福建省寧德市福安老區(qū)中學高三數(shù)學文期末試題含解析

福建省寧德市福安老區(qū)中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，有下列四個命題；①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)；③當時，函數(shù)恒成立；④當時，函數(shù)有一個零點，其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B①函數(shù)的定義域是，，不滿足函數(shù)奇偶性定義，所以函數(shù)非奇非偶函數(shù)，所以①錯誤；②取，，，所以函數(shù)在不是單調(diào)函數(shù)，所以②錯誤；③當時，，要使，即，即，令，，，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以③正確；④當時，函數(shù)的零點即為的解，也就是，等價于函數(shù)與函數(shù)圖像有交點，在同一坐標系畫出這兩個函數(shù)圖像，可知他們只有一個交點，所以④是正確的．故選B．2.已知對任意實數(shù)，有，，且時，，，則時

（）A.，

B.，C.，

D.，參考答案：B3.已知函數(shù)，若方程在上有3個實根，則k的取值范圍為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的極值和最值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當時，，則不成立，即方程沒有零解.?當時，，即，則設則由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增；由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值；當時，；當時，；?當時，，即，則.設則由得（舍去）或，此時函數(shù)單調(diào)遞增；由得，此時單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值；當時，當時，作出函數(shù)和的圖象，可知要使方程在上有三個實根，則.故選B.【點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．4.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（

）．A.6π B.12π C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)三視圖還原直觀圖，其直觀圖為底面是正方形的四棱錐，將其拓展為正方體，轉(zhuǎn)化為求正方體的外接球的表面積.【詳解】由三視圖可得，該幾何體為底面是正方形，一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，以為頂點將其拓展為正方體，且正方體的邊長為2，則正方體的外接球為四棱錐的外接球，外接球的直徑為正方體的對角線，即，所以該幾何體的外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系、多面體與球的“外接”問題，考查等價轉(zhuǎn)化思想以及直觀想象能力，屬于基礎題.5.已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點．角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．參考答案：A∵角的終邊過點，∴，，∵，故角的終邊在第一或第二象限，當角的終邊在第一象限時，，，當角的終邊在第二象限時，，，故選A．6.如圖，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值（

）A．

B.C.

D.參考答案：【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)．B5

【答案解析】A

解析：由得：，（0＜k＜1）．由題設得∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx，即∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=（x2﹣x3）|01=，∴（1﹣k）3=，∴k=1﹣，故選：A【思路點撥】先由得，根據(jù)直線y=kx分拋物線y=x﹣x2與x軸所圍成圖形為面積相等的兩個部分得∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx，下面利用定積分的計算公式即可求得k值．7.從單詞“education”中選取5個不同的字母排成一排，則含“at”（“at”相連且順序不變）的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：A8.復數(shù)滿足，則A．

B．

C．

D．參考答案：C考點：復數(shù)乘除和乘方因為，所以

所以

故答案為：C9.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，其中一條漸近線方程為y=x（b∈N*），P為雙曲線上一點，且滿足|OP|＜5（其中O為坐標原點），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比數(shù)列，則雙曲線C的方程為(

) A．﹣y2=1 B．x2﹣y2=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A考點：雙曲線的標準方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：由已知條件推導出|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16，由余弦定理得|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2，由此求出b2=1，由一條漸近線方程為y=x，求得a=2，由此能求出雙曲線方程．解答： 解：∵|F1F2|2=|PF1|?|PF2|，∴4c2=|PF1|?|PF2|，∵|PF1|﹣|PF2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|=16，即：|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16，①設：∠POF1=θ，則：∠POF2=π﹣θ，由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2﹣2|OF2|?|OP|?cos（π﹣θ），|PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|?cosθ整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②由①②化簡得：|OP|2=8+3c2=20+3b2∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．∵一條漸近線方程為y=x（b∈N*），∴=，∴a=2，∴=1．故選：A．點評：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．10.如圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲800個點，其中落入黑色部分的有453個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積約為（）A.11 B.10 C.9 D.8參考答案：C【分析】計算正方形二維碼的面積，利用面積比等于對應的點數(shù)比，即可求出黑色部分的面積.【詳解】因為邊長為4的正方形二維碼面積為，設圖中黑色部分的面積為，則，所以.故選C【點睛】本題主要考查模擬方法估計概率，熟記模擬估計方法即可，屬于基礎題型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（不等式選做題）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|，則不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為_________．參考答案：略12.已知數(shù)列的最小值為

。參考答案：13.若一次函數(shù)滿足，則的值域為_____.參考答案：略14.已知的展開式中沒有常數(shù)項,且，則

.參考答案：5略15.若關(guān)于的方程有3個不相等的實數(shù)解、、，且<0<<，其中，e=2.71828......則的值為

.參考答案：116.參考答案：17.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3=2a4=2，則S6=．參考答案：【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a3=2a4=2，∴q=，=2，解得a1=8．則S6==．故答案為：．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分）已知函數(shù)(1)求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；(2)若函數(shù)y=f（x）+g（x）有兩個不同的極值點x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，時，函數(shù)f（x）在（t，）上單調(diào)遞減，在（，t+2）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值為f（）=﹣，②當t≥時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，；（2）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，則y′=lnx﹣2x+1+a題意即為y′=lnx﹣2x+1+a=0有兩個不同的實根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有兩個不同的實根x1，x2（x1＜x2），等價于直線y=a與函數(shù)G（x）=﹣lnx+2x﹣1的圖象有兩個不同的交點∵G′（x）=﹣+2，，∴G（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象的大致形狀（如右圖），由圖象知，當a＞G（x）min=G（））=ln2時，x1，x2存在，且x2﹣x1的值隨著a的增大而增大而當x2﹣x1=ln2時，由題意，兩式相減可得ln=2（x2﹣x1）=2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此時a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，實數(shù)a的取值范圍為a＞ln2﹣ln（）﹣1；19.（本小題滿分12分）為了參加貴州省高中籃球比賽，某中學決定從四個籃球較強的班級的籃球隊員中選出人組成男子籃球隊，代表該地區(qū)參賽，四個籃球較強的班級籃球隊員人數(shù)如下表：班級高三（）班高三（）班高二（）班高二（）班人數(shù)12699（Ⅰ）現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這四個班中抽取運動員，求應分別從這四個班抽出的隊員人數(shù)；（Ⅱ）該中學籃球隊奮力拼搏，獲得冠軍．若要從高三年級抽出的隊員中選出兩位隊員作為冠軍的代表發(fā)言，求選出的兩名隊員來自同一班的概率．參考答案：18、解：（Ⅰ）由題，應從高三（）班中抽出人，應從高三（17）班中抽出人，應從高二（31）班中抽出人，應從高二（32）班中抽出人.………………（II）記高三（7）班抽出的4人為、、、，高三（17）班抽出的兩人為、，則從這6人中抽出2人的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、共15件， 記“抽出的2人來自同一班”為事件C，則事件C含：、、、、、、共7件， 故 略20.已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F(xiàn)分別是AB、PD的中點．（1）求證：AF∥平面PEC；（2）求平面PEC與平面ECD夾角的余弦值．參考答案：考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）取PC的中點M，連結(jié)MF、ME，通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論；（2）以A為原點建立空間直角坐標系，則所求值即為平面PEC的法向量與平面ABCD的法向量的夾角的余弦值的絕對值，計算即可．解答： （1）證明：取PC的中點M，連結(jié)MF、ME，又∵F是PD的中點，∴MF∥DC，且BF=DC，又DC∥AE，∴MF∥AE，又E是AB的中點，且AB=CD，∴MF=AE，∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴AF∥EM，又EM?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC；（2）解：以A為原點建立空間直角坐標系如圖，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，，），P（0，0，1），∴=（1，0，﹣1），=（1，1，0），設平面PEC的法向量為=（x，y，z），由，得，令z=﹣1，得=（﹣1，1，﹣1），而平面ABCD的法向量為=（0，0，﹣1），∴===，∴所求平面PEC與平面ECD夾角的余弦值為．點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的計算，考查空間想象能力、計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.(本小題滿分14分）在直角坐標系上取兩個定點,再取兩個動點,且.（1）求直線與交點的軌跡M的方程；（2）已知點()是軌跡M上的定點，E,F是軌跡M上的兩個動點，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率滿足，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由.參考答案：解：（１）依題意知直線的方程為：-----------①-----1分直線的方程為：-------------------------②----------2分設是直線與交點，①×②得由整理得-------------------------------------5分∵不與原點重合∴點不在軌跡M上-----------------6分∴軌跡M的方程為（）-----------------------------------7分（2）∵點()在軌跡M上∴解得，

即點A的坐標為--8分設，則直線AE方程為：，代入并整理得-------------------------