)，極大值為f(a+1)，因?yàn)閒0=aln且f(x)在(a+1,+∞)上是減函數(shù)，所以f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)?1<a<2所以f(a+2)=aln即由數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且a+1<(3)因?yàn)閘n2≈0.7，所以?1<?所以任意x1,x由(2)可知x1∈0,a+1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在0,a+1上是增函數(shù)，在(a+1,+∞)上是減函數(shù)，所以f(x1)≥f(0)所以f(x當(dāng)a=?45時(shí)，因?yàn)閘n9所以fx所以f(x2)?f(所以使得f(x2)?f(x1

21.解：(1)31是，1024不是，理由如下：由題意可知x1當(dāng)ai=2顯然若x1=?1,x而t≤2故31是k?可表數(shù)，1024不是k?可表數(shù)；(2)由題意可知若xi=0?t=0，即設(shè)s∈T，即?xi∈所以?x1a1+所以若1,2,?,n?T