立體幾何中的切接問(wèn)題（微）

第56講立體幾何中的切接問(wèn)題（微專(zhuān)題）

題型一、幾何體的外接球

解決多面體的外接球問(wèn)題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓

的圓心，再過(guò)圓心作垂宜此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置.對(duì)

于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的方法找到球心位置.

例1、（2023?安徽?統(tǒng)考一模）在三棱錐P-A8C中，R4_L底面A8C,C4=C8=P4=2,/AC8;與，則三棱

錐P-A8C外接球的表面積為（）

A.25兀B.207tC.16兀D.127r

【答案】B

【分析】求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.

【詳解】由C4=C8=2,N4C5=2,得NCA8=NC8A='，

36

「=W

所以M8C的外接圓半徑.7T2一，

sin—

6

由于尸AJL底面A8C,所以外接球的半徑R==石,

所以外接球的表面積S=4成2=2M.

故選：B.

變式1、（2022?江蘇海門(mén)?高三期末）已知正四棱錐P-A8CD的底面邊長(zhǎng)為2&，側(cè)棱％與底面48CD所成

的角為45。，頂點(diǎn)P,4B,C,。在球。的球面上，則球。的體積是（）

32o/o

A.16nB.—7tC.8/rD.—

33

【答案】B

【分析】

探求正四棱錐尸-A8a）的頂點(diǎn)P在底面上射影。'與球。的球心關(guān)系即可計(jì)算作答.

【詳解】

在正囚楂錐P—A8CQ中，連接4C,BD,ACBD=（J.連PO\如圖，

則有PO'_L平面ABCD,ZPA(7為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即NPA。=45,

于是得O'P=O'4=O'B=O'C=O'O=也48=2,

2

因此，頂點(diǎn)P,48,C,。在以O(shè)'為球心，2為半徑的球面上，即點(diǎn)。勺。重合,

432

所以球。的體積是丫=；乃x23=—乃.

33

故選：B

變式2、（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱(chēng)之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作

注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉喘夾一塹堵，即羨除之形羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行

四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除戶(hù)如圖所示，

底面ABC。為正方形，所=4,其余棱長(zhǎng)為2,則羨除外接球體積與羨除體積之比為（）

北----------友

A.2近兀B.4后江C.~Y~nD.2加

【答案】A

【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)M,取樂(lè)的中點(diǎn)O,連接0M,求出0M的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OA的長(zhǎng)，可知

OA=OB=OC=OD=OE=OF=2,從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進(jìn)而可求

得結(jié)果.

【詳解】連接AC、8。交于點(diǎn)M,取EP的中點(diǎn)0,連接0M,則OM_L平面48CQ.取BC的中點(diǎn)G,連接

FG,作G”_LM,垂足為“，如圖所示，

,HG=\IFG?-H產(chǎn)=&，:?0M=HG=yH，

又??,AM=曰48=&，???OA=VOM2+AM2=2,

：.OA=OB=OC=OD=OE=OF=2,即：這個(gè)羨除的外接球的球心為0,半徑為2,

???這個(gè)羨除的外接球體積為K=\r3=^x23=^.

AB//EF,4B（z面COEZLEVu面CDE產(chǎn)，

:.AB!/面CDEF,即：點(diǎn)A到面CDEF的距離等于點(diǎn)B到面CDEF的距離，

又^OED^^OCD,/.^A-OED=YB-OCD=，O~BCD，

工這個(gè)羨除的體積為匕=匕_曲+%3=%"+3%"=4%_88=4,932'2乂虎=華，

J1，

327r

???康除的外接球體積與差除體積方比為%品=2缶.

故選：A.

變式3、（2022?廣東羅湖?高三期末）在“IBC中，ABLBC,且AC=2,BC=l,若將“1BC沿AC邊上的

中線B。折起，使得平面平面8co.點(diǎn)￡在由此得到的四面體A8C。的棱4C上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正

確的為（）

TT1

A.Z4DC=-B.四面體A8CD的體積為耳

C.存在點(diǎn)E使得△切M的面積為gD.四面體488的外接球表面積為孚

43

【答案】BCD

【分析】

取8。的中點(diǎn)M，連接CM,利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化得到4），57）判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；過(guò)A作8。的垂線，利

用直角三角形求出高和底面面積，再利用體積公式求出體積判定選項(xiàng)B正確；求出二比）￡的面積的最大值和

最小值，進(jìn)而判定選項(xiàng)C正確；確定四面體外接球的球心，再通過(guò)直角三角形求出半徑，再求其體積判定

選項(xiàng)D正確.

【詳解】

對(duì)于A：取80的中點(diǎn)M，連接CM,

因?yàn)?C=CD=1,所以CM_L8D,

又平面平面BCD,

所以CM_L平面ABO,則CM_LAO,

若Z4DC=￥,plijAD1CD,

2

所以AD_L平面CM。，則ADJ.8O，

顯然不可能，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：考查三棱錐4-BCZ）的體枳，易知△以?的面積為立,

4

在平面4;。中，過(guò)A作8D的垂線，交3D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，

易知AH=,

2

因?yàn)槠矫鍭6O1,平面BCD,所以47_L到平面BCD,

即三棱錐4一8CO的高為AH=—,

2

所以三棱錐A-88的體積為V=1x立〉立=1，

3428

即四面體4BCD的體積為:，故選項(xiàng)B正確；

O

對(duì)于C：顯然當(dāng)AC平面8￡花時(shí)，小陀的面積取得最小值,

易知CH=旦、且4”=且，所以,

222

又四面體A8CQ的體積為:，所以_L=_lxSx典，

8832

即5=刈0<,，且△3CQ的面積為立〉，，

40444

所以存在點(diǎn)E使得,,班>￡的面積為;，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：設(shè)△8CO與△ABO的外心依次為01,。2，

過(guò)。|作平面BCD的垂線4,過(guò)。2作平面，$。的垂線4，

則四面體ABCO的外接球球心。為直線/,與12的交點(diǎn),

則四邊形皿畋為矩形’旦02M造，℃釜,

所以四面體ABCD的外接球半徑為R=OC=JO。+OC?=個(gè)02M'OQ

則外接球表面積為S=4求2=4nx—=故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

變式入（2022?河北張家U?高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉膈

（b位歷0）.如圖，三棱錐O—ABC為一個(gè)鱉膈，其中D4J_平面ABC,ABJ.BC,DA=AB=BC=2,AM±DC,

M為垂足，則（）

A.AW_L平面BCD

B.OC為三棱錐。-ABC的外接球的直徑

C.三棱錐M-ABD的外接球體積為4岳

D.三棱錐M-ABC的外接球體積與三棱錐M-AAD的外接球體積相等

【答案】BC

【分析】

利用線面垂直的判定可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用直角三角形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤：確定球心的位置，

求出三棱錐A3。的外接球的半徑，利用球體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的ZE誤；求出三棱錐M-A5C的

外接球半徑，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)廣A選項(xiàng)，如下圖，過(guò)點(diǎn)A向80引垂線，垂足為N,

AD_L平面48C,8Cu平面ABC,則8C_L4O,

V8CLAB,ABr>AD=A,則BCJ■平面ABD,

又AN、8Ou平面45。，所以，CBIAN,CB上BD,

ANLBD,BbBD=B,則？VV_L平面8。。，

這與A”_L平面BCD矛盾，A錯(cuò)：

對(duì)于B選項(xiàng)，?.AD_L平面ABC,ACu立面ABC,則AC_LA￡>,

在三棱錐O—ABC中，^DAC=^CBD=90,則OC的中點(diǎn)到A、B、C、O的距離相等,

所以為三棱錐。-ABC的外接球的直徑，故B正確：

對(duì)于C選項(xiàng)，分別取8。、CD的中點(diǎn)N、E,連接EN,

因?yàn)镹、E分別為8。、8的中點(diǎn)，則田V//BC,

???8。_1_平面"。，則ENJL平面4)_L平面ABC,AB\平面ABC,則AB_LA￡>,

故△48。的外心為線段8。的中點(diǎn)N,因?yàn)镋Nu平面的犯，則平面MBO1平面麗，

故三棱錐M-ABD的外接球球心在直線EN上,即該球球心在平面MBD內(nèi)，

所以的外接圓直徑2R為-:棱錐M-ABZ)的外接球直徑，

BC=Z，CD=y/AD2+AC2=ylAD1+AB2+BC2=2?

AD-AC2>/6l~AT^AU246

AM-------------?MC='JAC-AM-----,

CD33

在町a(chǎn)BCD中，cosZfiCD=—=—,sinZBDC=—=—,

CD3CD3

在△A'C中，由余弦定理得，BM=JBC?+CM?-2BCCMcosNBCD=2，

BM2r-

2A=---------------=—p=-=2v3-

故sinZMDB75，則R=6,

T

所以三棱錐也的外接球體枳為:不=4后,故C正確；

因?yàn)椤癆MC=/ABC=9(),故AC為三棱錐M-48c的外接球的直徑，且4。=2&，

而三棱錐的外接球直徑為26，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

變式5、(2022?江蘇如皋?高三期末)已知三棱錐。-48c中，AB=AC=AD=1,^DAB=ZDAC=^ZBAC

=鄉(xiāng)，則點(diǎn)4到平面BC。的距離為,該三棱錐的外接球的體積為.

【答案】叵7>/2?

-----7T

754

【分析】①憶.由匕.88,等積法計(jì)算頂點(diǎn)到底面的距離；②求三棱錐外接球球心，然后再求體枳.

【詳解】

V

①如下圖所示，VD-ABC=A-BCD

設(shè)點(diǎn)4到平面BCD的距離為力，取8c中點(diǎn)￡,連4￡、DE,

因?yàn)?8=AC=AD=1,N3AC=f,所以8c=1,AE=立,DE且,

322

1.⑸

^SAD-xlx—xl

ABC22

所以人--=-V-2-1-

1,幣7

3°.BCD—xlx--

22

②取A8中點(diǎn)F,連CF交八E于G,則G是二ABC的外心，過(guò)G作。GDA,。為三棱錐外接球的球心,

,所以AG=：AE=^^

過(guò)0作OHA(J

33

則—,所以oG=g,R

設(shè)球的半徑為R,

47歷

所以修=鏟=-----71

54

故答窠為：?—:②豈為乃

754

變式6、（2022?廣東潮州?高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉脯，在鱉

嚅4SCD中，A8J_平面BCD,CD1.AD,48=8。=&,已知?jiǎng)狱c(diǎn)￡從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱4D上一點(diǎn)

到點(diǎn)B的最短距離為布，則該棱錐的外接球的表面積為.

【答案】8乃【詳解】

如圖所示：

設(shè)CD=x,由題意得：CB=M,

在aC'BD中，由余弦定理得：CB2=CD:+BD2-2CDBDcos\35,

即（加）2=丁+（應(yīng)）,-2x?夜?（一日）即丁+而_8=0,解得》=2或工=-4（舍去）,

如圖所示：

該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，

則外接球的半徑為：R=（可+（可+22=&,

所以外接球的表面積為5=4萬(wàn)尸=8萬(wàn)，

故答案為：8乃

變式7、（2022?廣東?鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體A-8CQ中，AB=CD=后,AC=BD=M,

BC=AD=9,則其外接球的體積為.

【答案】加幾

3

【分析】

由題意可采用割補(bǔ)法，構(gòu)造長(zhǎng)寬高分別x,y,z的長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線分別為"舊，內(nèi)

解出x,y,z,求長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可.

【詳解】

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線長(zhǎng)分別為6癡，如,

則四面體A-BCD的外接球即為此長(zhǎng)方體的外接球,

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別x,y,z,外接球半徑為R

貝I]f+y2=5,y2+z2=10,x2+Z2=13,

所以V+y2=5,y2+z2=10,%2+z2=13,

則x2+V+Z2=]4=（2R）2,解得R=色，

2

所以V="R3=乂叵笈

33

故答案為：誣冗

3

變式8、（2022?河北保定?高三期末）如圖，OE是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形A8C的中位線，將-ADE沿OE折

起，使得點(diǎn)A與尸重合，平面包E_L平面8CDE,則四楂雉P-8CDE外接球的表面積是.

【■答案'】—524

【分析】

求出四邊形BCDE外接圓的圓半徑，再設(shè)四楂錐P-8aM外接球的球心為O,由R?=僅犬+07^求出半徑,

代入球的表面積公式即可.

【詳解】

如圖，分別取BC,OE的中點(diǎn)O'，F(xiàn),連接尸尸，O'F.

因?yàn)閰?C是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

所以P產(chǎn)=0'尸=6，

所以。8=OC=O7)=OE=2,

則四邊形BCDE外接圓的圓心為O',半徑r=2.

設(shè)四棱錐P-8C0E外接球的球心為。，連接O。'，過(guò)點(diǎn)。作OHJL77"垂足為H.

易證閃邊形"尸。'0是矩形，則Hr=。。，OH=O,F=y/3.

設(shè)四棱錐尸-BCDE外接球的半徑為R,

則R2=O0-+OfB2=OH2+PH2=OfF2+(尸尸-O。)？，

BPR2=OO'2+22=(>/3)2+(73-OO,y,解得Ng,

故四棱錐尸-BCDE外接球的表面積是4我2=學(xué).

故答案為：學(xué)

題型二、幾何體的內(nèi)切球

求解多面體的內(nèi)切球的問(wèn)題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利

用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.

例2、(2021?山東高三其他模擬)如圖所示的由4個(gè)直角三角形組成的各邊長(zhǎng)均為1的六邊形是某棱錐的側(cè)

面展開(kāi)圖，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為.

【答案】1一也

2

【解析】將圖形還原得四棱錐尸―ABCQ,如圖，設(shè)內(nèi)切球的球心為。，半徑為廣,

+

則外^P-ABCD=^O-ABCD+^O-PAB+^O-PBC+^O-PAD%-PDC，

即§x1xS四邊形械力="(S四邊形ABCD+S&PQ+S^PBC+S^PAD+S.p0c),r,

解得i容

故答窠為：1一也

2

變式1、［2022?廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐P一ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿

PhPB，PC三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為2后，則三

棱錐尸一ABC的內(nèi)切球的體積為

【答案】B九

2

=-----

【解析】：三棱錐P-ABC展開(kāi)后為一等邊三角形，設(shè)此此三角形的邊長(zhǎng)為。.則sinA,得

。=6叵.所以三棱錐的棱長(zhǎng)為3拒，可得棱長(zhǎng)的高〃=2月設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,

41c1,c73v43百

4xr

--^c=T-^「=干/切球=三萬(wàn)廠=丁乃

33，得2,所以32

變式2、［2022?廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐。―ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿

P'PB，尸。三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為2#,則三

棱錐P-ABC的內(nèi)切球的體積為

【答案】B九

2

【解析】：三楂錐尸―A3C展開(kāi)后為一等邊三角形，設(shè)此此三角形的邊長(zhǎng)為。.則4指=得

sinA

々=6五.所以三棱錐的棱長(zhǎng)為3亞，可得楂長(zhǎng)的高人=2行設(shè)內(nèi)切球的半徑為一，

4x：r.5乂&?=!.兒5乂叱，得「=名，所以力切球乃，

變式3、（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2,

當(dāng)該圓錐的表面積最小時(shí)，其外接球的表面積為（）

A.817tB.967rC.108兀D.1267r

【答案】A

【分析】作出圖形，設(shè)A8=AC=r（r>2）,SA=l,由三角形相似得到』竺!得到圓錐的表面積為

r-4

”/+“2=孕;，令/⑺=g,由導(dǎo)函數(shù)得到當(dāng)時(shí)，圓錐的表面積取得最小值，進(jìn)而得到此時(shí)

r-4''r-4

，與SB,作出圓錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R,由勾股定理列出方程，求巴外接球半徑和表面積.

【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓的圓心為6,內(nèi)切球圓心為。，

則O8=OC=2,AB=AC,

sonrvc

因?yàn)镾B上AB，O”SA,所以&通，OCS,則才罰=而

設(shè)AC=r(r>2),SA=l,

SB-22l-rSB-22*.2/

故72=文‘由7得：SB=：+2,

2

由2=之得：SB二t±，故且+2=生仁，所以41+4「=，產(chǎn)-/，^+4r=/（r-4）,

rSB2r2

解得：/二"二所以圓錐的表面積為仃/+兀產(chǎn)=孕），

r-4廠一4

2/,，⑺一“（」一4）-4，4，一32~4，（.一8）

令f（『）R，"（…一（’.4廠（產(chǎn).4廠

當(dāng)re（2a,a）時(shí)，/'⑺>0,當(dāng)7*€（2,2a"寸，/'⑺<0,

故/。）=標(biāo)\在「?2,2⑹上單調(diào)遞減，在夜,+oo）上單調(diào)遞增，

故『（「）=';在/*=2a時(shí)取得最小值，.夜）=洛=32,

r-4\'o—4

此時(shí)/=R=逑擔(dān)逑=6&,58=3+2=軍+2=8,

r-44r2V2

設(shè)圓錐的外接球球心為M,連接M4,設(shè)SM=M4=R,

則MB=8-R,

由勾股定理得：MB2+AB2=MA2^即（8-R）2+（2&Y=R2,

9

解得：R=G，故其外接球的表面積為4成2=8hr.

2

故選：A

變式4、（2022?湖北武昌?高三期末）已知四面體A8C。的一個(gè)平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形4EF。是邊

長(zhǎng)為2a的菱形，8,C分別為4￡,F0的中點(diǎn)，8。=2&，則在該四面體中（）

A.BEA.CD

B.BE與平面DC￡所成角的余弦值為駕

C.四面體八8CD的內(nèi)切球半徑為叵

3