2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE8-3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算[目標(biāo)]1.了解空間向量的概念，駕馭空間向量的幾何表示和字母表示.2.駕馭空間向量的加減運(yùn)算及其運(yùn)算律，理解向量減法的幾何意義．[重點(diǎn)]空間向量加減運(yùn)算及其幾何意義．[難點(diǎn)]向量加減運(yùn)算由平面對空間的推廣．學(xué)問點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念[填一填]1．定義：在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量．2．長度：向量的大小叫做向量的長度或模．4．幾類特別向量[答一答]1．向量可以用有向線段表示，那么有向線段是向量嗎？提示：不是．雖然有向線段既有大小又有方向，但它不是一個量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的長度為零，可以理解為表示零向量的有向線段長度為零，因此可以理解為零向量不是沒有方向，而是方向是隨意的．3．你能說出平面對量與空間向量的區(qū)分與聯(lián)系嗎？提示：(1)區(qū)分：平面對量探討的是二維平面的向量，空間向量探討的是三維空間的向量．(2)聯(lián)系：空間向量的定義、表示方法及零向量、單位向量、相反向量和相等向量的概念都與平面對量相同．學(xué)問點(diǎn)二空間向量的加減運(yùn)算[填一填][答一答]4．空間兩向量的加減法與平面內(nèi)兩向量的加減法完全一樣嗎？提示：因?yàn)榭臻g中隨意兩個向量均可平移到同一個平面內(nèi)，所以空間向量與平面對量加減法均可以用三角形或平行四邊形法則，是一樣的．5．共起點(diǎn)的兩個不共線向量的和向量所對應(yīng)的線段是平行四邊形的對角線，那么三個不共面的向量的和向量與這三個向量有什么關(guān)系？提示：如圖，將三個不共面的向量平移至同一起點(diǎn)，以這三個向量所對應(yīng)的線段為棱作平行六面體，則這三個向量的和向量所對應(yīng)的線段即為從該起點(diǎn)動身的平行六面體的體對角線．1．零向量的方向是隨意的，同平面對量中的規(guī)定一樣，0與任何空間向量平行．2．單位向量的模都相等且為1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空間隨意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一個平面內(nèi)的兩個向量，因而空間隨意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面對量的加、減法運(yùn)算．類型一空間向量的有關(guān)概念【例1】給出以下命題：①若a，b是空間向量，則|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p；⑤在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(A1C1,\s\up16(→))；⑥空間中隨意兩個單位向量必相等．其中，正確的命題序號是________．【分析】用空間向量的有關(guān)概念進(jìn)行推斷．【解析】以上命題①②④⑤正確．兩向量若相等，必需方向相同且模相等．但相等的向量起點(diǎn)不肯定相同，故③錯；兩個單位向量雖模相等，但方向不肯定相同，故⑥錯．【答案】①②④⑤與平面對量一樣，空間向量也有向量的模、向量的夾角、單位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.兩個向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無關(guān).(1)把空間全部單位向量歸結(jié)到一個共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是(C)A．一個圓 B．兩個孤立的點(diǎn)C．一個球面 D．以上均不正確(2)下列命題中正確的個數(shù)是(C)①假如a，b是兩個單位向量，則|a|＝|b|；②兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同；③若a，b，c為非零向量，且a∥b，b∥c，則a∥c；④空間隨意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)．A．1個B．2個C．3個D．4個解析：(1)單位向量的模為1，把全部空間單位向量移到共同起點(diǎn)后，向量的終點(diǎn)到起點(diǎn)的距離均為1，構(gòu)成了一個球面．(2)對于①：由單位向量的定義即得|a|＝|b|＝1，故①正確；對于②：共線不肯定同向，故②錯；對于③：正確；對于④：正確，在空間任取一點(diǎn)，過此點(diǎn)引兩個與已知非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直線相交于此點(diǎn)，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內(nèi)．類型二空間向量的加減運(yùn)算【例2】如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x、y、z的值．(1)eq\o(BD′,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→))；(2)eq\o(AE,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→)).【解】(1)∵eq\o(BD′,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DD′,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DD′,\s\up16(→))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))，又eq\o(BD′,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→))，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(A′E,\s\up16(→))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up16(→))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up16(→))＋eq\o(A′D′,\s\up16(→)))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′B′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′D′,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))，又eq\o(AE,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.敏捷運(yùn)用空間向量的加法與減法法則，盡量走邊路即沿幾何體的邊選擇途徑，多個向量運(yùn)算時，先視察分析“首尾相接”的向量，使之結(jié)合，運(yùn)用減法時，把握“共起點(diǎn)，方向指向被減向量”.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量eq\o(AC1,\s\up16(→))的共有(D)①(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))；②(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up16(→))；③(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))；④(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→)).A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))；②(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AD1,\s\up16(→))＋eq\o(D1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))；③(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AB1,\s\up16(→))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))；④(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AB1,\s\up16(→))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→)).所以，所給4個式子的運(yùn)算結(jié)果都是eq\o(AC1,\s\up16(→)).故選D.類型三有關(guān)向量的證明問題【例3】求證：平行六面體的體對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處相互平分．【分析】解決這個問題要充分利用課本上的一個結(jié)論，即平行六面體體對角線向量eq\o(AC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)).【證明】如下圖，平行六面體ABCD-A′B′C′D′，設(shè)點(diǎn)O是AC′的中點(diǎn)，則eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))．設(shè)P、M、N分別是BD′、CA′、DB′的中點(diǎn)．則eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BB′,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))．同理可證：eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))，eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))．由此可知O、P、M、N四點(diǎn)重合．故平行六面體的體對角線相交于一點(diǎn)，且在交點(diǎn)處相互平分．利用向量解決立體幾何問題的一般思路是：將要解決的問題用向量表示，用已知向量表示所需向量，對表示出的所需向量進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為要解決的問題.如圖，設(shè)A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))．解：如圖，連結(jié)BG，延長后交CD于E，由G為△BCD的重心，知eq\o(BG,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up16(→)).∵E為CD的中點(diǎn)，∴eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→)).∴eq\o(AG,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BG,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＋(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))).1．推斷下列命題中為真命題的是(A)A．向量eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BA,\s\up16(→))的長度相等B．將空間中全部的單位向量移到同一個起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等解析：|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(BA,\s\up16(→))|，故選項(xiàng)A對；選項(xiàng)B應(yīng)為球面；選項(xiàng)C，空間向量可以用有向線段來表示，但不等同于有向線段；選項(xiàng)D，向量不相等有可能模相等．2．設(shè)A、B、C為空間隨意三點(diǎn)，則下列命題為假命題的是(C)A.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))D.eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\o(BA,\s\up16(→))3．如右圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up16(→))＝c，則eq\o(BD′,\s\up16(→))＝b－a＋c，eq\o(A′C,\s\up16(→))＝a＋b－c.解析：eq\o(BD′,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DD′,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))＝b－a＋c，eq\o(A′C,\s\up16(→))＝eq\o(A′A,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(A′A,\s\up16(→))＝a＋b－c.4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))