2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法演練含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-其次章推理與證明2.2干脆證明與間接證明2.2.2反證法A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根．”答案：A2．用反證法證明命題“若直線AB，CD是異面直線，則直線AC，BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：①則A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以AB，CD共面，這與AB，CD是異面直線沖突；②所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線AC，BD也是異面直線；③假設(shè)直線AC，BD是共面直線．則正確的依次為()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：結(jié)合反證法的證明步驟可知，其正確步驟為③①②.答案：B3．用反證法證明在“△ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A．三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角B．三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角C．三角形中沒有直角或鈍角D．三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角答案：B4．用反證法證明“三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中()A．有一個(gè)內(nèi)角小于60°B．每一個(gè)內(nèi)角都小于60°C．有一個(gè)內(nèi)角大于60°D．每一個(gè)內(nèi)角都大于60°答案：B5．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿意a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個(gè)數(shù)不小于()A．0 B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：假設(shè)a，b，c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，與a＋b＋c＝1沖突，選項(xiàng)B正確．答案：B二、填空題6．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)________．解析：∵空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，∴應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交．答案：b與c平行或相交7．完成反證法證題的全過程．設(shè)a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一個(gè)排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)．因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________＝0.但0≠奇數(shù)，這一沖突說明p為偶數(shù)．解析：由假設(shè)p為奇數(shù)可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均為奇數(shù)，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為偶數(shù)．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)8．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))”，其假設(shè)為________．解析：“a、b全為0”即是“a＝0且b＝0”，因此用反證法證明時(shí)的假設(shè)為“a，b不全為0”．答案：a，b不全為0三、解答題9．設(shè)x，y都是正數(shù)，且x＋y>2，試用反證法證明：eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個(gè)成立．證明：假設(shè)eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2.又因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，則x＋y≤2，這與題設(shè)x＋y>2沖突，所以假設(shè)不成立．故eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個(gè)成立．10．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，Sn為它的前n項(xiàng)和．(1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；(2)當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？證明：(1)假設(shè){Sn}是等比數(shù)列，則Seq\o\al(2,2)＝S1·S3，所以aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，所以q＝0，這與等比數(shù)列的公比q≠0沖突．故數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．(2)當(dāng)q≠1時(shí)，假設(shè){Sn}是等差數(shù)列，則有2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．因?yàn)閍1≠0，所以q(q－1)＝0.又q≠1，所以q＝0.這與q≠0沖突．故{Sn}不是等差數(shù)列．B級(jí)實(shí)力提升1．設(shè)a，b，c大于0，則3個(gè)數(shù)：a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)的值()A．都大于2 B．至少有一個(gè)不大于2C．都小于2 D．至少有一個(gè)不小于2解析：假設(shè)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2則a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6，①又a，b，c大于0所以a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2.∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6.②故①與②式?jīng)_突，假設(shè)不成立所以a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一個(gè)不小于2.答案：D2．對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，假如存在實(shí)數(shù)x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函數(shù)f(x)的一個(gè)好點(diǎn)．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好點(diǎn)，那么a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假設(shè)函數(shù)f(x)存在好點(diǎn)，則x2＋2ax＋1＝x有實(shí)數(shù)解，即x2＋(2a－1)x＋1＝0有實(shí)數(shù)解．所以Δ＝(2a－1)2－4≥0，解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2).所以f(x)不存在好點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).答案：A3．已知直線ax－y＝1與曲線x2－2y2＝1相交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．解：不存在．理由如下：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，則OP⊥OQ.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－y＝1，,x2－2y2＝1，))消去y，整理得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0.所以x1＋x2＝eq\f(－4a,1－2a2)，x1x2＝eq\f(