福建省寧德市福鼎第五中學高二數學理聯考試卷含解析

福建省寧德市福鼎第五中學高二數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.觀察下圖：12343456745678910……則第________行的各數之和等于

()．A．2014

B．2013

C．1007

D．1008參考答案：C2.一圓錐的內部裝有一個小球，若小球的體積為，則該圓錐側面積的最小值是（

）A.4π B.6π C. D.參考答案：C【分析】由題意考查球與圓錐相切的情況，然后結合均值不等式的結論即可求得圓錐側面積的最小值.【詳解】滿足題意時，圓錐與球相切，其縱截面如圖所示，設圓錐的底面半徑，母線長，內切球半徑，由小球的體積為可知其半徑為，利用等面積法可得：，故，

①不妨設，代入①式整理可得：，則圓錐的側面積的平方：，故，當且僅當時等號成立.故選：C.【點睛】本題主要考查球與圓錐的關系，均值不等式求最值的方法，圓錐的側面積公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3.集合若,則（

） A． B． C． D．參考答案：D4.若f（x）=，f（f（1））=1，則a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1參考答案：D【考點】函數的值．【分析】利用分段函數的性質求解．【解答】解：∵f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0+==a3=1，解得a=1．故選：D．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要注意分段函數的性質及定積分的性質的合理運用．5.函數單調遞增區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.橢圓的離心率為()

A.

B.

C.

D.參考答案：D7.條件p：，，條件q：，，則條件p是條件q的

（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A8.已知對任意實數，有，且時，則時（

）A．

B．C．

D．參考答案：B9.已知、為正實數，且，則的最小值是

A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.下列命題正確的是（

）A.如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行B.如果一條直線垂直于一個平面內的兩條直線，那么這條直線垂直于這個平面C.如果一條直線平行于一個平面內的一條直線，那么這條直線平行于這個平面D.如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行參考答案：D【分析】由直線與直線位置關系，可判斷出A錯；由線面垂直的判定定理，判斷B錯；由直線與平面位置關系判斷C錯；從而選D?！驹斀狻拷猓喝绻麅蓷l直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行，或相交，或異面，故A錯誤；如果一條直線垂直于一個平面內的兩條平行直線，那么這條直線不一定垂直于這個平面，故B錯誤；如果一條平面外直線平行于一個平面內的一條直線，那么這條直線平行于這個平面，但平面內直線不滿足條件，故C錯誤；果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，故D正確；【點睛】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了空間線面關系的判定，難度不大，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設若_______________．參考答案：1略12.統計某校1000名學生的數學會考成績，得到樣本頻率分布直方圖如右圖示，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格人數是

；優(yōu)秀率為

參考答案：800，20%13.由正整數組成的一組數據x1，x2，x3，x4，其平均數和中位數都是2，且標準差等于1，則這組數據為________．(從小到大排列)參考答案：1,1,3,3略14.設，若復數在復平面內對應的點位于實軸上，則_____．參考答案：－1

15.已知焦點為的雙曲線方程是，則

.參考答案：解：

∴

16.過拋物線y2=4x的焦點F的一直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF的長為3，則線段FQ的長為． 參考答案：【考點】拋物線的簡單性質． 【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程． 【分析】先設P（x1，y1），根據線段PF的長為3，利用拋物線的定義得出x1+=3，從而得出P點的坐標，又F（1，0），得出直線PQ的方程，再代入拋物線方程求出Q點的坐標，最后利用兩點間的距離即可求出線段FQ的長． 【解答】解：設P（x1，y1），∵線段PF的長為3， ∴x1+=3，即x1+1=3，∴x1=2， ∴P（2，2）， 又F（1，0）， ∴直線PQ的方程為：y=2（x﹣1）， 代入拋物線方程，得（2（x﹣1））2=4x，即2x2﹣5x+2=0， 解得x=2或x=， ∴Q（，﹣）．∴則線段FQ的長為=． 故答案為：． 【點評】本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，屬于基礎題． 17.若lgx+lgy=1，則的最小值為____.參考答案：２略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某大學“統計初步”課程的教師隨機調查了選該課程的一些學生的情況，具體數據如下表：

非統計專業(yè)統計專業(yè)合計男8436120女324880合計11684200

（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“修統計專業(yè)與性別有關系”？（2）用分層抽樣方法在上述80名女生中按照“非統計專業(yè)”與“統計專業(yè)”隨機抽取10名，再從抽到的這10名女生中抽取2人，記抽到“統計專業(yè)”的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.參考公式：，其中；臨界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“修統計專業(yè)與性別有關系”．詳見解析（2）見解析【分析】（1）根據公式計算，與臨界值表作比較得到答案.（2）根據分層抽樣計算“非統計專業(yè)”與“統計專業(yè)”人數，計算各種情況的概率，列出分布列，求數學期望.【詳解】解：（1）根據表中數據，計算，因

所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“修統計專業(yè)與性別有關系”．（2）用分層抽樣方法在上述80名女生中按照“非統計專業(yè)”與“統計專業(yè)”隨機抽取10名，那么抽到“非統計專業(yè)”4名，抽到“統計專業(yè)”6名．，，

所以的分布列為012

【點睛】本題考查了列聯表，分布列，分層抽樣，數學期望，屬于?？碱}型.19.環(huán)境問題是當今世界共同關注的問題，我國環(huán)保總局根據空氣污染指數PM2.5濃度，制定了空氣質量標準：空氣污染指數(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質量等級優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數，繪制了頻率分布直方圖，經過分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質量重度污染和嚴重污染的日子對機動車輛限號出行，即車牌尾號為單號的車輛單號出行，車牌尾號為雙號的車輛雙號出行(尾號是字母的，前13個視為單號，后13個視為雙號).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質量等級為良與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機抽取2天，求至少有一天空氣質量是中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調查汽車尾氣排放對空氣質量的影響，對限行兩年來的11月份共60天的空氣質量進行統計，其結果如下表：空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數112711731

根據限行前6年180天與限行后60天的數據，計算并填寫2×2列聯表，并回答是否有90%的把握認為空氣質量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關.

空氣質量優(yōu)、良空氣質量污染總計限行前

限行后

總計

參考數據：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：，其中.參考答案：(1)0.003；(2)；(3)有.【分析】(1)因為限行分單雙號，王先生的車被限行的概率為0.05，再利用概率和為1解得答案.(2)利用分層抽樣得到空氣質量良的天氣被抽取的有4天，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，利用排列組合公式的到沒有中度污染的概率，用1減得到答案.(3)補全列聯表，計算，跟臨界值表作比較得到答案.【詳解】(1)因為限行分單雙號，王先生的車被限行的概率為0.05，所以空氣重度污染和嚴重污染的概率應為0.05×2＝0.1，由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因為空氣質量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3∶0.15＝2∶1，按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質量良的天氣被抽取的有4天，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天.記事件A為“至少有一天空氣質量是中度污染”.則

(3)2×2列聯表如下：

空氣質量優(yōu)、良空氣質量污染總計限行前9090180限行后382260總計128112240

由表中數據可得，，所以有90%的把握認為空氣質量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關.【點睛】本題考查了概率的計算，分層抽樣，列聯表，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.20.（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系中，點與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

參考答案：……………………4分（Ⅱ）解法一：設點P的坐標為，點的坐標分別為

則直線的方程式為，直線的方程式為

令得………………6分

于是的面積

…………………7分

又直線AB的方程為

點P到直線AB的距離…………8分

于是的面積………………9分

當時，得…………10分

又，所以，解得………12分

因為，所以?！?3分

故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為………………………14分略21.(本題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中點．(1)求證：A1B∥平面ADC1；(2)求二面角C1-AD-C的余弦值；(3)試問線段A1B1上是否存在一點E，使AE與DC1成60°角？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由．參考答案：A(1)連接A1C，交AC1于點O，連接OD.由ABC-A1B1C1是直三棱柱，得四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點．又D為BC的中點，所以OD為△A1BC的中位線，所以A1B∥OD，因為OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，得BA、BC、BB1兩兩垂直．以B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz.設BA＝2，則B(0，0，0)，C(2