2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案新人教B版選修2-2

PAGEPAGE11．3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.了解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性．2.理解利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟．3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題．1．最優(yōu)化問題生活中常常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為最優(yōu)化問題．2．用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路是eq\x(優(yōu)化問題)eq\x(用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題)eq\x(優(yōu)化問題的答案)eq\x(用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題)1．電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x有如下關(guān)系：y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為()A．30 B．35C．40 D．45解析：選C.y′＝x2－39x－40＝0，解得x＝40或－1(舍)，所以最佳速度為40.2．設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長為________．解析：設(shè)底面邊長為x，則表面積S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)，S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)，令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V).經(jīng)檢驗(yàn)知，x＝eq\r(3,4V)是S的微小值點(diǎn)，又在(0，＋∞)內(nèi)S僅有一個(gè)微小值點(diǎn)故也是最小值點(diǎn)，故表面積最小時(shí)底面邊長為eq\r(3,4V).答案：eq\r(3,4V)面積、容積的最值問題在高為H、底面半徑為R的圓錐內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱底面半徑為多大時(shí)，圓柱的體積最大？[解]設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，體積為V.在圓錐的軸截面△ABC中，如圖所示，因?yàn)閑q\f(H,H－h(huán))＝eq\f(R,r)，所以h＝Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(r,R)))，所以V＝πr2h＝πr2Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(r,R)))＝πHr2－πeq\f(H,R)r3(0<r<R)，所以V′＝2πHr－3πeq\f(H,R)r2.令V′＝0，得r＝eq\f(2,3)R或r＝0(舍去)．由于在(0，R)內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，依據(jù)題意知該點(diǎn)即為最大值點(diǎn)，所以當(dāng)r＝eq\f(2,3)R時(shí)，體積最大，Vmax＝eq\f(4,27)πR2H.eq\a\vs4\al()解決與面積、體積的最值有關(guān)的問題，關(guān)鍵是正確引入變量，將面積或體積表示為該變量的函數(shù)，結(jié)合詳細(xì)問題確定其定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值．將邊長為1m的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S＝eq\f(（梯形的周長）2,梯形的面積)，則S的最小值是________．解析：易知剪成的另一塊為正三角形，設(shè)其邊長為x，則S＝eq\f(（3－x）2,\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)x2)＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(（3－x）2,1－x2)(0<x<1)．S′＝－eq\f(8\r(3),3)·eq\f(（3x－1）（x－3）,（1－x2）2)，令S′＝0，得x＝eq\f(1,3)或3(舍去)，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝eq\f(1,3)是S的微小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)，所以Smin＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(（3－\f(1,3)）2,1－\f(1,9))＝eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)利潤最大問題某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，假如產(chǎn)品的銷售價(jià)格提高的百分率為x(0＜x＜1)，那么月平均銷售量削減的百分率為x2.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是y(元)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．[解](1)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1＋x)，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0，得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(舍去)，當(dāng)0＜x＜eq\f(1,2)時(shí)，y′＞0；當(dāng)eq\f(1,2)＜x＜1時(shí)，y′＜0，所以函數(shù)y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝eq\f(1,2)處取得極大值，即最大值．故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．eq\a\vs4\al()(1)經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很簡單建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、探討、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng)．(2)關(guān)于利潤問題常用的兩個(gè)等量關(guān)系①利潤＝收入－成本；②利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)．某連鎖分店銷售某種紀(jì)念品，每件紀(jì)念品的成本為4元，并且每件紀(jì)念品需向總店交3元的管理費(fèi)，預(yù)料當(dāng)每件紀(jì)念品的售價(jià)為x(7≤x≤9)元時(shí)，一年的銷售量為(x－10)2萬件．(1)求該連鎖分店一年的利潤L(萬元)與每件紀(jì)念品的售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式L(x)；(2)當(dāng)每件紀(jì)念品的售價(jià)為多少元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值．解：(1)該連鎖分店一年的利潤L(萬元)與售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式為L(x)＝(x－7)(x－10)2，x∈[7，9]．(2)L′(x)＝(x－10)2＋2(x－7)(x－10)＝3(x－10)(x－8)，令L′(x)＝0，得x＝8或x＝10(舍去)，因?yàn)閤∈[7，8]時(shí)，L′(x)≥0，x∈[8，9]時(shí)，L′(x)≤0，所以L(x)在x∈[7，8]上單調(diào)遞增，在x∈[8，9]上單調(diào)遞減，所以L(x)max＝L(8)＝4.即當(dāng)每件紀(jì)念品的售價(jià)為8元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大利潤為4萬元．費(fèi)用最少、用料最省問題現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運(yùn)往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/時(shí)，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/時(shí))的函數(shù)；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？[解](1)依題意得y＝eq\f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq\f(480000,x)＋300x，且由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，35]，即y＝eq\f(480000,x)＋300x(0<x≤35)．(2)由第一問知，y′＝eq\f(－480000,x2)＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0，35]，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值點(diǎn)．又當(dāng)0<x≤35時(shí)，y′<0，所以y＝eq\f(480000,x)＋300x在(0，35]上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝35時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(480000,x)＋300x取得最小值．故為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/時(shí)的速度行駛．eq\a\vs4\al()實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)約時(shí)間等都須要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)依據(jù)f′(x)＝0求出極值點(diǎn)(留意依據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn))后，函數(shù)在該點(diǎn)旁邊滿意左減右增，則此時(shí)唯一的微小值就是所求函數(shù)的最小值．一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月租金每增加50元，就會(huì)多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元修理費(fèi)，則租金定為________元時(shí)可獲得最大收入．解析：設(shè)沒有租出去的公寓數(shù)為x，則收入函數(shù)f(x)＝(1000＋50x)(50－x)－100(50－x)，所以f′(x)＝1600－100x，解得x＝16，所以當(dāng)x＝16時(shí)，f(x)取最大值，把租金定為1800元時(shí)，收入最大．答案：1800解應(yīng)用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，就是從實(shí)際問題動(dòng)身，抽象概括，利用數(shù)學(xué)學(xué)問建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)學(xué)問對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、探討，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中去，其思路如下：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)學(xué)問，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估，定性定量分析，做出正確的推斷，確定其答案．1．應(yīng)用題主要考查閱讀理解實(shí)力，通過審題獲得有用的信息，再進(jìn)行分析、抽象、轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題．故審題不細(xì)致，題意理解不透徹是解答這類題目出錯(cuò)的主要緣由．2．應(yīng)用題的運(yùn)算求解錯(cuò)誤也是常見的，尤其對(duì)實(shí)際問題中自變量的取值范圍，函數(shù)表達(dá)式的實(shí)際意義考慮不全面，很易丟分．1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，假如第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)改變率的最小值是()A．8 B．eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：選C.原油溫度的瞬時(shí)改變率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)改變率取得最小值－1.2．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y1＝17x2(x＞0)；生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤最大，則應(yīng)生產(chǎn)()A．6千臺(tái) B．7千臺(tái)C．8千臺(tái) D．9千臺(tái)解析：選A.設(shè)利潤為y(萬元)，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，所以y′＝－6x2＋36x＝－6x·(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝6既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)．故選A.3．把長60cm的鐵絲圍成矩形，當(dāng)矩形面積最大時(shí)，求長和寬．解：設(shè)長為xcm，則寬為(30－x)cm，所以面積S＝x(30－x)＝－x2＋30x.由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，假如由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為s＝eq\f(4,3)t3－2t2，那么速度為0的時(shí)刻是()A．1秒末 B．0秒C．2秒末 D．0秒或1秒末解析：選D.由題意可得t≥0，s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.2．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況漸漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6時(shí)到9時(shí)，車輛通過該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4)，則在這段時(shí)間內(nèi)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是()A．6時(shí) B．7時(shí)C．8時(shí) D．9時(shí)解析：選C.y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36＝－eq\f(3,8)(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，則當(dāng)6≤t＜8時(shí)，y′>0，當(dāng)8<t≤9時(shí)，y′<0，所以當(dāng)t＝8時(shí)，通過該路段所用的時(shí)間最多．故選C.3．某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用的尺寸()A．左右長12cm，上下長18cmB．左右長12cm，上下長19cmC．左右長11cm，上下長18cmD．左右長13cm，上下長17cm解析：選A.設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為xcm，則上下長為eq\f(150,x)cm，所以紙張的左右長為(x＋2)cm，上下長為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以紙張的面積S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156.所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.當(dāng)x>10時(shí)，S單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<10時(shí)，S單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝10時(shí)，Smin＝216(cm2)，此時(shí)紙張的左右長為12cm，上下長為18cm.故當(dāng)紙張的邊長分別為12cm，18cm時(shí)最節(jié)約．4．在直徑為d的圓木中，截取一個(gè)具有最大抗彎強(qiáng)度的長方體(抗彎強(qiáng)度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)，則矩形的寬為()A.eq\f(d,2) B.eq\f(\r(2),2)dC.eq\f(d,3) D.eq\f(\r(3),3)d解析：選D.如圖為圓木的橫截面．因?yàn)閎2＋h2＝d2，所以bh2＝b(d2－b2)＝－b3＋d2b.設(shè)f(b)＝－b3＋d2b，則f′(b)＝－3b2＋d2，令f′(b)＝0，可得b＝eq\f(\r(3),3)d.由實(shí)際意義知，當(dāng)b＝eq\f(\r(3),3)d時(shí)，f(b)有最大值，即抗彎強(qiáng)度最大．故選D.5．某商品的進(jìn)價(jià)為3元/件，依據(jù)以往閱歷，當(dāng)售價(jià)為8元/件時(shí)，可賣出30件，市場調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)每下降1元時(shí)，銷量可增加10件，且售價(jià)下降x元時(shí)，獲得的利潤為L(x)元，則L(x)的最大值為()A．220 B．200C．180 D．160解析：選D.當(dāng)售價(jià)下降x元時(shí)，每件利潤為(5－x)元，此時(shí)銷量為(30＋10x)件，所以L(x)＝(5－x)(30＋10x)＝10(5－x)(3＋x)＝10(－x2＋2x＋15)(0≤x≤5)，所以L′(x)＝10(－2x＋2)＝20(－x＋1)，令L′(x)＝0，得x＝1；令L′(x)>0，得0≤x＜1，L(x)單調(diào)遞增；令L′(x)<0，得1<x≤5，L(x)單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝1時(shí)，L(x)取得最大值，為160，故選D.6．甲、乙兩地相距240km，汽車從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地．已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為eq\f(1,6400)v3元．為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以________km/h的速度行駛．解析：設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元，由題意知y＝eq\f(240,v)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(160＋\f(1,6400)v3))(v>0)，y′＝240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(160,v2)＋\f(2,6400)v))，令y′＝0，得v＝80，當(dāng)v>80時(shí)，y′>0；當(dāng)0<v<80時(shí)，y′<0.所以v＝80時(shí)，ymin＝720.答案：807．圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S，要使它的容積最大，它的高h(yuǎn)與底面半徑R的比應(yīng)為________．解析：因?yàn)镾＝2πRh＋2πR2，所以h＝eq\f(S－2πR2,2πR)，所以V(R)＝eq\f(S－2πR2,2πR)πR2，＝eq\f(1,2)(S－2πR2)R＝eq\f(1,2)SR－πR3.由V′(R)＝eq\f(1,2)S－3πR2＝0，得S＝6πR2，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)S＝6πR2時(shí)，容積最大，此時(shí)6πR2＝2πRh＋2πR2.即h∶R＝2∶1.答案：2∶18．某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為C萬元，產(chǎn)品單價(jià)為P萬元，且滿意C＝1200＋eq\f(2,75)x3，P＝eq\f(500,\r(x))，則當(dāng)x＝________時(shí)，總利潤最高．解析：設(shè)總利潤為L(x)萬元，則由題意得L(x)＝x·eq\f(500,\r(x))－1200－eq\f(2,75)x3＝－eq\f(2,75)x3＋500eq\r(x)－1200(x>0)．由L′(x)＝－eq\f(2,25)x2＋eq\f(250,\r(x))＝0，得x＝25.令L′(x)>0，得0<x<25；令L′(x)<0，得x>25，得L(x)在區(qū)間(0，25)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(25，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝25時(shí)，總利潤最高．答案：259．一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時(shí)10海里時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問輪船的速度是多少時(shí)，航行1海里所需的費(fèi)用總和最??？解：設(shè)速度為每小時(shí)v海里的燃料費(fèi)是每小時(shí)p元，那么由題設(shè)的比例關(guān)系得p＝k·v3，其中k為比例系數(shù)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝eq\f(6,103)＝0.006，則p＝0.006v3.又設(shè)當(dāng)船的速度為每小時(shí)v海里時(shí)，行1海里所需的總費(fèi)用為q元，那么每小時(shí)所需的總費(fèi)用是0.006v3＋96(元)，而行1海里所需時(shí)間為eq\f(1,v)小時(shí)，所以行1海里的總費(fèi)用為q＝eq\f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq\f(96,v).q′＝0.012v－eq\f(96,v2)＝eq\f(0.012,v2)(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.因?yàn)楫?dāng)v＜20時(shí)，q′＜0；當(dāng)v＞20時(shí)，q′＞0，所以當(dāng)v＝20時(shí)q取得最小值，即速度為20海里/小時(shí)時(shí)，航行1海里所需費(fèi)用總和最?。?0．如圖是某市在城市改造中的沿市內(nèi)主干道城站路修建的圓形休閑廣場，圓心為O，半徑為100m，其與城站路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M，MO的延長線交圓O于點(diǎn)N，A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B.市園林局安排在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化，設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)．(1)以∠AON＝θ(rad)為自變量，將S表示成θ的函數(shù)；(2)求使綠化面積最大時(shí)點(diǎn)A的位置及最大綠化面積．解：(1)由題意知，BM＝100sinθ，AB＝100＋100cosθ，故S＝5000sinθ(1＋cosθ)(0<θ<π)．(2)因?yàn)镾＝5000sinθ(1＋cosθ)(0<θ<π)，所以S′＝5000(cosθ＋cos2θ－sin2θ)＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(cosθ＋1)(2cosθ－1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝eq\f(π,3).當(dāng)0<θ<eq\f(π,3)時(shí)，eq\f(1,2)<cosθ<1，S′>0；當(dāng)eq\f(π,3)<θ<π時(shí)，－1<cosθ<eq\f(1,2)，S′<0.故當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，S取得極大值，也是最大值，最大值為3750eq\r(3)，此時(shí)AB＝150.即當(dāng)點(diǎn)A距路邊的距離為150m時(shí)，綠化面積最大，最大面積為3750eq\r(3)m2.[B實(shí)力提升]11．若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為()A．2πR2 B．πR2C．4πR2 D．eq\f(1,2)πR2解析：選A.設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則x＝eq\r(R2－\f(h2,4))，所以S側(cè)＝2πxh＝2πheq\r(R2－\f(h2,4))＝2πeq\r(R2h2－\f(h4,4))，令t＝R2h2－eq\f(h4,4)，則t′＝2R2h－h(huán)3，令t′＝0，得h＝eq\r(2)R(舍負(fù))或h＝0(舍去)，當(dāng)0<h<eq\r(2)R時(shí)，t′>0，當(dāng)eq\r(2)R<h<2R時(shí)，t′<0，所以當(dāng)h＝eq\r(2)R時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．所以側(cè)面積的最大值為2πeq\r(2R4－R4)＝2πR2，故應(yīng)選A.12．某銀行打算設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)料，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行汲取的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0，4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為________．解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的貸款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<0.032時(shí)，y′>0；當(dāng)0.032<x<0.048時(shí)，y′<0.因此，當(dāng)x＝0.032時(shí)，y取得極大值，也是最大值，即當(dāng)存款利率為3.2%時(shí)，銀行可獲得最大收益．答案：3.2%13．水庫的蓄水量隨時(shí)間而改變，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，依據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－t2＋14t－40）e\f(1,4)t＋50，0<t≤10.,4（t－10）（3t－41）＋50，10<t≤12.))(1)該水庫的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期，以i－1<t<i表示第i月份(i＝1，2，…，12)，問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？(2)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取e＝2.7計(jì)算)．解：(1)依據(jù)t的范圍分段求解：①當(dāng)0<t≤10時(shí)，V(t)＝(－t2＋14t－40)eeq\f(1,4)t＋50<50，化簡得t2－14t＋40>0，解得t<4或t>10.又0<t≤10，故0<t<4.②當(dāng)10<t≤12時(shí)，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50<50，化簡得(t－10)(3t－41)<0，解得10<t<eq\f(41,3).又10<t≤12，故10<t≤12.綜上得0<t<4或10<t≤12.故知枯水期為1月，2月，3月，4月