福建省寧德市福鼎第七中學2020年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

福建省寧德市福鼎第七中學2020年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設全集U=R，集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x∈N|x≤3}，則（?UA）∩B等于（）A．? B．{0，1} C．{1，2} D．{1，2，3}參考答案：C【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【分析】解不等式得集合A，根據(jù)集合的定義求出?UA以及（?UA）∩B即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣3x≥0}={x|x≤0或x≥3}，B={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，∴?UA={x|0＜x＜3}，∴（?UA）∩B={1，2}．故選：C．【點評】本題考查了解不等式與集合的基本運算問題，是基礎題．2.集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，B={x|x＜﹣1}，則A∩（?RB）等于（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|﹣2≤x≤1}參考答案：C【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】解不等式求出A，根據(jù)補集與交集的定義計算即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，?RB={x|x≥﹣1}，∴A∩（?RB）={x|﹣1≤x≤3}．故選：C．【點評】本題考查了解不等式與集合的基本運算問題，是基礎題．3.“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.已知函數(shù)，對于任意的兩個實數(shù)，下列關系不一定成立的是A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知α是第二象限角，且sin（π﹣α）=，則sin2α的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．﹣參考答案：A【考點】二倍角的正弦．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosα，根據(jù)二倍角公式即可求得sin2α的值．【解答】解：∵α是第二象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα=﹣=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故選：A．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角公式的應用，屬于基礎題．6.復數(shù)z滿足：（z－i）（1－i）=2．則z=

A．一l－2i

B．一1十2i

C．1—2i

D．1+2i參考答案：7.設點在曲線上,點在曲線上,則的最小值是A.

B.

C.

D.參考答案：D8.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D9.設的內(nèi)角所對的邊分別為.若，則的形狀為（

）A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.不確定參考答案：A10.過原點的直線與圓x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切點在第三象限，則該直線方

程為A．y＝x

B．y＝－x

C．y＝x

D．y＝－x參考答案：C圓x2＋y2＋4x＋3＝0的圓心為P(－2,0)，半徑r＝1，如圖所示，過原點的直線l切圓于點A，則PA⊥l，|PA|＝1，|OP|＝2，在Rt△PAO中，∠POA＝30°，∴kl＝tan30°＝，∴l(xiāng)的方程為y＝x.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域為_________________.參考答案：略12.某志愿者小組一共有6人，某一天中需要排成上午、下午兩個班去參加服務，每班2人，則不同的排法的種數(shù)為

。參考答案：答案:9013.平面向量滿足，，，，則的最小值為

.參考答案：14.已知，，則的值為________．參考答案：略15.拋物線的準線方程是

.【知識點】拋物線的幾何性質(zhì)

H7參考答案：解析：拋物線的標準方程為：，所以準線方程為：故答案為：.【思路點撥】先將方程化為標準方程，即可得到.16.若命題“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：17.已知，，且，則cos=

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）（2016?江西模擬）已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．（1）若函數(shù)f（x）有且只有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）對于函數(shù)f（x）、f1（x）、f2（x），若對于區(qū)間D上的任意一個x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），則稱函數(shù)f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間D上的一個“分界函數(shù)”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2，問是否存在實數(shù)a，使得f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個“分界函數(shù)”？若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f（x）有且只有一個極值點，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范圍即可；（2）根據(jù)“分界函數(shù)”的定義，只需x∈（1，+∞）時，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f′（x）=，x∈（1，+∞），令g（x）=x2﹣2ax+1，由題意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1個零點，∴g（1）＜0，解得：a＞1；（2）若f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個“分界函數(shù)”，則x∈（1，+∞）時，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣）x2﹣2ax+lnx，則h′（x）=，①2a﹣1≤0即a≤時，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，且h（1）=﹣﹣a，∴h（1）≤0，解得：﹣≤a≤；②2a﹣1＞0即a＞時，y=（a﹣）x2﹣2ax的圖象開口向上，存在x0＞1，使得（a﹣）﹣2ax0＞0，從而h（x0）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，令m（x）=f（x）﹣（1﹣a2）lnx=x2﹣2ax+a2lnx，則m′（x）=≥0，m（x）在（1，+∞）遞增，由f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤，綜上，a∈[﹣，]時，f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個“分界函數(shù)”．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查新定義問題，是一道綜合題．19.已知橢圓C：的右焦點為F（1，0），且點（﹣1，）在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．【分析】（1）利用橢圓的定義求出a的值，進而可求b的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）先利用特殊位置，猜想點Q的坐標，再證明一般性也成立即可．【解答】解：（1）由題意，c=1∵點（﹣1，）在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴橢圓C的標準方程為；（2）假設x軸上存在點Q（m，0），使得恒成立當直線l的斜率為0時，A（，0），B（﹣，0），則=﹣，∴，∴m=①當直線l的斜率不存在時，，，則?=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面證明m=時，恒成立當直線l的斜率為0時，結(jié)論成立；當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直線方程代入橢圓方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）?（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣綜上，x軸上存在點Q（，0），使得恒成立．20.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]已知曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標方程．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）若直線l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）與曲線C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求|OM|的最大值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（I）利用平方關系可得曲線C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．（II）聯(lián)立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，設A（ρ1，α），B（ρ2，α），可得ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2，即可得出．【解答】解：（I）曲線C的普通方程為（x+1）2+（y﹣1）2=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0．（II）聯(lián)立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，設A（ρ1，α），B（ρ2，α），則ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2，由|OM|=，得|OM|=，當α=時，|OM|取最大值．21.已知函數(shù)p（x）=lnx﹣x+4，q（x）=．（1）若函數(shù)y=p（x），y=q（x）的圖象有平行于坐標軸的公切線，求a的值；（2）若關于x的不等式p（x）﹣4＜q（x）的解集中有且只有兩個整數(shù)，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線斜率，得到關于a的方程，解出即可；（2）分離參數(shù)a，令，求出函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由題知p'（x）=q'（x），即，當x=1￡?p'（1）=q'（1）=0，即x=1是y=p（x），y=q（x）的極值點，所以公切線的斜率為0，所以p（1）=q（1），lnl﹣1+4=ae，可得．（2）p（x）﹣4＞q（x）等價于，令，則，令φ（x）=x﹣lnx﹣1，則，即φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增．φ（x）min=φ（1）=0，∴φ（x）≥0恒成立，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增．，因為解集中有且只有兩個整數(shù)．22.設函數(shù)f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）當m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求f（x）的極小值；（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）=f′（x）﹣零點的個數(shù)．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】計算題；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出導數(shù)，令它大于0，得到增區(qū)間，令小于0，得到減區(qū)間，從而求出極小值；（Ⅱ）求出g（x）的表達式，令它為0，則有m=﹣x3+x．設h（x）=﹣x3+x，其定義域為（0，+∞）．則g（x）的零點個數(shù)為h（x）與y=m的交點個數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間得到最值，畫出h（x）的圖象，由圖象即可得到零點個數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）當m=e時，f（x）=lnx+，其定義域為（0，+∞）．f′（x）=﹣=令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，則0＜x＜e；f′（x）＜0，則x＞e．故當x=e時，f（x）取得極小值f（e）=lne+=2．（Ⅱ）g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，其定義域為（0，+∞）．令g（x）=0，得m=﹣x3+x．設h（x）=﹣x3+x，其定義域為（0，+∞）．則g（x）的零點個數(shù)為h（x）與y=m的交點個數(shù)．h′（x）=﹣x2+1=﹣（x+1）